相干邏輯關(guān)系語義的推理解釋*,?

周北海

北京大學(xué)哲學(xué)系

zhoubh@phil.pku.edu.cn

賈青

中國社會(huì)科學(xué)院哲學(xué)研究所

v100jq@163.com

相干邏輯關(guān)系語義的推理解釋*,?

周北海

北京大學(xué)哲學(xué)系

zhoubh@phil.pku.edu.cn

賈青

中國社會(huì)科學(xué)院哲學(xué)研究所

v100jq@163.com

關(guān)系語義是相干邏輯中最為重要的語義學(xué)之一，但是關(guān)系語義一開始就以“純粹”的形式語義的面貌出現(xiàn)，其中三元關(guān)系R的直觀意思是什么并不清楚，于是出現(xiàn)了關(guān)于關(guān)系語義的多種解釋。我們認(rèn)為，R所代表的是推理規(guī)則集、前提集和結(jié)論集三者之間的關(guān)系，據(jù)此提出了推理語義。推理語義以推理的形式結(jié)構(gòu)為背景，有明確的直觀意義。本文以相干邏輯系統(tǒng)R+為例，證明出推理語義是與關(guān)系語義等價(jià)的語義。從推理語義與關(guān)系語義的這個(gè)等價(jià)關(guān)系上看，推理語義完全可以作為對(duì)于關(guān)系語義直觀解釋的一個(gè)中間環(huán)節(jié)。由此不僅使得關(guān)系語義有了推理結(jié)構(gòu)的解釋，同時(shí)說明了相干邏輯是一種關(guān)于推理的邏輯。這與相干邏輯產(chǎn)生的歷史也完全吻合。

相干邏輯；關(guān)系語義；推理語義

上世紀(jì)七十年代初R.Routley和R.Meyer給出了相干邏輯的關(guān)系語義（relational semantics）。這一語義中的框架是一個(gè)四元組〈K,R,0,?〉，其中R是一個(gè)三元關(guān)系（[10-12]）。在關(guān)系語義下可以得到一系列相干邏輯系統(tǒng)的完全性，從這個(gè)角度看關(guān)系語義是一個(gè)成功的語義，因而成為了相干邏輯中最為重要的語義學(xué)。但是，關(guān)系語義一開始就以“純粹”的形式語義面貌出現(xiàn)，其中三元關(guān)系R的直觀意思是什么并不清楚，于是出現(xiàn)了關(guān)于關(guān)系語義，特別是R的多種解釋。我們認(rèn)為，R代表的是推理規(guī)則集、前提集和結(jié)論集三者之間的關(guān)系?；谶@一理解，周北海（[15]）構(gòu)造了推理模型并提出了推理語義（inference semantics）而且使用推理語義證明了一度衍推系統(tǒng)Efde的完全性。周北海（[16]）對(duì)此做了進(jìn)一步的分析和討論，討論了推理語義與關(guān)系語義的一般性關(guān)系，但是沒有具體說明推理語義如何用于相干邏輯。本文以相干邏輯系統(tǒng)R+為例，在給出R+推理語義模型的基礎(chǔ)上，證明R+的推理語義和關(guān)系語義是等價(jià)的，從而進(jìn)一步說明對(duì)于關(guān)系語義中的三元關(guān)系R做推理的解釋是合理的，這一語義實(shí)際上是關(guān)于推理結(jié)構(gòu)的刻畫。

1 相干蘊(yùn)涵與推理語義的直觀解釋

相干邏輯是以相干蘊(yùn)涵（relevance implication）為核心概念建立的邏輯。相干蘊(yùn)涵提出的動(dòng)因是為了消除實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵悖論。相干蘊(yùn)涵要求蘊(yùn)涵式的前件和后件要有共同的命題變?cè)聪喔稍瓌t），試圖通過這一方法加強(qiáng)前后件的聯(lián)系，以給出對(duì)日常推理中的推出關(guān)系更合理的刻畫。

相干蘊(yùn)涵是相干邏輯的核心概念，與此相應(yīng)，關(guān)于相干蘊(yùn)涵的語義解釋也是相干邏輯關(guān)系語義的核心。設(shè)〈K,R,0,?〉是一個(gè)關(guān)系語義框架，A→B是一個(gè)相干蘊(yùn)涵式。對(duì)于任意的a∈K，A→B在a上為真，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于K中任意的b,c，如果Rabc且A在b中為真，那么B在c中為真。0是K中一個(gè)特別的元素，所有在0上為真的公式就是在這個(gè)框架形成的模型中有效的公式。這些就是關(guān)系語義的核心部分。但這還只是一個(gè)抽象的語義，因?yàn)槠渲胁]有說明a,b,c都是什么，R又是什么意義上的關(guān)系，至多只是說到0是一個(gè)“邏輯建構(gòu)”（logical set-up），什么是邏輯建構(gòu)，對(duì)此沒有更多的解釋。正因?yàn)槿绱?，于是引出了多種直觀解釋。對(duì)此我們認(rèn)為，這個(gè)框架實(shí)際上也可以做推理的解釋。

