多自由度軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)非線性非主共振扭振特性

時(shí)培明，夏克偉，劉 彬，侯東曉

（1．燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，秦皇島 066004；2．東北大學(xué)秦皇島分校自動(dòng)化工程系，秦皇島 066004）

多自由度軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)非線性非主共振扭振特性

時(shí)培明1，夏克偉1，劉 彬1，侯東曉2

（1．燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，秦皇島 066004；2．東北大學(xué)秦皇島分校自動(dòng)化工程系，秦皇島 066004）

建立含參激多自由度軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭振動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)坐標(biāo)變換將非線性方程組解耦成獨(dú)立方程，采用多尺度法得到電機(jī)擾動(dòng)力矩和軋制負(fù)載力矩共同作用下非線性系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程。以某廠1780軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)為實(shí)際算例，將其簡(jiǎn)化成4自由度非線性扭振模型，通過(guò)實(shí)際參數(shù)分析了非線性剛度、非線性阻尼、接軸傾角、電機(jī)擾動(dòng)力矩以及軋制張力波動(dòng)對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)超諧波共振、亞諧波共振及組合共振幅頻特性的影響。用數(shù)值仿真與解析結(jié)果相比較，驗(yàn)證解析方法的有效性。研究結(jié)果為外擾影響下的軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)扭振特性提供一定的理論指導(dǎo)和參考。

多自由度；軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)；張力波動(dòng)；組合共振

隨著軋制速度和強(qiáng)度的不斷提高，軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)頻繁出現(xiàn)異常扭振失穩(wěn)現(xiàn)象，嚴(yán)重影響軋制生產(chǎn)，成為制約軋制效率和產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)一步提升的主要瓶頸。傳動(dòng)系統(tǒng)中存在復(fù)雜的非線性因素［1－3］，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生非線性振動(dòng)，影響軋機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行，降低生產(chǎn)效率［4－6］。因此從理論上研究軋制過(guò)程中擾動(dòng)因素影響下的傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭振響應(yīng)的行為、特征和規(guī)律有重要的意義。

Haruo等［7］研究了阻尼作用下的軋機(jī)非線性扭振，指出由于軋輥打滑上、下軋輥力矩分配不均勻，阻尼對(duì)系統(tǒng)扭振振幅的影響顯著并呈現(xiàn)衰減趨勢(shì)。Wang等［8］應(yīng)用K-B法求解了軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭轉(zhuǎn)自激振動(dòng)模型，得到了產(chǎn)生穩(wěn)定自激振動(dòng)的條件。文獻(xiàn)［9－10］研究表明電機(jī)諧波分量的存在使傳動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生非線性扭振響應(yīng)，形成速度控制系統(tǒng)與軋輥回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)電耦合。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)電氣擾動(dòng)、結(jié)構(gòu)參數(shù)、軋制張力波動(dòng)等影響下的多自由度軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭振特性的研究還不夠深入。

建立了含參激多自由度非線性扭振系統(tǒng)的一般形式的動(dòng)力學(xué)方程，求解了該系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程。以某廠軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)為實(shí)際算例得出系統(tǒng)在非線性剛度、非線性阻尼、接軸傾角、擾動(dòng)力矩以及軋制張力波動(dòng)變化下的組合共振、超諧波共振及亞諧波共振幅頻曲線，其中以張力波動(dòng)尤為明顯，因此在實(shí)際中應(yīng)注意對(duì)軋制張力的控制，從而抑制軋機(jī)扭振，保持軋機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行。研究結(jié)果為研究此類軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為提供了理論參考。

1 軋機(jī)多自由度傳動(dòng)系統(tǒng)模型

1.1 模型建立

考慮板帶軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)在高速穩(wěn)態(tài)軋制下對(duì)系統(tǒng)主傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。將軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為多自由度非線性扭振動(dòng)力學(xué)模型（見(jiàn)圖1）。

圖1 多自由度軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)扭振模型Fig．1 Torsional vibrationmodel ofmulti-dof rollingmill drive system

圖1中，θi為轉(zhuǎn)角，i＝1，2，…，n；ci為阻尼，ki為剛度，i＝1，2，…，n－1；Ji為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，i＝1，2，…，n。ω為電機(jī)端的角頻率，接軸傾角為α，KNL為接軸的非線性剛度，CNL為接軸上的非線性阻尼，ψ1、ψ2分別為接軸部分的輸入端和輸出端的轉(zhuǎn)角。

