“坐標(biāo)系中三角尺滑動(dòng)”的教學(xué)與反思

☉江蘇省泗洪縣第三中學(xué) 劉儉紅

“坐標(biāo)系中三角尺滑動(dòng)”的教學(xué)與反思

☉江蘇省泗洪縣第三中學(xué) 劉儉紅

在最近一次中考復(fù)習(xí)教研活動(dòng)中，筆者有幸執(zhí)教了一節(jié)“坐標(biāo)系中三角尺滑動(dòng)”的教學(xué)研討課，得到與會(huì)老師的好評(píng)，本文呈現(xiàn)這次活動(dòng)的教學(xué)流程和預(yù)設(shè)意圖，與更多同行研討交流.

一、課例教學(xué)流程

活動(dòng)一：三角尺擺放到坐標(biāo)系.

操作與思考：將一條直角邊落在坐標(biāo)軸上，且使其中一個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，求落在第一象限內(nèi)的那個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

預(yù)設(shè)意圖：通過在平面直角坐標(biāo)系下擺放特殊直角三角形，讓學(xué)生復(fù)習(xí)坐標(biāo)系下特殊點(diǎn)的坐標(biāo)的求法；由于問題答案開放，如圖1、圖2，可以讓不同小組匯報(bào)他們的擺放方式和解法，達(dá)到學(xué)生全員參與的效果.

圖1

圖2

活動(dòng)二：換個(gè)方式再擺放.

操作與思考：將斜邊落在坐標(biāo)軸上，且使其中一個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，求落在第一象限內(nèi)的那個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

預(yù)設(shè)意圖：擺放方式不唯一，如圖3，斜邊落在坐標(biāo)軸上后，求第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)則需要向坐標(biāo)軸引垂線段（CG⊥AB于點(diǎn)G），構(gòu)造Rt△BCG求解，比前一種擺放式要增加了解題層次，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“射影定理”及其性質(zhì)，并靈活寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，為后續(xù)變式研究打下基礎(chǔ).

圖3

活動(dòng)三：滑動(dòng)三角尺.

操作與思考：將含30°的直角三角尺（△ABC）放在如圖4所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（0，4），∠BAC=30°，將△ABC中的點(diǎn)B沿y軸向下運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A沿x軸的正半軸運(yùn)動(dòng).

（1）當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)（_____，_____）；

（2）當(dāng)點(diǎn)B向下運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)C到原點(diǎn)O的距離；

圖4

（3）當(dāng)點(diǎn)B向下運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)D（0，-4）時(shí)，求點(diǎn)C走過的路徑長(zhǎng).

預(yù)設(shè)意圖：前兩問屬于預(yù)熱階段，第（1）問與上一個(gè)操作活動(dòng)相呼應(yīng)，學(xué)生應(yīng)該很快能寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)（1，；第（2）問，讓學(xué)生體驗(yàn)向下平移一個(gè)特殊單位后，圖形的位置會(huì)發(fā)生怎樣的變化（如圖5），而這種位置也是一個(gè)特殊的位置狀態(tài)（BC⊥y軸，AC⊥x軸），此時(shí)點(diǎn)C距離原點(diǎn)也獲得了最大值；第（3）問要確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)、終點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)路徑，可以通過觀察、想象、作圖來判斷.從前兩問可以發(fā)現(xiàn)兩種不同位置狀態(tài)下點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（1，，（2，2），這時(shí)就能有個(gè)直覺，貌似在一條直線上，沿這個(gè)方向繼續(xù)驗(yàn)證、思考就能獲得突破.

圖5

下面預(yù)設(shè)幾種不同的探究思路：思路一：基于“四點(diǎn)共圓”角度，如圖6，由于Rt△AOB與Rt△ACB是共斜邊的直角三角形，以AB為直徑的圓滿足點(diǎn)A、O、B、C四點(diǎn)共圓，連接OC，根據(jù)圓周角性質(zhì)可知∠BOC=∠BAC=30°，即OC與y軸的夾角恒等于30°.于是可以判定點(diǎn)C走過的路徑應(yīng)該是一條線段！接下來再判斷點(diǎn)C，再結(jié)合第（2）問中點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離，發(fā)現(xiàn)這是在第一象限內(nèi)點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離4；相應(yīng)地，當(dāng)點(diǎn)C落在第三象限時(shí)，也有一個(gè)最大距離4，所以點(diǎn)C走過的路徑長(zhǎng)為4+4=8.

圖6

圖7

思路三：基于“直線斜率”角度，仍然利用圖7，從直線OC的斜率角度思考也可獲得解釋.