任何一個(gè)推理都有三個(gè)部分：規(guī)則、前提和結(jié)論。設(shè)A→B是一個(gè)推理規(guī)則。如果有前提A，那么經(jīng)由規(guī)則A→B的應(yīng)用就能得到結(jié)論B。一般地，設(shè)r是一個(gè)規(guī)則集，a是一個(gè)前提集，b是由r和a得到的結(jié)論集，即由r中的規(guī)則和a中的前提得到結(jié)論都在b之中，于是我們可以得一個(gè)三元組〈r,a,b〉?？紤]到r可作用于不同的前提集以得到不同的結(jié)論集，于是有不同的三元組，如〈r,a′,b′〉，〈r,a′,b′〉等，進(jìn)而形成一個(gè)三元組的集合{〈r,a,b〉,〈r,a′,b′〉,〈r,a′,b′〉,〈r,a′′,b′′〉,...}，這就是三元關(guān)系R。從這個(gè)角度看，R就是一種推理關(guān)系。

根據(jù)這個(gè)考慮，令Z是一個(gè)由公式集構(gòu)成的集合，R是上述三元關(guān)系。于是，對(duì)于Z中任意的元素a,b,c,Rabc表示的是規(guī)則集a、前提集b和結(jié)論集c三者之間所具有推出關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，還可以設(shè)一個(gè)特殊的規(guī)則集，稱為邏輯規(guī)則集，記作r。Rrab與Rabc類似，只是其中的規(guī)則集r是邏輯規(guī)則集。這里的“邏輯規(guī)則”即適用于Z中的所有公式集的規(guī)則。于是，可以通過由Z，R，r三個(gè)要素組成的三元組〈Z,R,r〉作為語義裝置，用以刻畫推理的形式規(guī)律。設(shè)G是一定條件下所有這些三元組構(gòu)成的集合，令LG=∩{r|〈Z,R,r〉∈G}。于是，LG中的公式就是由G所確定的所有推理都適用的規(guī)則，從而達(dá)到對(duì)于某種邏輯的刻畫。

三元組〈Z,R,r〉通過規(guī)則集（包括邏輯規(guī)則集）和前提集以及結(jié)論集之間的關(guān)系表達(dá)了推理的最為基本的結(jié)構(gòu)。因此這個(gè)語義稱為推理語義。規(guī)則集、前提集和結(jié)論集是所有推理最一般的組成要素，由此得到推理的一般形式結(jié)構(gòu)。在這個(gè)基礎(chǔ)上，還可以考慮不同類型的推理，增加一定的條件，由此得到不同邏輯。周北海（[15]）用推理語義證明了Efde的可靠性和完全性。本文試以相干邏輯系統(tǒng)R+為例，將推理語義推廣到相干邏輯。重點(diǎn)是考察推理語義與關(guān)系語義之間的等價(jià)關(guān)系。推理語義有明確的直觀背景，可以通過這個(gè)等價(jià)關(guān)系給出關(guān)系語義的直觀解釋。

2 相干邏輯系統(tǒng)R+及其關(guān)系語義

系統(tǒng)R+（[1]）是相干邏輯的重要系統(tǒng)之一，是最集中體現(xiàn)相干蘊(yùn)涵性質(zhì)的純蘊(yùn)涵系統(tǒng)R→的擴(kuò)張，并且具有一定的簡潔性，比如不用考慮否定聯(lián)結(jié)詞，可以使得語義框架、模型相對(duì)簡單（省去否定算子?），以更集中地討論目前的主要問題。

R+的語言記作L，其中有可數(shù)多個(gè)命題變項(xiàng)p,q,...，連接詞→,∧,∨，以及左括號(hào)“(”和右括號(hào)“)”；有以下類型的公式：變項(xiàng)，A∧B，A∨B和A→B。以下用V(L)表示L的變項(xiàng)集，F(xiàn)(L)表示L的公式集。

R+的公理模式和規(guī)則：

定義1三元組〈K,0,R〉是一個(gè)R+框架，當(dāng)且僅當(dāng)，

(1)K是一個(gè)非空集，其中的元素稱為建構(gòu)（set-up）；

(2)0∈K，稱為邏輯建構(gòu)；

(3)R是K上滿足以下條件的三元關(guān)系：對(duì)任意的a,a′,b,c∈K，1這些條件因?yàn)橐蕾囮P(guān)系與原文的排序有所不同（詳情見命題2）。

(i)同一性（Identity）：R0aa；

(ii) 冪等性（Idempotence）：Raaa；

(iii)交換性（Commutativity）：Rabc?Rbac；

(iv)結(jié)合性（Associativity）：R2(ab)cd?R2a(bc)d；2R2(ab)cd=df?x(Rabx∧;Rxcd)，R2a(bc)d=df?x(Raxd∧Rbcx)。

(v) 單調(diào)性（Monotony）：Rabc且R0a′a?Ra′bc。

定義2結(jié)構(gòu)M=〈K,0,R,?〉是一個(gè)R+模型，當(dāng)且僅當(dāng)，

(1)〈K,0,R〉是R+框架；

(2)?是一個(gè)從K到F(L)的關(guān)系（稱為賦值關(guān)系），滿足下面的條件：

(i)對(duì)任意的變項(xiàng)p，如果M,a?p并且R0ab，則M,b?p；

(ii)M,a?A∧B，當(dāng)且僅當(dāng)，M,a?A且M,a?B；

(iii)M,a?A∨B，當(dāng)且僅當(dāng)，M,a?A或M,a?B；

(iv)M,a?A→ B，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意的b,c∈K，如果Rabc且M,b?A，那么M,c?B。