根據(jù)已知接軸輸入輸出端角位移動(dòng)力學(xué)關(guān)系［11］可以得出

式中：Δθ為接軸兩端相對(duì)轉(zhuǎn)角。

考慮軋輥端前張力TF以及后張力TB對(duì)軋制力矩的影響，可得

式中：R為軋輥半徑，考慮張力波動(dòng)，故軋制波動(dòng)力矩可取Δ（TB－TF）R，Δ為張力波動(dòng)系數(shù)。

隨著互聯(lián)網(wǎng)和數(shù)據(jù)庫(kù)技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外在參考文獻(xiàn)管理系統(tǒng)的研究上也取得一定的成果，研發(fā)了專業(yè)的參考文獻(xiàn)檢測(cè)系統(tǒng)。國(guó)際上知名的參考文獻(xiàn)管理軟件包括Endnote(SCI湯姆森路透)、Mendeley，國(guó)內(nèi)有單機(jī)版NoteExpress 和西安三才研發(fā)的網(wǎng)絡(luò)版NoteFirst。將參考文獻(xiàn)輸入檢測(cè)系統(tǒng)，系統(tǒng)自動(dòng)將參考文獻(xiàn)與權(quán)威數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行數(shù)據(jù)比較，逐條驗(yàn)證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性,并提供修改意見(jiàn)。

這樣由圖1可以得到軋機(jī)多自由度傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭振動(dòng)力學(xué)表達(dá)式

式中：J為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，C為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，K為系統(tǒng)的剛度矩陣，F(xiàn)為系統(tǒng)的激振力矩陣。則F可寫(xiě)為

1.2 坐標(biāo)變換下的非線性扭振模型

2 非線性方程求解

3 算例分析

以某廠1780軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)為例，將其簡(jiǎn)化為四自由度模型，從左至右依次為電機(jī)端、電機(jī)端接軸、軋輥端接軸以及軋輥等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并取如下參數(shù)：

3.1 超諧波共振

考慮穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，有a′＝0，γ′＝0，則式（12）和式（13）化為

選擇不同系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，會(huì)得到不同的超諧波共振幅頻響應(yīng)曲線。當(dāng)非線性剛度KNL變化時(shí)，曲線變化（見(jiàn)圖2），圖中KNL單位為108Nm／rad，從圖中可以看出非線性剛度對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)有較明顯的影響，隨著KNL的增大，曲線彎曲程度加大，振幅有所減小，共振區(qū)域也會(huì)增大。

圖2 非線性剛度變化的超諧波幅頻響應(yīng)曲線Fig．2 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear stiffness

圖3為系統(tǒng)非線性阻尼CNL變化下，系統(tǒng)的超諧波共振幅頻響應(yīng)曲線，CNL的單位為103Ns／m，CNL從3．061到10．304變化過(guò)程中，振幅明顯減小，且共振域也隨之明顯減小，但彎曲程度保持不變。由此可見(jiàn)，非線性阻尼CNL對(duì)系統(tǒng)扭振影響較大。

圖3 非線性阻尼變化的超諧波幅頻響應(yīng)曲線Fig．3 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear damping

圖4 電機(jī)擾動(dòng)力矩變化的超諧波幅頻響應(yīng)曲線Fig．4 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes ofmotor disturbance torque

圖5為軋制張力波動(dòng)下的系統(tǒng)超諧波共振幅頻響應(yīng)曲線，Δ為張力波動(dòng)系數(shù)。圖中可以清楚的看出，隨著Δ的增大，共振區(qū)域顯著增大，振幅也會(huì)增大?？梢?jiàn)，軋制張力波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)扭振影響較大，實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)注意對(duì)軋制張力的控制，從而抑制軋機(jī)扭振，保證軋機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行。

圖5 軋制張力波動(dòng)下的超諧波幅頻響應(yīng)曲線Fig．5 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes of rolling tension fluctuation

此外，當(dāng)在可行范圍內(nèi)改變接軸傾角度數(shù)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)超諧波共振沒(méi)有影響。

采用Runge-Kutta法對(duì)圖2中KNL＝3．343×108Nm／rad，取調(diào)諧參數(shù)σ＝2對(duì)系統(tǒng)出現(xiàn)超諧波共振的情況進(jìn)行數(shù)值仿真，解析解與數(shù)值解相接近，且反映出了幅值跳躍現(xiàn)象（見(jiàn)圖6）。

