阻尼運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題和變分法逆問(wèn)題*

丁光濤

（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，蕪湖 241000）

引言

根據(jù)給定的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，確定系統(tǒng)的受力情況，是動(dòng)力學(xué)一類(lèi)基本問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題及其各種變形問(wèn)題稱(chēng)為動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題；在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求作用其上的力，是已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律問(wèn)題的逆問(wèn)題［1-3］.變分法逆問(wèn)題研究給定的運(yùn)動(dòng)微分方程能否從變分原理中導(dǎo)出，即能否構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的Lagrange函數(shù)，將給定的方程表示成Lagrange方程形式［4-9］.顯然，上述兩類(lèi)逆問(wèn)題可以組合起來(lái)，根據(jù)給定的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)來(lái)構(gòu)造Lagrange函數(shù).本文以質(zhì)點(diǎn)阻尼運(yùn)動(dòng)為例，探討上述兩類(lèi)逆問(wèn)題的“灰色”特征，即解的不唯一性，以及兩類(lèi)問(wèn)題的組合導(dǎo)致的新情況，對(duì)一個(gè)特定的運(yùn)動(dòng)存在多種不同的Lagrange函數(shù)，但是，在一般情況下這些函數(shù)可能不全部是等效的.

1 阻尼運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題

1.1 從運(yùn)動(dòng)規(guī)律導(dǎo)出作用在質(zhì)點(diǎn)幾種力的函數(shù)表達(dá)

設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

這個(gè)規(guī)律與線性阻尼運(yùn)動(dòng)規(guī)律一致，本文中的阻尼運(yùn)動(dòng)就是指按此規(guī)律的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng).下面導(dǎo)出作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的函數(shù)表達(dá)式.將式（1）對(duì)時(shí)間一次和二次導(dǎo)數(shù)，分別得到

利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，直接得到結(jié)果為

即質(zhì)點(diǎn)受到有關(guān)大小隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的阻力作用，其運(yùn)動(dòng)微分方程是

必須指出，導(dǎo)出的力的函數(shù)表達(dá)式不是唯一的，結(jié)合式（2）得到

即質(zhì)點(diǎn)受到大小與速度成正比、方向與速度相反的阻尼力作用，其運(yùn)動(dòng)微分方程是

這是通常所說(shuō)的阻尼運(yùn)動(dòng)微分方程.力還可以表示成坐標(biāo)x的函數(shù)，結(jié)合式（1），得到

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程是

利用是（2）和（8），還能夠得到

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程是

1.2 從阻尼運(yùn)動(dòng)說(shuō)明動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題的特點(diǎn)

有些文獻(xiàn)中認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題比正問(wèn)題簡(jiǎn)單，在數(shù)學(xué)上是微分問(wèn)題，從運(yùn)動(dòng)規(guī)律導(dǎo)出作用在質(zhì)點(diǎn)上的（合）力隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系即可.但是，從物理方面來(lái)看，問(wèn)題并非如此，實(shí)際的作用力是與時(shí)間、位置和速度相關(guān)的，要求的是力隨這些因素變化的函數(shù)關(guān)系，即得到力的變化規(guī)律（力律）.但是，如果只是已知某個(gè)特定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，信息是不充分的，得到的解不是唯一的.上述導(dǎo)出的四種不同的作用力F的函數(shù)形式和運(yùn)動(dòng)微分方程，反映了逆問(wèn)題的“灰色”特性，四種解存在共同點(diǎn)，都可以導(dǎo)出給定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但是，在力律上是有區(qū)別的.對(duì)此給出進(jìn)一步說(shuō)明如下：

1）四種運(yùn)動(dòng)微分方程存在共同的特解，即可以導(dǎo)出相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律式（1）.值得注意的是，這四個(gè)相同的特解都對(duì)應(yīng)著同一種初始條件：

2）四種不同的作用力F的函數(shù)表達(dá)式中，式（4）的F1和式（8）的F3存在相同點(diǎn)，即表達(dá)式中都包含著初始條件v0；而式（6）的 F2和 式（10）的F4也存在相同點(diǎn)，即表達(dá)式中都不包含初始條件v0.這兩種情況是有原則區(qū)別的，動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題的一般解應(yīng)當(dāng)是與初始條件無(wú)關(guān)的.