定義3設(shè)M是任意R+模型，A是任意公式。如果M,0?A，那么A在M上被驗(yàn)證（verified）；如果A在所有模型上都被驗(yàn)證，那么A是有效的。

在這一語義中，R+是可靠的和完全的（[2,6]）。

3 R+的推理語義

每一推理都包括規(guī)則集、前提集和結(jié)論集三個(gè)部分。以下所給出的就是根據(jù)這個(gè)思想所構(gòu)建的R+形式語義，其中也參照了R+的關(guān)系語義的特點(diǎn)。

記號(hào)設(shè)a,b是任意的公式集，令[ab]={B|A→B∈a且A∈b}。

定義4三元組〈Z,R,r〉是一個(gè)推理語義框架，當(dāng)且僅當(dāng)，

(1)Z??(F(L))；

(2)r∈Z，稱為邏輯規(guī)則集；

(3)對(duì)任意的a,b,c∈Z，Rabc，當(dāng)且僅當(dāng)，[ab]?c。3這是Rabc的嚴(yán)格表述。確切的說，[ab]是由規(guī)則集a和前提集b得到的結(jié)論集。Rabc即[ab]包含于c。c是包含[ab]的集合，為表述方便也簡稱結(jié)論集。

定義5四元組M=〈Z,R,r,?〉是一個(gè)推理語義的模型，當(dāng)且僅當(dāng)，

(1)〈Z,R,r〉是推理語義框架；

(2)?是一個(gè)從Z到F(L)的關(guān)系（稱為賦值關(guān)系），滿足下面的條件：

(i)M,a?p，當(dāng)且僅當(dāng)，p∈a；

(ii)M,a?A∧B，當(dāng)且僅當(dāng)，M,a?A且M,a?B；

(iii)M,a?A∨B，當(dāng)且僅當(dāng)，M,a?A或M,a?B；

(iv)M,a?A→ B，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意的b,c∈Z，如果Rabc且M,b?A，那么M,c?B。

定義6三元組〈Z,R,r〉是一個(gè)R+的推理語義框架，當(dāng)且僅當(dāng)，

(1)〈Z,R,r〉是推理語義框架；

(2)Th(R+)?r；

(3)對(duì)任意的a,b,c∈Z，任意的A,B∈F(L)，

(i)[ra]?a；

(ii)[aa]?a（a對(duì)分離封閉）；

(iii)[ba]?[ab]；

(iv)[a[bc]]?[[ab]c]；

(v)[ra′]?a?[a′b]?[ab]。

定義7四元組〈Z,R,r,?〉是R+的推理語義模型，當(dāng)且僅當(dāng)，

(1)〈Z,R,r〉是一個(gè)R+的推理語義框架；

(2)?推理語義模型中的賦值關(guān)系。

定義8設(shè)M是任意R+推理語義模型的模型類，A是任意公式。A在M上有效，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于任意模型〈Z,R,r?〉∈M，A∈r。

R+的推理模型是存在的。這可以通過下面的例子來證明。

設(shè)Z′={r,a,b,c,d,e}。其中r=Th(R+)∪{p,q,r,s,p→q},a={p,q,r, p∧q→q,p→q},b={r,s,r→r∨p},c={p,q,p→q,q→q}，d={q,s,q→q}，e={q,q→q}。

設(shè)x是Z′中的任意公式集，令x是滿足以下條件的最小集合：x?x且對(duì)R1和R2封閉并對(duì)規(guī)則“從A或B得到A∨B”封閉。令Z={r,a,b,c,d,e}。根據(jù)定義7，可以驗(yàn)證〈Z,R,r〉是一個(gè)R+框架，于是，〈Z,R,r,?〉是一個(gè)R+模型。

定義7以R+為例，給出了完整的推理語義。根據(jù)這個(gè)語義，所有有效公式形成一個(gè)公式集，記作LR+。從R+的推理模型看，LR+中的規(guī)則普遍適用于一定條件（即定義6給出的框架條件）下的所有推理，而且LR+包含了所有這樣的規(guī)則。如果可以證明R+對(duì)于這個(gè)有效公式集是可靠的和完全的，那么可以說，R+是LR+的公理化系統(tǒng)。事實(shí)上，這個(gè)推理語義也是根據(jù)R+的關(guān)系語義給出的，特別是其中的框架條件（定義6（3））。以下將證明R+的推理語義和關(guān)系語義是等價(jià)的。既然對(duì)于關(guān)系語義來說，R+是可靠的和完全的，由此可以得到R+關(guān)于推理語義也是可靠的和完全的。

R+是LR+的公理化系統(tǒng)。推理語義是對(duì)于推理結(jié)構(gòu)的刻畫，有明確的推理背景。從這個(gè)角度看，R+是關(guān)于推理的系統(tǒng)。

