高斯無奇點衛(wèi)星運動方程的數(shù)學推導
——謹以本文恭賀師兄歐吉坤教授七十壽辰

許國昌，陳 武，沈云中，江 楠，蔣春華

高斯無奇點衛(wèi)星運動方程的數(shù)學推導
——謹以本文恭賀師兄歐吉坤教授七十壽辰

許國昌1，2，陳 武3，沈云中4，江 楠5，1，蔣春華1

(1.山東大學 空間科學研究院，山東 威海 264209；2.中國空間技術研究院 中國航天錢學森實驗室，北京 100094； 3.香港理工大學，中國 香港 999077；4.同濟大學 測繪與地理信息學院，上海 200092；5.柏林工業(yè)大學，德國 柏林 10623)

本文給出高斯無奇點運動方程的嚴格數(shù)學推導。該方程的無奇點特性使軌道力學中的奇點問題獲得了完全的解決。

天體力學；解析方法；奇點問題；高斯無奇點運動方程；拉格朗日無奇點運動方程

0 引言

牛頓在1687年首先在其著作數(shù)學原理中提出萬有引力和運動方程[1-5]。其后，天體力學和N體問題的理論研究主要基于拉格朗日方程和源于拉格朗日方程的高斯方程[6-10]。奇點問題一直是天體力學和N體問題研究中的核心問題之一[11-16]。人們?yōu)槔碚撗芯窟M展作了很多努力[17-24]。衛(wèi)星軌道理論研究主要基于二體問題的攝動理論[31-39]。二階攝動理論解研究近年來有了系統(tǒng)的進展[26-28，30]，所以奇點問題的解決成為迫切的需要。無奇點理論2012年以不定積分的解的形式提出[29]并于2013年有了以微分方程描述的版本[25]。但其公式推導主要是邏輯推理，2014年有了拉格朗日無奇點運動方程純數(shù)學的嚴格具體的證明推導[40]。本文給予高斯無奇點運動方程純數(shù)學的嚴格具體的證明推導。

1 高斯無奇點運動方程的數(shù)學推導

拉格朗日無奇點運動方程的數(shù)學推導已在文獻[40]中詳細給出。高斯運動方程的推導的基礎是拉格朗日運動方程，其推導可以在很多文獻[24-25]中找到，為了獲得優(yōu)化的推導公式，直接從拉格朗日無奇點運動方程開始。

拉格朗日無奇點運動方程[40]即Lagrange-Xu運動方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

R對各軌道根數(shù)的偏導數(shù)為[24]：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式(7)～式(12)中fa、fh、fr分別表示軌道坐標系的攝動力分量。軌道參數(shù)之間還有關系

(13)

rcosf=a(cosE-e)

(14)

(15)

式(13)～式(15)中E為偏近點角。下面我們分別將式(7)～式(15)代入無奇點拉格朗日運動方程式(1)～式(6)來推導高斯無奇點方程。

將式(12)代入式(1)，可得

(16)

將式(11)、式(12)代入式(2)得

(17)

(18)

(19)

否則，

(20)

或者表示成

(21)

將式(10)、式(11)代入式(4)得：

(22)

將式(9)代入式(5)，同理

(23)

(24)

則

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

式(27)～式(32)即為無奇點的高斯運動方程，亦稱無奇點的Gauss-Xu方程。上述推導數(shù)學上是嚴格的。

2 與原始高斯方程的比較

與如下原始高斯衛(wèi)星運動方程相比[19-20，32，35，37，40]

(33)

很容易注意到原高斯方程僅適用于非奇異情形。而無奇點的高斯方程即Gauss-Xu方程式(27)～式(32)則一般地成立，且不存在奇異的可能性。式(27)與式(33) 的第一個方程相同，因其不會奇異。式(28)與式(30)實際上可以直接從式(33)中的第二個和第四個方程通過把奇異因子e和 sini從右側移到左側而獲得。

3 與文獻[25]的比較

高斯運動方程可作如下變形：

(34)

文獻[25]將高斯方程式(34)改寫成[25，29]

(35)

式(35)中，δ及其下標表示式(34)的右邊各項。式(35)中的第二和第六個方程乘以e，第四個和第五個方程乘以sini，第三個方程乘以esini，有

(36)

式(36)是無奇點的 (n在第六個方程中被忽略)。解 (即式 (35) 的不定積分) 可用類似于[21，26-28]的方法獲得且有形式

(37)

式(37)中，右側Δy表示y的不定積分，左側Δx表示dx/dt的不定積分，x表示開普勒軌道根數(shù)。

則無奇點的高斯方程的解為

Δa=Δδa

Δcosi=-siniΔδi

(38)