圖6 KNL＝3．343×108Nm／rad，調(diào)諧參數(shù)σ＝2 rad／s時(shí)，系統(tǒng)超諧波共振時(shí)間歷程圖Fig．6 Time domain curve of super harmonic resonance under KNL＝3．343×108Nm／rad and the tuning parameterσ＝2 rad／s

3.2 亞諧波共振

改變系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，可以得到不同的亞諧波共振幅頻曲線（見(jiàn)圖7～圖10）。由圖7可知非線性剛度KNL對(duì)振幅的大小、曲線的彎曲程度和共振域的大小都有很大的影響，圖中KNL單位為108Nm／rad，隨著KNL的增大，振幅增大，骨干曲線向右偏移且共振域增大。圖8描繪了不同非線性阻尼的亞諧波共振幅頻曲線，單位為103Ns／m，可見(jiàn)CNL僅對(duì)振幅的大小有影響，對(duì)曲線的彎曲程度沒(méi)有影響，且不影響骨干曲線。隨著CNL的減小，振幅會(huì)增大，且共振域也會(huì)增大。圖9為電機(jī)擾動(dòng)力矩變化的幅頻曲線，單位為105Nm，擾動(dòng)力矩變化對(duì)系統(tǒng)僅有微弱的影響，共振域也會(huì)隨之略有增大。圖10為軋制張力波動(dòng)的亞諧波共振幅頻曲線，可見(jiàn)張力波動(dòng)對(duì)振幅影響較大，隨著張力的增大，振幅明顯變大，且共振域也隨之增大，曲線彎曲程度保持不變，且不影響骨干曲線。

圖7 非線性剛度變化的亞諧波共振幅頻響應(yīng)曲線Fig．7 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear stiffness

圖8 非線性阻尼變化的亞諧波共振幅頻響應(yīng)曲線Fig．8 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear damping

此外，當(dāng)在可行范圍內(nèi)改變接軸傾角度數(shù)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)亞諧波共振也沒(méi)有影響。

采用Runge-Kutta法對(duì)圖7中KNL＝3．343×108 Nm／rad，取調(diào)諧參數(shù)σ＝1對(duì)系統(tǒng)出現(xiàn)亞諧波共振的情況進(jìn)行數(shù)值仿真，解析解與數(shù)值解相接近，且反映出了幅值跳躍現(xiàn)象（見(jiàn)圖11）。

3.3 組合共振

圖9 電機(jī)擾動(dòng)力矩變化的亞諧波共振幅頻響應(yīng)曲線Fig．9 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes ofmotor disturbance torque

圖10 軋制張力波動(dòng)下的亞諧波共振幅頻響應(yīng)曲線Fig．10 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes of rolling tension fluctuation

圖11 KNL＝3．343×108Nm／rad，調(diào)諧參數(shù)為1 rad／s／時(shí)，系統(tǒng)亞諧波共振時(shí)間歷程圖Fig．11 Time domain curve of sub harmonic resonance resonance under KNL＝3．343×108Nm／rad and the tuning parameterσ＝1 rad／s

以2Ω1+Ω2≈ω0分析組合共振，此時(shí)令2Ω1+Ω2≈ω0+εσ，σ＝ο（1），記（2Ω1+Ω2）T0≈ω0T0+σT1，則消除久期項(xiàng)的條件為

圖12 非線性剛度變化的組合共振幅頻響應(yīng)曲線Fig．12 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes of nonlinear stiffness

圖13 非線性阻尼變化的組合共振幅頻響應(yīng)曲線Fig．13 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes of nonlinear damping

圖14 電機(jī)擾動(dòng)力矩變化的組合共振幅頻響應(yīng)曲線Fig．14 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes ofmotor disturbance torque

圖15 軋制張力波動(dòng)下的組合共振幅頻響應(yīng)曲線Fig．15 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes of rolling tension fluctuation

圖16 KNL＝3．343×108Nm／rad，調(diào)諧參數(shù)為σ＝3 rad／s／時(shí)，系統(tǒng)組合共振時(shí)間歷程圖Fig．16 Time domain curves of combination resonance under KNL＝3．343×108Nm／rad and the tuning parameterσ＝3 rad／s