4 R+的關(guān)系語義和推理語義的等價(jià)性

定義9設(shè)M,M′是任意的兩個(gè)模型。M與M′是等價(jià)的，如果對(duì)于任意公式A，A在M上有效，當(dāng)且僅當(dāng)，A在M′上有效。

定義10設(shè)S是任意相干邏輯系統(tǒng)。S的關(guān)系語義和推理語義是等價(jià)的，如果

（1）任給S的推理語義模型M，存在S的關(guān)系語義模型M，M和M是等價(jià)的；

（2）任給S的關(guān)系語義模型M，存在S的推理語義模型M，M和M是等價(jià)的。

命題1任意R+的推理語義模型也是R+的關(guān)系語義模型。

證明.設(shè)M=〈Z,R,r,?〉是R+的推理語義模型。按定義2，需證（1）〈Z,R,r〉是R+的關(guān)系語義框架，以及（2）?是關(guān)系語義模型的賦值。

（1） 〈Z,R,r〉是R+的關(guān)系語義框架。因?yàn)椤碯,R,r〉是R+的推理語義框架，按定義6，Z非空，r∈Z，即滿足定義1(1)和(2)。下證〈Z,R,r〉滿足定義1(3)(i)-(v)。

由定義6(3)(i)[ra]?a和(ii)[aa]?a，直接可得Rraa和Raaa。

(iii)Rabc?Rbac。由定義6(3)(iii)有[ba]?[ab]，由此可得對(duì)任意的公式集c，[ab]?c?[ba]?c，即Rabc?Rbac。

(iv)R2(ab)cd?R2a(bc)d，即?x(Rabx∧Rxcd)??x(Raxd∧Rbcx)。

由定義6(3)(iv)可得[[ab]c]?d?[a[bc]]?d，即R[ab]cd?Ra[bc]d。因?yàn)閇ab]?[ab]總是成立的，所以總有Rab[ab]。類似地，總有Rbc[bc]。于是有(Rab[ab]∧R[ab]cd)?(Ra[bc]d∧Rbc[bc])。由此可得

因?yàn)榭傆蠷ab[ab]，所以有?x(Rabx∧Rxcd)?Rab[ab]。再由定義6(3)(i)和(v)可得?x(Rabx∧Rxcd)?R[ab]cd。于是有

由(a)和(b)，可得?x(Rabx∧Rxcd)??x(Raxd∧Rbcx)。

(v)Rabc且Rra′a?Ra′bc。由定義6(3)(v)有[ra′]?a?[a′b]?[ab]。

由此可得[ra′]? a? ([ab]? c? [a′b]? c)。于是有[ra′]? a并且[ab]?c?[a′b]?c。這就是Rabc且Rra′a?Ra′bc。

（2） ?是關(guān)系語義模型的賦值關(guān)系。按定義2只需證，對(duì)于任意的變?cè)猵，如果M,a?p，并且Rrab則M,b?p。設(shè)M,a?p，根據(jù)定義5，有p∈a。由定義6，Th(R+)?r，所以p→ p∈r。由p→p∈r和p∈a，可得p∈[ra]。又因?yàn)镽rab，按定義即[ra]?b。所以有p∈b。由此可得M,b?p。 □

定義11設(shè)M=〈K,R,0,?〉是任意的關(guān)系語義模型。s(M)=〈s(K),s(R), s(0),s(?)〉是M的公式化模型（formulistic model），如果

（1） 對(duì)于任意a∈K，s(a)={A|M,a?A}；

（2） s(K)={s(a)|a?K}；

（3） 對(duì)任意的a,b,c∈s(K)，s(R)abc，當(dāng)且僅當(dāng)，[ab]?c；

（4） s(?)是推理語義的賦值映射?。

s(M)中的〈s(K),s(R),s(0)〉部分稱為〈K,R,0〉的公式化框架。

命題2設(shè)F=〈K,R,0〉是任意關(guān)系語義框架，s(F)=〈s(K),s(R),s(0)〉是F的公式化框架。如果F是一個(gè)R+的關(guān)系語義框架，那么s(F)是R+的推理語義框架。

證明.因?yàn)椤碖,R,0〉是一個(gè)R+的關(guān)系語義框架，K?，0∈K，所以s(K)?，s(0)∈s(K)，s(F)滿足定義6中的(1)和(2)。以下證s(F)滿足定義6(3)(i)-(v)。

關(guān)于條件(i)，即證對(duì)任意的a，[s(0)a]?a。設(shè)a是s(K)中的任意元素。由定義11，存在a∈K,a=s(a)。M是R+模型，所以有R0aa。于是，對(duì)任意的公式A,B，如果M,0?A→B，且M,a?A，那么M,a?B。由此可得，如果A→B∈s(0)且A∈s(a)，則B∈s(a)。這就是[s(0)a]?a。

關(guān)于條件(ii)，即證對(duì)任意的a，[aa]?a。由定義11，不妨設(shè)存在a∈K,a=s(a)。F是R+的關(guān)系語義框架，所以有Raaa。于是，對(duì)任意的公式A,B，如果M,a?A→B，且M,a?A，那么M,a?B。由此可得，如果A→B∈s(a)且A∈s(a)，則B∈s(a)，即[aa]?a。

