關(guān)于有理群

郭繼東, 任永才, 張志讓(. 伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 伊寧 85000; . 四川大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 60064;. 成都信息工程學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 605)

?

關(guān)于有理群

郭繼東1, 任永才2, 張志讓3
(1. 伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 伊寧 835000; 2. 四川大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610064;3. 成都信息工程學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610225)

設(shè)G是有限群,并設(shè)χ是G的一個(復(fù))特征標(biāo).如果χ的值是有理數(shù),則稱χ是有理值的.如果G的每個不可約特征標(biāo)都是有理值的,則稱G是有理群.主要目的是對若干有理群進(jìn)行分類.此外，給出一個應(yīng)用例子,并對關(guān)于有理群的一個已知結(jié)果給出純?nèi)赫摰膬?nèi)在刻劃.

有限群; 二性群; 有理群; 特征標(biāo); 共軛; 分類

令G是一個有限群.對于x∈G,如果x與x-1在G中共軛,則稱x是實元.x是實元?對于G的每個不可約特征標(biāo)χ,χ(x)是實數(shù)[1].稱G的特征標(biāo)χ是實值的,如果χ(x)是實數(shù),?x∈G.稱G是二性群,如果G中的每個元素都是實元.G是二性群當(dāng)且僅當(dāng)G的每個不可約特征標(biāo)都是實值的.

稱G的特征標(biāo)χ是有理值的,如果χ(x)是有理數(shù),?x∈G.稱G是有理群,如果G的每個不可約特征標(biāo)都是有理值的.有理群顯然是二性群.

如果G中有個非單位元是實元,則G顯然是偶數(shù)階群,故非平凡的有理群和二性群是偶數(shù)階群.

有理群理論是有限群的結(jié)構(gòu)理論和有限群的表示理論中的一個重要方面.例如,在文獻(xiàn)[2-5]中利用了有理群理論解決群論中有關(guān)元素共軛的重要問題.有理群的特征標(biāo)的值實際是有理整數(shù)[1],從而一個有理群的特征標(biāo)表中的各項組成的矩陣是一個整數(shù)矩陣,這顯示了有理群的獨特性.對各種有理群進(jìn)行分類無疑是有理群及其應(yīng)用理論的研究中的一個重要部分.本文主要目的是對若干有理群進(jìn)行分類.此外,還對關(guān)于有理群的一個已知結(jié)果給出純?nèi)赫搩?nèi)在刻劃的證明.

本文中的群都是指有限群.C2表示2階循環(huán)群.字母G總是表示一個非平凡的群.p和q總代表2個不同的素數(shù).Sylp(G)表示群G的全體Sylowp-子群組成的集合.對于x∈G,xG表示x在G中的共軛類.文中其他符號都是標(biāo)準(zhǔn)的,取自文獻(xiàn)[6].

首先陳述今后要用到的若干引理,其中引理1～3是關(guān)于有理群的基礎(chǔ)知識,見文獻(xiàn)[7].

引理 1 下述各個命題成立:

1) 有理群的商群是有理群;

2) 2個有理群的直積是有理群,有理群的直因子是有理群;

3) 如果有理群G不是2-群,則G的Sylow 2-子群不是正規(guī)的;

4)G是Abel的有理群?G是初等Abel 2-群.

引理 2G是有理群?對任意x∈G,循環(huán)群〈x〉的生成元在G中共軛?對任意x∈G,NG(〈x〉)/CG(x)?Aut(〈x〉).

引理 3 設(shè)G是有理群,并令S∈Syl2(G).那么,CG(S)=Z(S)且Z(S)是初等Abel 2-群.特別地,如果S是Abel的,則CG(S)=S且S是初等Abel 2-群.

引理 4 設(shè)G是可解的有理群,并令S∈Syl2(G),那么,NG(S)=S.

