用U曲線法確定嶺估計(jì)中的嶺參數(shù)

魯洋為，王振杰

用U曲線法確定嶺估計(jì)中的嶺參數(shù)

魯洋為，王振杰

(中國(guó)石油大學(xué)(華東) 地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 青島 266580)

在嶺估計(jì)中，嶺參數(shù)的確定是關(guān)鍵。本文針對(duì)嶺估計(jì)中嶺參數(shù)確定困難的問題，提出采用U曲線法確定嶺參數(shù)，并將U曲線法與L曲線法、GCV法進(jìn)行了比較，結(jié)果表明：用U曲線法確定嶺參數(shù)能獲得較高精度的解，與L曲線法及GCV法相比，具有一定的優(yōu)勢(shì)。

嶺估計(jì)；嶺參數(shù)；U曲線法；L曲線法；GCV法

0 引言

在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，一般采用有偏估計(jì)來改善病態(tài)條件下的最小二乘解，其中嶺估計(jì)是常用的方法[1-8]。在嶺估計(jì)中，嶺參數(shù)的選擇是關(guān)鍵，不同的嶺參數(shù)，解算的結(jié)果會(huì)有所差別。目前，嶺參數(shù)的確定方法主要有嶺跡法[9-10]、廣義交叉核實(shí)法(generalized cross validation，GCV)[11-13]和L曲線法[14-18]。嶺跡法比較直觀，但是具有一定的主觀性；GCV法在理論上能夠獲取最優(yōu)的嶺參數(shù)，但有時(shí)GCV函數(shù)的變化過于平緩，定位其最小值很困難[9-10]；L曲線法可以比較容易的獲得嶺參數(shù)，并且能夠得到比較精確的解，但L曲線法存在求解結(jié)果過于依賴曲線擬合精度[19]、求解過程可能不收斂等缺點(diǎn)[20]。本文研究采用U曲線法來確定嶺參數(shù)[19-22]，并通過算例，將U曲線法與L曲線法、GCV法進(jìn)行了比較，分析了U曲線法的性能，得出了一些有益的結(jié)論。

1 U曲線法確定嶺參數(shù)的基本原理

1.1 嶺估計(jì)的原理

設(shè)有觀測(cè)方程

L=AX+Δ

(1)

(2)

由式(1)和式(2)可得嶺估計(jì)的解為

(3)

1.2U曲線法的基本原理

嶺參數(shù)的選擇方法很多，其中最常用的方法是GCV法[11]和L曲線法[14-15]。GCV法確定嶺參數(shù)，則要求GCV函數(shù)的最小值，由(1)、式(3)得GCV函數(shù)為：

(4)

式(4)中，H(α)=A(ATPA+αI)-1ATP，n為觀測(cè)值個(gè)數(shù)，tr為矩陣的跡。

當(dāng)式(4)取最小值時(shí)的α即為GCV法所確定的嶺參數(shù)，GCV法的優(yōu)點(diǎn)是，當(dāng)式(4)的最小值存在時(shí)，可以選擇一個(gè)最優(yōu)的嶺參數(shù)；它的缺點(diǎn)是，GCV函數(shù)有時(shí)變化過于平緩，這時(shí)定位它的最小值很困難。

U曲線法與L曲線法有所不同，U曲線法根據(jù)定義的U(α)函數(shù)，得到U(α)-α曲線，曲線左側(cè)曲率最大點(diǎn)的α即為U曲線法所確定的嶺參數(shù)。U曲線函數(shù)的定義為：

(5)

U曲線法和L曲線法的關(guān)鍵都是定位曲線中曲率最大的點(diǎn)，對(duì)于U曲線，其曲率可以表示為：

(6)

式(6)中，U(α)′、U(α)″分別為U(α)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，并且

(7)

(8)

式(7)、式(8)中x(α)、y(α)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)x(α)′、x(α)″、y(α)′、y(α)″的計(jì)算可參考文獻(xiàn)[21]。