關(guān)于條件(iii)，即證對(duì)任意的a,b，[ba]?[ab]，也即對(duì)任意的c，[ab]?c?[ba]?c。設(shè)A,B是任意公式，A→B∈b且A∈a。因?yàn)锳→((A→B)→B)是R+定理（由A4和A1可得），所以A→((A→B)→B)∈s(0)。又因?yàn)橛衧(R)s(0)aa,A∈a，所以(A→B)→B∈a。由(A→B)→B∈a和A→B∈b可得B∈[ab]。因?yàn)閇ab]?c，于是B∈c。

關(guān)于條件(iv)，即證對(duì)任意的a,b,c，[a[bc]]?[[ab]c]，這是對(duì)任意的d，[[ab]c]?d? [a[bc]]?d。此證明需要解決的是，對(duì)任意的A,B，假設(shè)有(1)A→B∈a，(2)A∈[bc]，再由(3)[[ab]c]?d，推出B∈d。

由(2)，可得存在公式C，(4)C→A∈b，且(5)C∈c。設(shè)E=(C→A)→((A→B)→(C→B))。因?yàn)镋是R+定理，所以E∈s(0)。再由(4)和s(R)s(0)bb（以上所證條件(ii)），可得(A→B)→(C→B)∈b。再由(1)，可得C→B∈[ba]。又因?yàn)橛衃ba]?[ab]（以上所證條件(iii)），可得C→B∈[ab]。再由(5)，可得B∈[[ab]c]。于是，由(3)，B∈d。

關(guān)于條件(v)，即證對(duì)任意的a,b，[ra′]?a?[a′b]?[ab]。設(shè)B∈[a′b]。由此又可設(shè)，存在A，A→B∈a′且A∈b。因?yàn)锳→A是公理，所以(A→B)→(A→B)∈r。又因?yàn)锳→B∈a′，[ra′]?a，所以A→B∈a。再由A∈b，所以B∈[ab]。 □

命題3設(shè)M=〈K,R,0,?〉是任意關(guān)系語義模型。如果M是一個(gè)R+模型，那么M的公式化模型s(M)=〈s(K),s(R),s(0),s(?)〉是R+的推理語義模型。

證明.由命題2，〈s(K),s(R),s(0)〉是推理語義框架。s(?)即?，是推理語義模型中的賦值，所以s(M)是推理語義模型。 □

命題4設(shè)M=〈K,R,0,?〉是任意關(guān)系語義模型，s(M)=〈s(K),s(R),s(0), s(?)〉是M的公式化模型，A是任意的公式。對(duì)任意的a∈s(K),s(M),a?A，當(dāng)且僅當(dāng)，A∈a。

證明.對(duì)于變項(xiàng)，由定義5(2)(i)，命題成立。

設(shè)A∧B∈a。a∈s(K)所以存在a∈K，M,a?A∧B。按定義2，有M,a?A且M,a?B。于是，有A∈a且B∈a。由歸納假設(shè)，s(M),a?A且s(M),a?B。再由定義5，可得s(M),a?A∧B。

A∨B與A∧B類似。

設(shè)A→B∈a，對(duì)任意的b,c∈Z，如果Rabc且A∈b則B∈c。由歸納假設(shè)，對(duì)任意的b,c∈Z，如果Rabc且s(M),b?A則s(M),c?B。按定義5，即s(M),a?A→B。

命題5設(shè)M=〈K,R,0,?〉是任意關(guān)系語義的R+模型。如果s(M)=〈s(K),s(R),s(0),s(?)〉是M的公式化模型，那么M與s(M)等價(jià)。

證明.設(shè)A是任意公式。由命題4，可得s(M),s(0)?A當(dāng)且僅當(dāng)A∈s(0)。又因?yàn)锳∈s(0)當(dāng)且僅當(dāng)M,0?A，所以有s(M),s(0)?A當(dāng)且僅當(dāng)M,0?A。

命題6R+的關(guān)系語義和推理語義是等價(jià)的。

證明.由命題1可得，對(duì)于R+的任意推理模型M，存在R+的關(guān)系語義模型M，M和M是等價(jià)的。由命題3和命題5可得，對(duì)于R+的任意關(guān)系模型M，存在R+的推理模型M，M和M是等價(jià)的。由定義10，命題成立。 □