基本高斯運動方程被定義為[26，40]

(39)

由式(38) 和式(39)可得

(40)

同上，分別對式 (40) 條件做進一步的推導，據(jù)定義[26]

(41)

由式(41) 和 (34)，條件if(Δδω2,sini)則等價于if(δω2,sini)，

(42)

故if(Δδω2,e)的等價條件為：if(fh,sini)。

條件if(Δδω1,e)則等價于if(δω1,e)，

(43)

故if(Δδω1,e)的等價條件為：if(fa,e)∧if(fr,e)。

若if(ΔδΩ,sini)則等價于if(δΩ,sini)，

(44)

故if(ΔδΩ,sini)的等價條件為：if(fh,sini)。

若if(ΔδM2,e)則等價于if(δM2,e)

(45)

故if(ΔδM2,e)的等價條件為：if(fa,e)∧if(fr,e)

則式(40)可以寫成

(46)

式(46)與高斯無奇點運動方程式(27)到式(32)除微小差別(式(46)中最后一式n被忽略)外，完全一致。

4 結束語

衛(wèi)星軌道無奇點運動方程的正確性通過嚴格

的數(shù)學證明予以證實。同時高斯—許方程被以嚴格的數(shù)學方法獲得再次推導。

致謝：本研究受山東大學和中國空間技術研究院支持并部分地獲得山東大學學科建設經費和國家自然科學基金的資助。第二、三作者參與了本文有關的有價值的討論。第四、五作者分別就理論公式做了推導和驗證。

[1] NEWTON I.Philosophiae Naturalis Principia Mathematica[M].London：[s.n.]，1687.

[2] GOLDSTEIN H.Classical Mechanics[M].2nd ed.New York：Addison-Wesley，1980.

[3] LANDAU L D，LIFSHITZ E M.MECHANICS[M].3rd ed.New York：Pergamon Press，1976.

[4] EULER L.Proprietates Triangulorum，Quorum Anguli Certam inter se Rationem Tenent[J].Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae，1767，10：207-242.

[5] LAGRANGE J L.Motion for Three Bodies[J].Miscellanea Taurinensia，1772，4：118-243.

[6] TISSERAND F F.Mecanique Celeste，Tome III[M].Paris：[s.n.]，1894：27.

[7] HAGIHARA Y.Celestial Mechanics[M].[ S.l.]：MIT Press，1970.

[8] MITTAG-LEFFLER G.The N-body Problem (Price Announcement)[M].[ S.l.]：Acta Matematica，1885/1886：7.

[9] POINCARE H.New Methods of Celestial Mechanics[M].[ S.l.]：AIP，1992.

[10] BARROW-GREEN J.Poincare and the Three Body Problem[M].[ S.l.]：American Mathematical Society，1996.

[11] XIA Zhi-ling.The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian System[J].Annals Math.1992，135(3) 411-468.

[12] SUNDMAN K F.Mémoire sur le Problème des Trois Corps[J].Acta Mathematica，1913，36(1)：105-179.

[13] DIACU F.The Solution of the N-body Problem[J].The Mathematical Intelligencer.1996，18(3)：66-70.

[14] DIACU F，HOLMES P.Celestial Encounters：The Origins or Chaos and Stability[M].NJ：Princeton University Press，1996.

[15] WANG Qing-de.The Global Solution of The N-body Problem[J].Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，1991，50(1)：73-88.

[16] DIACU F.Singularities of the N-body Problem[M].Montreal：Les Publications CRM，1992.

[17] AARSETH S J，TOUT C A，MARDLING R A.The Cambridge N-body Lectures[M].Berlin：Springer Heidelberg，2008.

[18] HAVEL K.N-body Gravitational Problem：Unrestricted Solution[M].Brampton：Grevyt Press，2008.

[19] DINO B，GIUSEPPE P.Theory of Orbits：Volume 1：Integrable Systems and Non-perturbative Methods[M].Berlin：Springer-Verlag，1998.

[20] BATTIN R H.An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics[M/OL].[2015-04-20].http：//www.gravityassist.com/IAF-3.3%202010/Ref.%203-227.pdf.

[21] KAULA W.Theory of Satellite Geodesy[M].New York：Blaisdell Publishing Company，Dover Publications，2000.

[22] 劉林，趙德滋.人造地球衛(wèi)星運動理論[M].南京：南京大學出版社，1979.

[23] AARSETH S J.Gravitational N-body Simulations Tools and Algorithms[M].London：Cambridge University Press，2003.

[24] XU Guo-chang.Orbits[M].Berlin：Springer Heidelberg，2008.