引理 5[8]設(shè)G是以K為核和以H為補(bǔ)的Frobenius群,則下述各個命題成立:

1)G=KH,K?G,|G|=|K||H|,(|K|,|H|)=1;

2)CK(h)=1,?1≠h∈H;

3) 如果|H|是偶數(shù),則H中恰有一個2階元素t且t-1xt=x-1,?x∈K.特別地,K是Abel 群;

4)H的Sylow子群要么是循環(huán)群要么是廣義四元數(shù)群;

5)G的任2個(Frobenius)補(bǔ)是共軛的;

引理 6[8]設(shè)H是G的一個非平凡的子群(即1

定理 1 設(shè)G是Frobenius群,如果G是有理群,則下述之一成立:

1)G是以一個初等Abel 3-群E3為核和以一個2階群為補(bǔ)的Frobenius群;

2)G是以一個初等Abel 3-群E3為核和以8階四元數(shù)群Q8為補(bǔ)的Frobenius群;

3)G是以一個52階初等Abel 5-群為核和以8階四元數(shù)群Q8為補(bǔ)的Frobenius群.

反之,上述3種Frobenius群都是有理群.

證明 由于G是有理群,G是偶數(shù)階群.由于G是Frobenius群,據(jù)引理5,有G=KH,其中K是核而H是補(bǔ),K?G,(|K|,|H|)=1.有

K∩H={1},G/K=HK/K?H.

于是,H是(非平凡的)有理群(引理1)?|H|是偶數(shù).從而,H的Sylow 2-子群也是G的Sylow 2-子群.令S∈Syl2(G).可設(shè)S?H.S是循環(huán)群或廣義四元數(shù)群(引理5).從而,設(shè)|S|=2m,那么S有2m-1元.于是,據(jù)文獻(xiàn)[9]中定理1和題設(shè)知:要么1)或2)成立,要么G是以一個初等Abel 5-群E5為核和以Q8為補(bǔ)Frobenius的群.對于最后這一情形,據(jù)文獻(xiàn)[7]中37頁有|E5|=52,于是3)成立.

接著證明1)、2)和3)中的3種群都是有理群.

型3)是有理群,它叫做Markel有理群[7].

現(xiàn)在證明型2)是有理群.據(jù)引理2,為證明型2)是有理群必須證明:對于G中的每個元素x,循環(huán)子群〈x〉的生成元在G中共軛.為此,據(jù)引理5的6),只需證明:對于核E3和補(bǔ)Q8中的每個元x,循環(huán)子群〈x〉的生成元在G中共軛.Q8是有理群,故據(jù)引理2知:對于補(bǔ)Q8中的每個元素x,循環(huán)子群〈x〉的生成元在Q8中共軛,從而在G中共軛.令1≠x∈E3.有

|〈x〉|=3?〈x〉

的生成元是x和x-1.令t是補(bǔ)Q8中的那個唯一的對合.據(jù)引理5的3)有

t-1xt=x-1?〈x〉

的生成元在G中共軛.總上述,型2)是有理群.

2階群是有理群.所以,重復(fù)使用上一段推理可知型1)是有理群.證畢.

如果一個非平凡的有理群G不是2-群,則G的Sylow 2-子群不是正規(guī)的(引理1),從而G的Sylow 2-子群不只一個.

定理 2 設(shè)G不是2-群且設(shè)G滿足下述2個條件:

(i)G是可解的有理群;

(ii)G的2個不同的Sylow 2-子群有平凡的交.那么,下述之一成立:

1)G是以一個初等Abel 3-群為核和以一個2階群為補(bǔ)的Frobenius群,

2)G是以一個初等Abel 3-群為核和以Q8為補(bǔ)的Frobenius群,

3)G是以一個52階初等Abel 5-群為核和以Q8為補(bǔ)的Frobenius群.

證明 令S∈Syl2(G).據(jù)題設(shè)和引理4有NG(S)=S.于是,對于任意x∈G-S,有Sx≠S,從而據(jù)題設(shè)有S∩Sx=1.所以,據(jù)引理6知有理群G是Frobenius群.這樣,用定理1就完成了證明.證畢.

設(shè)M是群G的一個偶數(shù)階子群.說M是強(qiáng)嵌入的,如果M滿足下述各個條件:

(a) 對于M中的每個對合x有CG(x)?M;

(b) 對于M的每個Sylow 2-子群P都有NG(P)?M;

(c)G中有個對合不含于M中.

定理 3 設(shè)G是可解的有理群.令S∈Syl2(G).還假設(shè)G滿足下述2個條件:

(i) 對于S中的每個對合x都有CG(x)?S;

(ii)G中有個對合u使得u?S.那么,下述之一成立:

1)G是以一個初等Abel 3-群為核和以一個2階群為補(bǔ)的Frobenius群,

2)G是以一個初等Abel 3-群為核和以Q8為補(bǔ)的Frobenius群,

3)G是以一個52階初等Abel 5-群為核和以Q8為補(bǔ)的Frobenius群.