5 相干邏輯的關(guān)系語義究竟刻畫的是什么

自相干邏輯的關(guān)系語義產(chǎn)生以來，關(guān)于這個(gè)語義的直觀意義是什么的問題就一直為邏輯學(xué)家們所關(guān)注，出現(xiàn)了多種解釋。Dunn（[5]）將K解釋為信息片段的集合，Rabc表示“信息狀態(tài)a和b的并包含在信息狀態(tài)c中”。Barwise（[3]）以及Restall（[9]）提出了途徑論（Channel Theory）的解釋。這一解釋認(rèn)為K可被視為是信息論（Information Theory）中的位置（site）和途徑（channel）所構(gòu)成的集合。位置是接收信息的一個(gè)情境，途徑則是傳遞信息的渠道。在這種解釋下，如果a是一個(gè)途徑，b和c是位置，那么Rabc就表示途徑a連接了位置b和c。Mares（[7]）和Israel&Perry（[4]）在其所構(gòu)建的信息論基礎(chǔ)上對(duì)此提出了世界及其之中信息之間關(guān)聯(lián)性的解釋。他們認(rèn)為，每個(gè)世界都包含了某種信息之間的關(guān)聯(lián)性。例如在現(xiàn)實(shí)世界中，根據(jù)牛頓力學(xué)，如果x和y是有質(zhì)量的物體，那么它們就會(huì)相互吸引。設(shè)a表示現(xiàn)實(shí)世界，b表示x和y是有質(zhì)量的物體這一信息，c表示x和y相互吸引這一信息，于是Rabc表示的是，在世界a中，如果b（x和y是有質(zhì)量的物體）那么c（x和y相互吸引）。Mares（[8]）用情景化蘊(yùn)涵（situated implication）解釋相干蘊(yùn)涵，關(guān)系語義模型中的K被解釋為情景的集合。如果a、b是任意兩個(gè)情景，P是任意命題，I是描述情景化蘊(yùn)涵的三元關(guān)系，那么Iab‖P‖就表示了a和b中的信息蘊(yùn)涵了這樣一個(gè)情景的集合，P在該集合中的任意情景上都為真。于是，蘊(yùn)涵式A→B在情景a中為真，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于所有使得A為真的情景b來說，Iab‖B‖成立。在此基礎(chǔ)上，Rabc表示的是c屬于任意使得Iab‖P‖成立的命題P。胡光遠(yuǎn)（[14]）再述了這一解釋。

這些解釋的一個(gè)共同特點(diǎn)就是都與信息相關(guān)，關(guān)系語義中的三元關(guān)系或者是信息之間的關(guān)系，或者是信息與世界、情境相關(guān)的關(guān)系。4這個(gè)現(xiàn)象大概與推理語義產(chǎn)生的過程有關(guān)。Dunn&Restall（[6]）指出這一語義是由Routly和Urquhart在二十世紀(jì)六十年代和七十年代所分別提出的操作語義（operational semantics）的發(fā)展。操作語義中的框架是一個(gè)三元組〈K,?,0〉，其中K是信息片段（pieces of information）的集合，?是K上信息片段之間的復(fù)合運(yùn)算，0表示的是“空的信息片段”。按照這些解釋，相干邏輯就應(yīng)該是關(guān)于信息之間的關(guān)系的邏輯，但這與相干邏輯的發(fā)展歷史并不相符。相干邏輯產(chǎn)生于上世紀(jì)六十年代，直接的動(dòng)因是消除蘊(yùn)涵悖論或蘊(yùn)涵怪論。蘊(yùn)涵悖論最早出現(xiàn)于實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵。所謂“悖論”，不過是直觀上的推出關(guān)系與實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的不同。為消除實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵悖論，C.I.Lewis以日常推理的推出關(guān)系為原型，提出了嚴(yán)格蘊(yùn)涵，并構(gòu)建了嚴(yán)格蘊(yùn)涵系統(tǒng)。但是不久人們發(fā)現(xiàn)嚴(yán)格蘊(yùn)涵也有悖論問題。為消解嚴(yán)格蘊(yùn)涵悖論，上世紀(jì)五十年代至六十年代，在莫紹揆、W.Ackerman等人工作的基礎(chǔ)上，A.Anderson和N.Belnap建立了以相干蘊(yùn)涵為核心的相干邏輯（[13]，第8-9頁）。從這個(gè)過程可以看出，相干邏輯是圍繞推理問題產(chǎn)生和發(fā)展起來的邏輯分支，但是目前相干邏輯關(guān)系語義的各種直觀解釋與此并不吻合，讓相干邏輯看起來是關(guān)于信息處理的邏輯，這或許是讓人不滿意這些解釋的原因之一。5在本文的寫作過程中，我們?cè)儐柫薔.Belanp關(guān)于關(guān)系語義的三元關(guān)系直觀意義的問題。Belnap在回復(fù)中說：“我花了很多年來考慮相干邏輯中三元關(guān)系的問題。最后，關(guān)于三元關(guān)系的直觀意義，我所能說的也就是Anderson&Belnap（[2]）中三處非常短的引述。這三處引述是由R.Meyer、A.Urquhart和K.Fine發(fā)現(xiàn)的。關(guān)系語義雖然形式上非常漂亮，但是我卻不知道它到底在說什么。因?yàn)檫@三條引述非常短，所以我認(rèn)為沒什么人能在關(guān)系語義的直觀意義問題上說些更多的東西。……但是在我看來，這始終是‘眼中的沙子’”。

當(dāng)然，歷史的原因或人們構(gòu)造某種邏輯的動(dòng)因與實(shí)際得到的邏輯可能會(huì)有偏差，Lewis的嚴(yán)格蘊(yùn)涵邏輯就是一例。Lewis希望得到刻畫日常推理的邏輯，但是嚴(yán)格蘊(yùn)涵邏輯走向了關(guān)于必然性和可能性的邏輯之路，Lewis也由此成為現(xiàn)代模態(tài)邏輯的創(chuàng)始人。盡管相干邏輯是沿著Lewis所希望的方向繼續(xù)前進(jìn)，但是難免也出現(xiàn)同樣的情況，實(shí)際上走向了信息處理的方向?？傊?，歷史的原因還不能作為相干邏輯究竟是什么邏輯最具決定性的證據(jù)。這個(gè)最后的證據(jù)只能是其形式語義的直觀。