改變系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，可以得到不同的組合共振幅頻曲線（見(jiàn)圖12～圖15）。由圖12可以看出非線性剛度KNL對(duì)振幅的大小、曲線的彎曲程度和共振域的大小都有很大的影響，圖中KNL單位為108Nm／rad，隨著KNL的增大，振幅增大，骨干曲線向右偏移且共振域增大。圖13描繪了不同非線性阻尼的組合共振幅頻曲線，單位為103Ns／m，可見(jiàn)CNL僅對(duì)振幅的大小有影響，對(duì)曲線的彎曲程度沒(méi)有影響，且不影響骨干曲線。隨著CNL的減小，振幅會(huì)增大，且共振域也會(huì)增大。圖14為電機(jī)擾動(dòng)力矩變化的組合共振幅頻曲線，單位為105Nm，擾動(dòng)力矩變化對(duì)系統(tǒng)僅有微弱的影響，M增大時(shí)，振幅和共振域輕微增大。圖15為軋制張力波動(dòng)的組合共振幅頻曲線，可見(jiàn)張力波動(dòng)對(duì)振幅影響較大，隨著張力的增大，振幅明顯變大，且共振域也隨之增大，曲線彎曲程度保持不變，且不影響骨干曲線。

此外，當(dāng)在可行范圍內(nèi)改變接軸傾角度數(shù)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)組合共振也沒(méi)有影響。

采用Runge-Kutta法對(duì)圖12中KNL＝3．343×108 Nm／rad，取調(diào)諧參數(shù)σ＝3對(duì)系統(tǒng)出現(xiàn)組合共振共振的情況進(jìn)行數(shù)值仿真，解析解與數(shù)值解相接近，且反映出了幅值跳躍現(xiàn)象（見(jiàn)圖16）。

4 結(jié) 論

（1）建立了電機(jī)擾動(dòng)力矩和軋制負(fù)載力矩共同作用下的含參激軋機(jī)多自由度傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭振動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)坐標(biāo)變換得到其等效非線性扭振方程。

（2）應(yīng)用多尺度法分別得到了軋機(jī)在周期擾動(dòng)力矩激勵(lì)和軋制負(fù)載力矩共同作用下的超諧波共振、亞諧波共振以及組合共振的幅頻響應(yīng)方程。

（3）通過(guò)實(shí)際算例參數(shù)仿真，得到了軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)非線性剛度、非線性阻尼、接軸傾角、電機(jī)擾動(dòng)力矩以及軋制力張力的變化對(duì)系統(tǒng)超諧波共振、亞諧波共振以及組合共振的幅頻特性響應(yīng)的影響以及變化規(guī)律，其中以張力波動(dòng)的影響尤為明顯，實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)注意對(duì)軋制張力的控制，從而抑制軋機(jī)扭振，保證軋機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行。文中采用數(shù)值仿真與解析結(jié)果相比較，驗(yàn)證該解析方法的有效性。研究結(jié)果為外擾影響下含參激軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)扭振特性的研究提供了一定的理論參考。

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Non-main resonance characteristics of nonlinear torsional vibration of rolling m ill'smulti-degree-of-freedom main drive system

SHIPei-ming1，XIA Ke-wei1，LIU Bin1，HOU Dong-xiao2
（1．College of Electrical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China；2．Department of Automatic Engineering，Northeastern University at Qinghuangdao，Qinghuangdao 066004，China）

Considering the influence caused by the parametric excitation，the nonlinear torsional vibration equations ofmulti-DOF rollingmill'smain drive system were established．To analyze the coupled equations by analyticmethod，the equations were decoupled by transforming them into principal coordinates．The amplitude-frequency characteristic equation was obtained by solving the dynamical equation usingmulti-scalemethod．Furthermore，a numerical example based on the main drive system of 1780 rollingmill in some Steel Co．was given to illustrate the effects of resonance on response of the system．The influences on amplitude frequency characteristics of super-harmonic resonance，sub-harmonic resonance，and combination resonance under the changes of parameters like nonlinear stiffness，nonlinear friction damping，joint angle，torque disturbance and rolling tension were analysed．The numerical simulation indicates that the analytic method is proved to be valid when comparing the results by the numericalmethod and themulti-scalemethod．The results provide theoretical basis and reference to analyzing torsional vibration of rolling mill's transmission system caused by outside disturbance．

multiple degrees of freedom；main drive system of rollingmill；rolling tension fluctuation；combination resonance

O322

A

10．13465／j．cnki．jvs．2015．12．007

國(guó)家自然科學(xué)基金（51005196）；河北省自然科學(xué)基金鋼鐵聯(lián)合基金（E2012203194，E2014501006）

2013－07－11 修改稿收到日期：2014－04－03

時(shí)培明 男，博士，副教授，1979年生郵箱：spm＠ysu．edu．cn