證明 由于G是可解有理群(題設(shè)),據(jù)引理4有NG(S)=S?S.于是,據(jù)題設(shè)知S是強(qiáng)嵌入的.從而,據(jù)關(guān)于強(qiáng)嵌入子群的Feit-Suzuki-Thompson定理[10]可知:對于S中的每個對合x都有CG(x)=S.此外,據(jù)題設(shè)知G不是2-群.

令S1和S2是G的2個不同的Sylow 2-子群.據(jù)Sylow定理,S1和S2都與S共軛.于是,由于對于S中的每個對合x都有CG(x)=S，對于S1中的每個對合y和對于S2中的每個對合z都有CG(y)=S1及CG(z)=S2.假設(shè)S1∩S2≠1,那么,存在對合w使得w∈S1∩S2.于是有S1=CG(w)=S2?S1=S2,與“S1和S2是G的2個不同的Sylow 2-子群”這一假定矛盾.所以,有S1∩S2=1,也就是說,G的任2個不同的Sylow 2-子群有平凡的交.于是，利用定理2就完成了證明.證畢.

有一個著名的猜想:如果群G中的不同的共軛類的長度不同,則G?S3.有研究者在G滿足某些條件下證明了這個猜想,例如見文獻(xiàn)[5].在這里也討論幾種類似的情形如下:

定理 4 下述3個命題成立:

1) 設(shè)G是Frobenius群.如果G中不同的共軛類的長度不同,則G?S3.

2) 設(shè)G是可解群,并設(shè)G滿足下述2個條件:

(i)G中不同的共軛類的長度不同;

(ii)G的2個不同的Sylow 2-子群有平凡的交.那么,G?S3.

3) 設(shè)G是可解群.令S∈Syl2(G),并設(shè)G滿足下述3個條件:

(i)G中不同的共軛類的長度不同;

(ii) 對于S中的每個對合x都有CG(x)?S;

(iii) 存在G中的一個對合u使得u?S,那么,G?S3.

證明 由于G中不同的共軛類的長不同(題設(shè)),對于每個x∈G,循環(huán)群〈x〉的生成元在G中共軛.從而據(jù)引理2知G是有理群.于是,據(jù)定理1～3,G是定理1中所陳述的3種Frobenius群之一.

首先設(shè)G是定理1中所陳述的型2).那么,G是以一個初等Abel 3-群E3為核和以Q8為補(bǔ)的Frobenius群.則有

Q8=〈a,b|a4=1,a2=b2,b-1ab=a-1〉.

據(jù)題設(shè)和引理5并通過簡單的計算就得到

8|E3|=|G|=1+8+|E3|+2|E3|?

5|E3(G)|=9?5

是9的因子,這不可能.所以,G不能是定理1中所陳述的型2).用同樣的推理可知,G也不能是定理1中所陳述的型3).

現(xiàn)在設(shè)G是定理1中所陳述的型1).那么,G是以一個初等Abel 3-群E3為核和以一個2階群〈t〉(o(t)=2)為補(bǔ)的Frobenius群.任取x∈E3-{1}.由于核E3是Abel 的,據(jù)引理5有CG(x)=E3,從而

|xG|=[G:CG(x)]=[G:E3]=2.

由于這對于E3中的每個非單位元都成立，故據(jù)題設(shè)有

E3-{1}=xG?|E3|-1=|xG|=2,

從而|E3|=3,G?S3.證畢.

定理 5 設(shè)G是2n階二面體群.如果G是有理群,則G是下述群之一:C2,C2×C2,S3,(C2×C2)C3或D8(8階二面體群).特別地,|G|=2,4,6,8或12.

證明 由2n階二面體群的性質(zhì)知道:G有個n階正規(guī)循環(huán)子群K.令S∈Syl2(G).那么,顯然S是二面體群,并且K=S∩K×C,其中C是個奇階循環(huán)群.有G=SC,S?SC/C=G/C?S是有理群(引理1),2m階二面體群有一個2m-1階元,從而據(jù)文獻(xiàn)[9]知S是下述群之一:C2,C2×C2或D8.