推理語義有明確的推理背景，特別是其中的三元關(guān)系，一開始就明確提出，這是推理中的規(guī)則集、前提集和結(jié)論集三者之間的關(guān)系，因此推理語義的框架和模型實(shí)際上就是對(duì)于推理形式結(jié)構(gòu)的刻畫。本文以相干邏輯系統(tǒng)R+為例，證明了關(guān)于R+推理語義本身就是關(guān)系語義（命題1），而且與關(guān)系語義是等價(jià)的（命題6）。雖然這只是一個(gè)例子，但是其中已經(jīng)包含了主要的要點(diǎn)，并且展示了具體的細(xì)節(jié)。根據(jù)這個(gè)例子，有理由認(rèn)為，將關(guān)系語義做推理的解釋更為合理。實(shí)際上，相干邏輯提出的基本思想就是試圖通過滿足相干原則的蘊(yùn)涵來表達(dá)推理前提和結(jié)論之間的內(nèi)容聯(lián)系，以解決各種真值蘊(yùn)涵的前件和后件在內(nèi)容關(guān)聯(lián)上的不足這個(gè)問題。在這樣的思想下建立的系統(tǒng)，最后得到了本質(zhì)上是關(guān)于推理形式結(jié)構(gòu)的關(guān)系語義學(xué)，應(yīng)該說也是順理成章的結(jié)果。

從推理形式結(jié)構(gòu)的角度看，不僅推理語義的解釋更為直觀，而且在這個(gè)大的背景下，其中的關(guān)系條件也可以得到合理的解釋。例如，關(guān)于系統(tǒng)R+的關(guān)系語義中的幾個(gè)條件關(guān)系（定義1(3)）的解釋：

R0aa表達(dá)的是，邏輯規(guī)則可以用于任何前提集，推出的結(jié)論不會(huì)超出這個(gè)前提集本身；

Raaa表達(dá)的是，任何公式集都可以即做規(guī)則集又做前提集，推出是結(jié)論不會(huì)超出自己；

Rabc?Rbac表達(dá)的是規(guī)則集和前提集可以互換；

R2(ab)cd?R2a(bc)d是最為復(fù)雜的條件，從命題2關(guān)于條件(iv)的證明看，主要是用到了(C→A)→((A→B)→(C→B))，所以，這個(gè)性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的其實(shí)主要就是三段論推理。

Rabc且R0a′a? Ra′bc表達(dá)的是在推理語義中，R的這個(gè)性質(zhì)對(duì)應(yīng)于[ra′]?a?[a′b]?[ab]。這說明，如果a包含了邏輯規(guī)則和a′推出的結(jié)論集[ra′]，那么，用a′做規(guī)則集能推出什么，用a做規(guī)則集也能推出什么。這是推理的單調(diào)性（增加了前提還可以推出原來可以推出的結(jié)論）。

這些解釋同時(shí)也表明了R+是關(guān)于什么推理的邏輯。

當(dāng)然，關(guān)系語義模型和推理語義模型還是有所不相同的模型。為刻畫推出關(guān)系，推理語義模型要求論域中所有的元素都是公式集，而關(guān)系語義模型中卻沒有這樣的要求。從這點(diǎn)看，關(guān)系語義比推理語義更抽象，所以也有更廣的應(yīng)用范圍。但是這并不表明這些應(yīng)用都是關(guān)系語義的基本直觀意義?？赡苁澜缯Z義學(xué)也有類似情況。從抽象的形式語義看，可能世界語義學(xué)中的框架〈W,R〉只要求W是非空集，R是W上的二元關(guān)系，可能世界語義也因此有了廣泛的應(yīng)用范圍，如語言分析，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和計(jì)算機(jī)狀態(tài)及其關(guān)系的各種刻畫，但是這并不妨礙我們?nèi)匀粚看做是可能世界的集合，R看做可能世界之間的可及關(guān)系。這就是可能世界語義學(xué)的直觀。

相干邏輯的出現(xiàn)是為了刻畫推出關(guān)系。從推理的直觀看，關(guān)系語義提供了對(duì)于推理結(jié)構(gòu)的形式刻畫。這一解釋為相干邏輯的關(guān)系語義提供了一個(gè)合適的直觀理解，也為相干邏輯的產(chǎn)生和發(fā)展歷程提供了合適的解釋。