[25] XU Guo-chang，XU Jia.Orbits-2nd Order Singularity-Free Solutions[M].2nd ed.Berlin：Springer Heidelberg，2013.

[26] XU Guo-chang，XU Tian-he，CHEN Wu，et al.Analytic Solution of Satellite Orbit Disturbed by Lunar and Solar Gravitation[J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，2010，410(1)：645-653.

[27] XU Guo-chang，XU Tian-he，YEH T K，et al.Analytic Solution of Satellite Orbit Disturbed by Atmospheric Drag[J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，2010，410(1)：654-662.

[28] XU Yan，YANG Yuan-xi，ZHANG Qin，et al.Solar Oblateness and Mercury’s Perihelion Precession[J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，2011，415(4)：3335-3343.

[29] XU Guo-chang，XU Jia.On The Singularity Problem in Orbital Mechanics[J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，2013，429(2)：1139-1148.

[30] XU Guo-chang，XU Jia.On Orbital Disturbing Effects of The Solar Radiation[J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，2013，432(1)：584-588.

[31] XU Guo-chang.Analytic Orbit Theory[M].Berlin：Springer Heidelberg，2010.

[32] BROUWER D，CLEMENCE G M.Methods of Celestial Mechanics[M].New York：Academic Pres，1961.

[33] CHOBOTOV V A.Orbital Mechanics[M].Washington，D.C：AIAA，1991.

[34] CUI Chun-fang.Die Bewegung künstlicher Satelliten im anisotropen Gravitationsfeld einer gleichm?ssig rotierenden starren Modellerde：-eine analytische L?sung 2[M].München：Verlag der Bayer Akademie der Wissenschaften，1990.

[35] HERRICK S.Astrodynamics[M].London：Van Nostrand Reinhold，1972.

[36] SHAPIRO I I.The Prediction of Satellite Orbits[C]// ROY M.Dynamics of Satellites/Dynamique des Satellites.Paris：IUTAM Symposium，1962.

[37] VALLADO D A.Fundamentals of Astrodynamics and Applications[M].New York：Springer-Verlag，2007.

[38] WNUK E.Tesseral Harmonic Perturbations in the Keplerian Orbital Elements[J].Acta，Astronomica，1990，40(1/2)：191-198.

[39] DVORAK R，LHOTKA C.Celestial Dynamics-Chaoticity and Dynamics of Celestial Systems[M].Weinheim：Wiley，2013.

[40] 許國昌，呂志平，沈云中.拉格朗日無奇點衛(wèi)星運動方程的數(shù)學推導[C]//孫和平，熊熊，王勇.大地測量與地球動力學進展(第2輯).武漢：湖北科學技術出版社，2014：1134-1146.

A Mathematical Derivation of Singularity-free Gaussian Equations of Planetary Motion

XUGuo-chang1，2，CHENWu3，SHENYun-zhong4，JIANGNan5，1，JIANGChun-hua1

(1.Institute of Space of Sciences Shandong University，Weihai 264209，China； 2.Qian Xuesen Laboratory，China Academy of Space Technology，Beijing 100094，China； 3.The Hong Kong Polytechnic University，Hong Kong 999077，China； 4.College of Surveying and Geo-informatics，Tongji University，Shanghai 200092，China； 5.Technical University Berlin，Berlin 10623，Germany)

An exact mathematical derivation is given for the singularity-free Gaussian equations of planetary motion.The singularity-free property of the derived equations solved the singularity problem of the orbital theory completely.

celestial mechanics；analytical method；singularity problem；singularity-free Gaussian equations of motion；singularity-free Lagrange equations of motion

許國昌,陳武, 沈云中,等.高斯無奇點衛(wèi)星運動方程的數(shù)學推導[J].導航定位學報,2015,3(3):05-12.(XU Guo-chang,CHEN Wu,SHEN Yun-zhong,et al.A Mathematical Derivation of Singularity-free Gaussian Equations of Planetary Motion[J].Journal of Navigation and Positioning,2015,3(3):05-12.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20150302.

2015-05-18

國家自然科學基金(41274042)。

許國昌(1953—)，福建莆田人，博士，教授；山東大學國家特聘教授；長安大學、解放軍信息工程大學兼職教授；西南交通大學榮譽教授；中國空間技術研究院國家千人特聘專家；中國航天集團錢學森實驗室首席科學家；德波茨坦地球科學中心資深研究員(1993年～2014年)；Springer Sciences of Geodesy主編；教育部長江學者計劃海外通訊評審專家；Porto大學、柏林工業(yè)大學、德波茨坦地球科學中心及香港理工大學兼職博導。

P236

A

2095-4999(2015)-03-0005-08