完成上述思路突破之后，可鏈接一道結(jié)構(gòu)相同的考題，如2015年1月湖北省武漢市九年級(jí)調(diào)研試卷中填空題第16題：

圖8

如圖8，將含30°的直角三角尺放在如圖8所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B在原點(diǎn)，∠C=90°，∠ABC= 30°，D點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)D點(diǎn)后停止.B點(diǎn)在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)C走過的路徑長(zhǎng)為________.

活動(dòng)四：換另一種三角尺再研究.

剛才研究了含30°的三角尺在坐標(biāo)系中的擺放與滑動(dòng)，我們知道還有另一個(gè)含45°的三角尺，下面來研究它在坐標(biāo)系中的擺放與滑動(dòng)問題.

圖9

操作與思考：將含45°的直角三角尺（△ABC）放在如圖9所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（0，4），∠BAC= 45°，將△ABC中的點(diǎn)B沿y軸向下運(yùn)動(dòng)到（0，-4）為止，同時(shí)，點(diǎn)A沿x軸的正半軸運(yùn)動(dòng).

（1）當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)（_____，_____）；

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，求第一象限內(nèi)的點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離；

（3）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2，0）時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo).

預(yù)設(shè)意圖：前兩問與之前的操作活動(dòng)類似，解答思路容易發(fā)現(xiàn).第（3）問需要分類討論，學(xué)生可能容易漏解，這時(shí)可啟發(fā)他們構(gòu)造出圖10的兩種情況，就容易發(fā)現(xiàn)Rt△AOB或Rt△AOB′是含30°的特殊直角三角形，從而問題獲解.事實(shí)上，如果課堂時(shí)間充足，還可引導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)計(jì)問題，比如此時(shí)能否求出點(diǎn)C的坐標(biāo)？

二、教學(xué)立意與教后反思

上面我們就各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)給出了相應(yīng)的教學(xué)預(yù)設(shè)，重點(diǎn)從操作的角度進(jìn)行了介紹，以下再?gòu)恼?jié)課的教學(xué)立意和教后反思的角度進(jìn)一步做出闡釋.

1.追求簡(jiǎn)約的復(fù)習(xí)課教學(xué)取向

受到應(yīng)試復(fù)習(xí)的影響，當(dāng)前中考復(fù)習(xí)課整體以大量例習(xí)題堆砌為主，過分追求針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或方法的例習(xí)題全方面、多角度覆蓋，從而使得課堂容量偏大，多數(shù)學(xué)生在課堂上難以接受或完全消化，在很多復(fù)習(xí)課堂上，常常見到的是教師或少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生輪番講解、展示，而大多數(shù)學(xué)生常常對(duì)有些較難的例題還沒有真正讀懂題意，就被牽引著看、聽解法，使得“探索未知世界”式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)又成為了“參觀式學(xué)習(xí)”.這也是我們預(yù)設(shè)上述課例的一個(gè)教學(xué)立意，即追求簡(jiǎn)約的復(fù)習(xí)課堂教學(xué)取向，使得更多的學(xué)生從較低的臺(tái)階出發(fā)，拾級(jí)而上，同時(shí)又讓不同的學(xué)生在課堂上達(dá)到不同的高度或知識(shí)理解的深度.

2.從開放題到開放的數(shù)學(xué)教學(xué)

所謂“開放題”，首先想到的可能就是“開放題”相對(duì)應(yīng)的那種“具有唯一正確答案，甚至唯一正確解題方法的傳統(tǒng)問題（封閉題）”.在“百度百科”上檢索“開放”一詞，有如下豐富的解釋：比如釋放；敞開、允許入內(nèi)；張開、舒展；使關(guān)閉著的打開；發(fā)射；解除封鎖、禁令、限制；思想開通、解放等.上文課例中的前兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)都是開放題，而通過這些開放題設(shè)計(jì)的真正意圖是追求開放的數(shù)學(xué)教學(xué)，使得課堂上學(xué)生真正成為問題解決和研究的主人，讓他們參與問題的探索、生成、生長(zhǎng)、拓展等，并由此展開對(duì)話、追問，從而也就追求了開放的數(shù)學(xué)教學(xué).

1.劉東升，符永平.從“封閉”走向“開放”——2013年中考命題的“另類解析”與教學(xué)導(dǎo)向［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（10）.

2.鄭毓信.開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001（3）.

3.鄭毓信.再論開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002（6）.

4.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

5.【日】佐滕學(xué).21世紀(jì)學(xué)校改革的方向［J］.人民教育，2014（1）.

6.王光明，廖晶.“探索世界”范式及其對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示——ICME12獲獎(jiǎng)報(bào)告述評(píng)［J］.課程·教材·教法，2013（12）.