由文獻(xiàn)[19，21]可知，U(α)函數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)U曲線在區(qū)間 (0，)內(nèi)嚴(yán)格遞減，在區(qū)間(，+∞)內(nèi)嚴(yán)格遞增；

(2)U曲線在區(qū)間(，)內(nèi)存在局部極小值，并且當(dāng)設(shè)計(jì)矩陣A只有一個(gè)非零奇異值時(shí)，U(α)存在唯一的極小值；

采用U曲線法確定嶺參數(shù)時(shí)，對(duì)式(6)在區(qū)間 (，)內(nèi)求最大值，定位出U曲線左側(cè)曲率的最大值點(diǎn)，該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的α即為所求的嶺參數(shù)。

由以上分析可以看出，U曲線法不需要進(jìn)行曲線擬合，其計(jì)算量要小于L曲線法的計(jì)算量，也不會(huì)出現(xiàn)曲線發(fā)散，無法確定嶺參數(shù)的現(xiàn)象，與L曲線法及GCV法相比，U曲線法更適合用于確定嶺參數(shù)。

2 算例分析

圖1 用U曲線法確定嶺參數(shù)的示意圖

合；GCV法在本例中也能夠準(zhǔn)確的定位出GCV函數(shù)的最小值點(diǎn)，確定嶺參數(shù)，沒有出現(xiàn)發(fā)散的現(xiàn)象。

圖2 用L曲線法確定嶺參數(shù)的示意圖

圖3 用GCV法確定嶺參數(shù)的示意圖

基于這三種方法的嶺估計(jì)結(jié)果如表1所示，可以看出，基于L曲線法和GCV法的嶺估計(jì)解算的未知數(shù)估值與真值之差的二范數(shù)分別為：0.356 1、0.373 3，即L曲線法略優(yōu)于GCV法；而基于U曲線法的嶺估計(jì)解算出的未知參數(shù)的估值與真值之差的二范數(shù)為0.270 6，其精度明顯優(yōu)于L曲線法和GCV法的精度。

表1 嶺參數(shù)及‖△‖

3 結(jié)束語(yǔ)

U曲線法具有理論嚴(yán)密，定位準(zhǔn)確的特點(diǎn)，與L曲線法相比，具有計(jì)算量小，不需要進(jìn)行曲線擬合的優(yōu)勢(shì)；與GCV法和L曲線法不同，U曲線法不會(huì)出現(xiàn)無法確定嶺參數(shù)的現(xiàn)象；基于U曲線法的嶺估計(jì)結(jié)果的精度優(yōu)于基于L曲線法、GCV法的嶺估計(jì)結(jié)果的精度，值得進(jìn)一步研究與推廣應(yīng)用。

[1] HOERL A E，KENNARD R W.Ridge Regression：Biased Estimation for Non-orthogonal Problems[J].Technometrics，1970，12(1)：55-67.

[2] 崔希璋，於宗儔，陶本藻，等.廣義測(cè)量平差[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2000.

[3] 歸慶明，李國(guó)重.嶺壓縮組合估計(jì)及其在測(cè)量平差中的應(yīng)用[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2002，22(1)：16-21.

[4] 王樂洋，許才軍，魯鐵定.病態(tài)加權(quán)總體最小二乘平差的嶺估計(jì)解法[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2010，35(11)：1346-1350.

[5] 丁海勇，楊延珍，王新志，等.基于移動(dòng)曲面擬合方法的GPS高程轉(zhuǎn)換[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2010，30(6)：1-4.

[6] 何峰，王剛，劉利等.地球靜止軌道衛(wèi)星廣播星歷參數(shù)擬合與試驗(yàn)分析[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2011，40(增刊)：52-58.

[7] 韓松輝，杜蘭，歸慶明，等.診斷復(fù)共線性的特征分析法及其在GEO定軌中的應(yīng)用[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2013，42(1)：19-26.