3）式（12）初始條件中，t和x可以任意賦值，可以不為0，但是，不同的初值相當(dāng)于計(jì)時(shí)原點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的移動(dòng)，不會(huì)帶來(lái)任何動(dòng)力學(xué)的影響；但是，v不可任意賦值，因?yàn)樵谧枘徇\(yùn)動(dòng)中，阻尼力的力律是大小與速度成正比，方向與速度相反，而這里的速度實(shí)質(zhì)上是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于媒質(zhì)的速度，將質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參考系的速度與相對(duì)于媒質(zhì)的速度等同起來(lái)的條件是媒質(zhì)相對(duì)于參考系靜止，換句話說(shuō)，v的初值不能通過(guò)引入運(yùn)動(dòng)參考系的變換來(lái)改變的.

4）因此，下面的討論中，將舍棄力的表達(dá)式中參數(shù)與運(yùn)動(dòng)初始條件賦值緊密相關(guān)的方程（5）和（9），而只討論方程（7）和（11）.后兩個(gè)方程可以看作阻尼運(yùn)動(dòng)微分方程，質(zhì)點(diǎn)受到阻尼力作用，方程（7）中質(zhì)點(diǎn)只受線性阻尼力作用，方程（11）中質(zhì)點(diǎn)受到變系數(shù)阻尼力和有勢(shì)力的合力作用，從物理方面來(lái)看，這兩個(gè)方程所代表的系統(tǒng)是不同的.

2 阻尼運(yùn)動(dòng)的變分法逆問(wèn)題

2.1 從運(yùn)動(dòng)方程直接構(gòu)造Lagrange函數(shù)的方法

構(gòu)造Lagrange函數(shù)的方法有很多種，本文僅利用一種從運(yùn)動(dòng)方程直接構(gòu)造Lagrange函數(shù)的方法［9］.給定一維系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

設(shè)其Lagrange函數(shù)為

代入Lagrange方程，展開(kāi)得到

式中

將方程（14）改寫(xiě)成如下形式

比較方程（13），得到

根據(jù) f（t，x，˙x）的具體形式，引入輔助條件，解方程（16），得到 u（t，x，˙x），v1（t，x）和 v0（t，x）從而構(gòu)造出（15）式中函數(shù)L.應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)一維系統(tǒng)利用規(guī)范等效變換，適當(dāng)選擇規(guī)范變換函數(shù)，總可以使函數(shù)v1或v0中的一個(gè)變換為零，從而簡(jiǎn)化求解.

在具體問(wèn)題中可以對(duì)函數(shù)u的宗量作6種不同的設(shè)定，導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的特殊解法.

1.設(shè) u＝u（t），由（15）和（16）式得

2.設(shè) u＝u（x），由（15）和（16）式得

3.設(shè) u＝y(tǒng)（˙x），由（15）和（16）式得

4.設(shè) u＝u（t，x），由（15）和（16）式得

5.設(shè) u＝u（t，˙x），由（15）和（16）式得

6.設(shè) u＝u（x，˙x），由（15）和（16）式得

2.2 阻尼運(yùn)動(dòng)的Lagrange函數(shù)

首先，討論線性阻尼運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為（為簡(jiǎn)化取m＝1）

應(yīng)用特殊解法1，可得

應(yīng)用特殊解法3，可得

從φ0＝λ，可得到不同的解，如

v＂1＝，等等.

對(duì)應(yīng)地，一組規(guī)范等效的Lagrange函數(shù)為

應(yīng)用特殊解法 5，設(shè) u＝u（t，˙x），則有

方程（28）存在一個(gè)解族

其中 c0是常數(shù)，F(xiàn)＝F（ξ）＝F（˙xeλt+c0）是對(duì)其宗量ξ任意的光滑函數(shù)，但要求 d2F／dξ2≠0.與（29）式 u對(duì)應(yīng)的是阻尼運(yùn)動(dòng)的一個(gè)Lagrange函數(shù)族［10，11］

當(dāng)F取不同函數(shù)形式時(shí)，就得到一系列不同而等效的Lagrange函數(shù)，例如

等等.應(yīng)當(dāng)指出（26）式中L′也屬于這個(gè)函數(shù)族.