設(shè)S是C2或C2×C2.那么,據(jù)文獻(xiàn)[9]知G是下述群之一:C2,G=C2×C2,S3或(C2×C2)C3.

現(xiàn)在設(shè)S=D8并設(shè)|C|=r≠1.這時C=〈x〉是r階循環(huán)群.于是，據(jù)引理2有

NG(〈x〉)/CG(x)?Aut(〈x〉).

顯然

|NG(〈x〉)/CG(x)|=2.

從而有

2=|Aut(〈x〉)|=φ(r)?r=3?n=|K|=12.

于是,G有個12階元a,K=〈a〉.則有

2=|G/CG(a)|=|NG(〈a〉)/CG(a)|=

|Aut(〈a〉)|=φ(12)=4?2=4,

矛盾.所以，有|C|=1,G=S=D8.證畢.

注 1 定理5中“|G|=2,4,6,8或12”這一結(jié)論包含在文獻(xiàn)[7]中,但在那里是用特征標(biāo)來證明的,而這里是通過純?nèi)赫摰膬?nèi)在刻劃來證明的.

現(xiàn)在討論所謂“小階”有理群.

定理 6 設(shè)p>q,存在pq階非Abel 群的充要條件是q|(p-1).pq階有理群是S3.(證明從略)

定理 7 設(shè)p是個奇素數(shù).G是22p階有理群當(dāng)且僅當(dāng)G?C2×S3.

證明 設(shè)G是有理群.有理群是二性群,故據(jù)文獻(xiàn)[11]有

G?C2×〈a,b|ap=b2=1,b-1ab=a-1〉.

令H=〈a,b|ap=b2=1,b-1ab=a-1〉.那么,據(jù)引理1知H是2p階有理群,從而H?S3(定理6).所以,得到G?C2×S3.由于C2和S3都是有理群,據(jù)引理1知C2×S3是有理群.

定理 8 設(shè)p≠2.G是23p階有理群當(dāng)且僅當(dāng)下述之一成立:

1)G?C2×C2×S3;

2)G?S4;

3)G=〈x,a,b|x3=a4=1,a2=b2,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉.(|Z(G)|=2,G/Z(G)?C2×S3,G?SL(2,3));

4)G=〈x,a,b|x3=a4=b2=1,b-1ab=a-1,a-1xa=x-1,bx=xb〉.(|Z(G)|=2,G/Z(G)?C2×S3);

5)G=〈x,a,b|x3=a4=b2=1,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉.(|Z(G)|=2,G/Z(G)?C2×S3).

證明 設(shè)G是23p階有理群.有理群是二性群,于是,據(jù)23p階二性群的分類定理[11]知G是下述型之一:

(i)G=〈x,a,b|xp=a4=1,a2=b2,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉;

(ii)G=〈x,a,b|xp=a4=b2=1,b-1ab=a-1,a-1xa=x-1,bx=xb〉;

(iii)G=〈x,a,b|xp=a4=b2=1,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉;

(iv)G?C2×C2×〈a,b|ap=b2=1,b-1ab=a-1〉;

(v)G?S4.

可證明上述各型都是有理群.眾所周知對稱群S4是有理群.作為例子，證明型(iii)是有理群.設(shè)G是型(iii),即

G=〈x,a,b|x3=a4=1,a2=b2,

b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉,

那么,|Z(G)|=2,G/Z(G)?C2×S3.令P=〈x〉.那么,P?G,G/P?Q8.所以,G/P只有一個非線性不可約特征標(biāo)χ,χ(1)=2,且χ是有理值的[1].由G/Z(G)?C2×S3知:G/Z(G)是有理群(引理1)且有4個有理的線性特征標(biāo).分別記這4個有理線性特征標(biāo)為λ1、λ2、λ3和λ4,那么,λ1χ、λ2χ、λ3χ和λ4χ是G的其核不含Z(G)的全部不可約特征標(biāo),且它們都是有理的.總上述,G的每個不可約特征標(biāo)都是有理的,即型(iii)是有理群.

D8和Q8有相同的特征標(biāo)表[1],上面的推理同樣適用用于證明型(iv)和型(v)是有理群.證畢.

定理 9G是24階非Abel 的有理群當(dāng)且僅當(dāng)下述之一成立:

1)G?C2×Q8;

2)G?C2×D8.