6 結(jié)語

對(duì)于相干邏輯來說，基于三元關(guān)系形成的關(guān)系語義在技術(shù)上可以說是一個(gè)完美的語義，但是長期以來這個(gè)語義的直觀意義是什么并沒有令人滿意的回答。這個(gè)問題涉及到相干邏輯是什么邏輯的問題。其中的關(guān)鍵是這個(gè)語義中的三元關(guān)系究竟是什么關(guān)系。推理語義對(duì)此給出了一個(gè)推理要素之間關(guān)系的解釋，由此構(gòu)造了表達(dá)推理形式結(jié)構(gòu)的推理語義框架和模型。推理語義框架和模型有明確的直觀意義。從推理語義模型與關(guān)系語義模型的等價(jià)關(guān)系上看，推理語義完全可以作為關(guān)系語義向推理的直觀解釋過渡的一個(gè)中間環(huán)節(jié)。由此不僅使得相干邏輯的關(guān)系語義有了推理結(jié)構(gòu)的解釋，同時(shí)也說明了相干邏輯是一種關(guān)于推理的邏輯。這與相干邏輯產(chǎn)生的歷史也完全吻合。

本文只是以相干邏輯R+的關(guān)系語義為例來說明我們的觀點(diǎn)。推理語義具有一般性，這里的討論應(yīng)該也可以推廣到其他相干邏輯的關(guān)系語義，甚至更為一般的關(guān)于推理的邏輯的研究。

[1] A.R.Anderson and N.Belnap,1975,Entailment:The Logic of Relevance and Necessity,volume I,Princeton:Princeton University Press.

[2] A.R.Anderson,N.Belnap and J.M.Dunn,1992,Entailment:The Logic of Relevance and Necessity,volume II,Princeton:Princeton University Press.

[3] J.Barwise,1993,“Constraint,channels and the flow of information”,in P.Aczel,D. Israel,Y.Katagiri and S.Peters(eds.),Situation Theory and Its Application,3,pp.3-27,Stanford:CSLI Publication.

[4] D.D.Israel and J.Perry,1990,“What is information?”,in P.Hanson(ed.),Information,LanguageandCognition,6,pp.1-19,Vancouver:UniversityofBritishColumbia Press.

[5] J.Dunn,1986,“Relevance logic and entailment”,in D.Gabbay and F.Guenthner (eds.),HandbookofPhilosophicalLogic,3,pp.117-124,Dordrecht:RiedelPublishing Company.

[6] J.DunnandG.Restall,2002,“Relevancelogic”,inD.GabbayandF.Guenthner(eds.), Handbook of Philosophical Logic 2nd,6,pp.86-98,Netherlands:Kluwer Academic Publishers.

[7] E.Mares,1997,“Relevant logic and the theory of information”,Synthese,109:354-360.

[8] E.Mares,2004,Relevant Logic:A Philosophical Interpretation,Cambridge:Cambridge University Press.

[9] G.Restall,1996,“Information flow and relevant logics”,in D.W.J.Seligman(ed.), Logic,Language and Computation,1,pp.463-478,Stanford:CSLI Publication.

[10] R.Routley and R.Meyer,1972,“The semantics of entailment,II”,Journal of Philosophical Logic,(1):53-73.

[11] R.Routley and R.Meyer,1972,“The semantics of entailment,III”,Journal of Philosophical Logic,(1):192-208.

[12] R.Routley and R.Meyer,1973,“The semantics of entailment”,in H.Leblanc(ed.), Truth,Syntax and Modality,pp.199-243,Amsterdam:North-Holland.

[13] 馮棉，相干邏輯研究，2010年，華東師范大學(xué)出版社。

[14] 胡光遠(yuǎn)，“相干邏輯的情境論解釋”，邏輯學(xué)研究，2013年第6卷第4期，第105-115頁。

[15] 周北海，“衍推系統(tǒng)Efde的推理模型”，自然辯證法研究（增刊），1996年，第10-12頁。

[16] 周北海，“推理、推理模型和推理語義”，邏輯今探——中國邏輯學(xué)會(huì)第五次代表大會(huì)暨學(xué)術(shù)討論會(huì)論文集（1996），1999年，中國社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社，第3-15頁。

（責(zé)任編輯：潘琳琦）

An Explanation for the Relational Semantics of Relevance Logic

Beihai Zhou
Department of Philosophy,Peking University zhoubh@phil.pku.edu.cn
Qing Jia
Institute of Philosophy,Chinese Academy of Social Sciences v100jq@163.com

Relationalsemanticsisoneofthemostpopularsemanticsforrelevancelogic.However,because this semantics is a kind of“purely”formal semantics,the ternary relation R lacks intuition,and that is why there are various interpretations for relational semantics.As to our opinion,R is a representation of the relation among rules,premises and conclusions.Basedonthisopinion,inferencesemanticsispresented.Thebackgroundof inference semantics is the formal structure of inference and this feature makes inference semantics intuitive for our understanding.In this paper,we will prove that relational semantics and inference semantics are equivalent with respect to the relevance logical system R+.From this equivalence relation,inference semantics could be viewed as an intermediate link for the intuitive interpretation of relational semantics.By inference semantics,relational semantics could got an interpretation from the structure of inference.Relevance logic is a logic of inference,so inference semantics is coincident with the history of relevance logic.

B81

A

1674-3202(2015)-01-0050-15

2015-01-20

國家社科基金重大項(xiàng)目（批準(zhǔn)號(hào)12&ZD119）。

?致 謝：感謝Nuel D.Belanp在本文寫作中所給予的支持。馮棉教授閱讀了初稿，指出了其中的一個(gè)錯(cuò)誤，特此致謝。