應(yīng)用特殊解法 6，設(shè) u＝u（x，˙x），可以求解，（25）式中L就是特解之一.應(yīng)用一般解法，設(shè)u＝u（t，x，˙x），也可求解，（27）式中 L＂就是一個(gè)特解.

其次，計(jì)算變系數(shù)阻尼運(yùn)動(dòng)的Lagrange函數(shù)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為（m＝1）

這個(gè)方程比方程（23）復(fù)雜，但是，應(yīng)用特殊解法1，仍然可以解出

即Lagrange函數(shù)為

這個(gè)Lagrange函數(shù)與線性阻尼運(yùn)動(dòng)的Lagrange函數(shù)沒(méi)有等效關(guān)系，由它們導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)方程的解并不等價(jià)，僅僅在特殊的初始條件下有一個(gè)共同的特解（1）.

3 結(jié)論和討論

本文以運(yùn)動(dòng)規(guī)律（1）表示的阻尼運(yùn)動(dòng)為例，討論動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題、變分法逆問(wèn)題和兩者的組合問(wèn)題的特點(diǎn).

⑴.這個(gè)實(shí)例清楚地表明了動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題的“灰色”特點(diǎn)，已知信息不充分，導(dǎo)致結(jié)果不確定.即使對(duì)簡(jiǎn)單的一維運(yùn)動(dòng)而言，導(dǎo)出的幾種力律也是不同的，運(yùn)動(dòng)微分方程不是等價(jià)的，對(duì)應(yīng)著物理上不同的系統(tǒng).

⑵.變分法逆問(wèn)題的解，即使對(duì)同一個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程，導(dǎo)出的Lagrange函數(shù)也可能不是唯一的.線性阻尼運(yùn)動(dòng)的Lagrange函數(shù)和函數(shù)族說(shuō)明了這個(gè)特點(diǎn)，但是，這些Lagrange函數(shù)是等效的.

⑶.兩類(lèi)逆問(wèn)題是相關(guān)聯(lián)的，它們的組合問(wèn)題產(chǎn)生新的特點(diǎn).由于動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題可以導(dǎo)出不相同且不等價(jià)的運(yùn)動(dòng)微分方程，使得變分法逆問(wèn)題從不同的微分方程出發(fā)，構(gòu)造得到的Lagrange函數(shù)更多，這些函數(shù)中有些是等效的，它們對(duì)應(yīng)著同一個(gè)方程，有些函數(shù)分別對(duì)應(yīng)著不等價(jià)的方程，它們之間沒(méi)有通常的等效關(guān)系.

1 梅鳳翔.動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2009（Mei F X.Inverse problems of dynamics.Beijing：National Defense Industry Press，2009（in Chinese））

2 Rosenberg B M.Analytical dynamics of discrete systems.New York：Pleum Prss，1977

3 梅鳳翔.分析力學(xué)（下卷）.北京：北京理工大學(xué)出版社，2013（Mei F X.Analyticalmechanics（II）.Beijing：Beijing Institute of Technology Press，2013（in Chinese））

4 Santilli R M.Foundations of theoreticalmechanics I.New York：Springer-Verlag，1978

5 Santilli R M.Foundations of theoreticalmechanics II.New York：Springer-Verlag，1983

6 Lopuszanski J.The inverse variational problem in classical mechanics.Singapore：World Scientific，1999

7 梅鳳翔.分析力學(xué)專(zhuān)題，北京：北京工業(yè)學(xué)院出版社，1988（Mei FX.Special problems of analyticalmechanics.Beijing：Beijing Institute Technologe Press，1988（in Chinese））

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9 丁光濤.從運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)造Lagrange函數(shù)的直接方法.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2010，8：305～310（Ding G T.A direct approach to the construction of Lagrangians from themotion equations.Journal of Dynamics and Control，2010，8：305～310（in Chinese））

10 丁光濤.關(guān)于一類(lèi)Lagrange函數(shù)族的存在條件.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2011，9（3）：219～221（Ding G T.On the existence conditions for a class of the Lagrangians families.Journal of Dynamics and Control，2011，9（3）：219～221（in Chinese））

11 丁光濤.一類(lèi)Painleve方程的Lagrange函數(shù)族.物理學(xué)報(bào)，2012，61：110202（Ding G T.The families of Lagrangians of a Painleve equation.Acta Physica Sinica，2012，61：110202（in Chinese） ）