證明 設(shè)G是24有理群.那么,G是二性群,從而據(jù)文獻(xiàn)[11]知G同構(gòu)于下述群之一:(i) 24階廣義四元數(shù)群;(ii) 24階二面體群;(iii)C2×Q8;(iv)C2×D8.

對于型(i)和型(ii),G是極大類2-群.據(jù)文獻(xiàn)[9,定理1],如果有理群的Sylow 2-子群S是極大類的,則|S|≤23.所以,G不能是型(i)和型(ii).于是,G是型(iii)和型(iv).反之,由于C2、D8和Q8都是有理群,據(jù)引理1知型(iii)和型(iv)是有理群.證畢.

定理 10 設(shè)p≠2.G是2p2階有理群當(dāng)且僅當(dāng)是以一個32階初等Abel 3-群為核和以一個2階群為補(bǔ)的Frobenius群.(證明從略).

證明 用定理2和定理1.證畢.

利用引理1的4)和定理6～10,得到下述定理11.

定理 11 設(shè)2≤|G|≤31.G是有理群當(dāng)且僅當(dāng)下述之一成立:

1)G是階<25的初等Abel 2-群;

2)G?S3;

3)G?Q8;

4)G?D8;

5)G?C2×S3;

6)G?C2×Q8;

7)G?C2×D8;

8)G是以一個32階初等Abel 群為核和以一個2階群為補(bǔ)的Frobenius群;

9)G=〈x,a,b|x3=a4=1,a2=b2,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉(|Z(G)|=2,G/Z(G)=C2×S3);

10)G=〈x,a,b|x3=a4=b2=1,b-1ab=a-1,a-1xa=x-1,bx=xb〉(|Z(G)|=2,G/Z(G)=C2×S3);

11)G=〈x,a,b|x3=a4=b2=1,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉(|Z(G)|=2,G/Z(G)=C2×S3);

12)G?C2×C2×S3;

13)G?S4.

[1] Isaacs I M. Character Theory of Finite Groups[M]. Providence:AMS,2006.

[2] 錢國華,游興中,施武杰. 中心外的同階元必共軛的群[J]. 中國科學(xué):數(shù)學(xué),2007,A37(10):1160-1166.

[3] Feit W, Seitz G. On finite rational groups and related topies[J]. Illinois J Mathematics,1988,33(1):103-131.

[4] Markel F M. Groups with many conjugate elements[J]. J Algebra,1973 26:69-74.

[5] Ward W B. Finite groups in which no two distinct conjugacy classes have the same order[J]. Arch Math,1990,54:111-116.

[6] Rose H E. A Course on Finite Groups[M]. London:Springer-Verlag,2009.

[7] Kletzing D. Structure and representations ofQ-groups[C]//Lecture Notes Math, 1084. New York:Springer-Verlag,1984.

[8] Huppet B. Endlich GruppenI[M]. New York:Springer-Verlag,1967.

[9] 郭繼東,任永才,張志讓. 某些有理群的結(jié)構(gòu)[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2015,38(3):381-385.

[10] Gorenstein D. Finite Groups[M]. London, New York:Harper and Row,1968.

[11] 郭繼東,任永才,張志讓. 某些二性群的結(jié)構(gòu)[J]. 四川大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,51(5):893-898.

2010 MSC:20C15

(編輯 余 毅)

About Rational Groups

GUO Jidong1, REN Yongcai2, ZHANG Zhirang3
(1.CollegeofMathematicsandStatistics,YiliNormalCollege,Yining835000,Xinjiang;2.CollegeofMathematics,SichuanUniversity,Chengdu610064,Sichuan;3.CollegeofAppliedMathematics,ChengduUniversityofInformationTechnology,Chengdu610225,Sichuan)

A finite groupGis called a rational group, if every character ofGis rationally-valued. In this paper, we classify some rational groups. In addition, we give an example of application, and a group-theory proof for a known result about rational groups.

finite group; ambivalent group; rational group; character; conjugation; classify

2014-06-24

新疆維吾爾自治區(qū)普通高等學(xué)校重點學(xué)科基金(2012ZDXK12)

郭繼東(1965—),男,教授,主要從事群論的研究,E-mail:guojd662@yahoo.com.cn

O

A

1001-8395(2015)06-0856-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.013