[8] 趙坷，付政慶，劉國(guó)林.加權(quán)半?yún)?shù)模型及其應(yīng)用效果分析[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2014，34(2)：100-104.

[9] 王振杰.大地測(cè)量中不適定問題的正則化解法研究[D].武漢：中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所，2003.

[10]王振杰，歐吉坤.用L-曲線確定嶺估計(jì)中的嶺參數(shù)[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2004，29(3)：235-238.

[11]GOLUB G H，HEATH M，WAHBA G.Generalized Cross-validation as a Method for Choosing a Good Ridge Parameter[J].Technometrics.1979，21(2)：215-223.

[12]王樂洋，許才軍.附有病態(tài)約束反演問題的嶺估計(jì)法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2011，36(5)：612-616.

[13]王劭逸.基于GCV方法的線性回歸模型嶺參數(shù)估計(jì)[D].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2012.

[14]HANSEN P C.Analysis of Discrete Ill-posed Problems by Means of the L-curve[J].SIAM Review，1992，34(4)：561-580.

[15]HANSEN P C，O’LEARY D P.The Use of the L-curve in the Regularization of Discrete Ill-posed Problems[J].SIAM J.Sci.Comput，1993，14(6)：1487-1503.

[16]袁修孝，林先勇.基于嶺估計(jì)的有理多項(xiàng)式參數(shù)求解方法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2008，33(11)：1130-1133.

[17]王彬，高井祥，劉超，等.L曲線法在等價(jià)權(quán)抗差嶺估計(jì)模型中的應(yīng)用[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2012，32(3)：97-101.

[18]劉斌，龔健雅，江萬壽，等.基于嶺參數(shù)的譜修正迭代法及其在有理多項(xiàng)式參數(shù)求解中的應(yīng)用[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2012，37(4)：399-402.

[19]袁強(qiáng)強(qiáng)，沈煥鋒，李平湘，等.自適應(yīng)正則化多幅影像超分辨率重建[J].中國(guó)圖像圖形學(xué)報(bào)，2010，15(12)：1720-1727.

[20]XU Pei-liang.Truncated SVD Methods for Discrete Linear Ill-posed Problems[J].Geophysics Journal International，1998(135)：505-514.

[21]KRAWCZYK-STADO D，RUDNICKI M.Regularization Parameter Selection in Discrete-ill Posed Problems- the U-curve[J].Int.J.Appl.Match.Comput.Sci，2007，17(2)：157-164.

[22]CHAMORRO-SERVENT J，AGUIRRE J，RIPOLL J，et al.Feasibility of U-curve Method to Select the Regularization Parameter for Fluorescence Diffuse Optical Tomography in Phantom and Small Animal Studies[J].Optics Express，2011，19(12)：11490-11506.

Determining the Ridge Parameter in Ridge Estimation Using U-curve Method

LUYang-wei，WANGZhen-jie

(School of Geosciences，China University of Petroleum，Qingdao 266580，China)

The determination of ridge parameter is a key problem in ridge estimation，and the U-curve method is used to determine ridge parameter in this paper.We also compare the U-curve method with L-curve method and GCV method using an example and the results show that the U-curve method can get higher accuracy and have an advantage over L-curve method and GCV method.

ridge estimation；ridge parameter；U-curve method；L-curve method；GCV method

魯洋為，王振杰.用U曲線法確定嶺估計(jì)中的嶺參數(shù)[J].導(dǎo)航定位學(xué)報(bào),2015,3(3):132-134+138.(LU Yang-wei,WANG Zhen-jie.Determining the Ridge Parameter in Ridge Estimation Using U-curve Method[J].Journal of Navigation and Positioning,2015,3(3):132-134+138.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20150326.

2015-05-18

國(guó)家自然科學(xué)基金(41374008)。

魯洋為(1990—)，男，陜西安康人，碩士生，研究方向?yàn)镚NSS定位與測(cè)量數(shù)據(jù)處理。

P228

A

2095-4999(2015)-03-0132-03