追本溯源 逆向探究
——以角平分線教學(xué)為例

●路亞飛 朱 哲 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

追本溯源 逆向探究
——以角平分線教學(xué)為例

●路亞飛 朱 哲 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

探究式教學(xué)是指把學(xué)科中的某個(gè)知識(shí)點(diǎn)作為研究主題，教師在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)研究情境，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地提出問題、分析問題、解決問題的探究活動(dòng).探究式教學(xué)的目的是利用“探究—?jiǎng)?chuàng)新”的教學(xué)模式，提高學(xué)生問題解決能力、創(chuàng)新能力以及探究意識(shí)，為國家培養(yǎng)創(chuàng)新型人才.探究式課堂教學(xué)能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，改變教師在課堂教學(xué)中傳統(tǒng)的“自我中心”，把課堂交給學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展[1].學(xué)生在探究過程中能夠獲得知識(shí)，促進(jìn)思維能力與創(chuàng)新能力的發(fā)展.本文將以角平分線教學(xué)為例，從特殊問題出發(fā)，探究角平分線一般化的性質(zhì)定理.

1 情境創(chuàng)設(shè)

俗話說：良好的開頭是成功的一半.教學(xué)情境設(shè)計(jì)要注意情境的全面性、全程性、發(fā)展性、真實(shí)性與可接受性[2].適宜的教學(xué)情境能夠幫助學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生的過程，有助于學(xué)生知識(shí)體系的構(gòu)建，有助于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行探究活動(dòng)，有助于學(xué)生思維的發(fā)散，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)水平.

問題 在校園的小公園里，有2條小路匯聚形成了一個(gè)岔路口(如圖1所示)，現(xiàn)在學(xué)校要在2條岔路之間安裝一盞路燈，使得路燈照亮2條小路，并且2條小路一樣亮，試問路燈應(yīng)該安裝在哪里比較合適？

圖1

分析 本題是對美國數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育家史密斯在教師培訓(xùn)教材《幾何教學(xué)法》中給出角平分線應(yīng)用的實(shí)際問題的改編[3]，結(jié)合具體的校園情境能夠與學(xué)生產(chǎn)生共鳴，促使學(xué)生快速進(jìn)入教師預(yù)設(shè)的角平分線教學(xué)軌道.教師可利用多媒體技術(shù)，把現(xiàn)實(shí)情境通過圖片或視頻展示，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的教學(xué)情境，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，降低學(xué)生的思維負(fù)荷，為角平分線的學(xué)習(xí)提供更大的思維空間.如題中給出條件為“這盞路燈使得2條小路一樣亮”，需要學(xué)生進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換，把其轉(zhuǎn)換成路燈到2條小路的距離相等，利用教學(xué)軟件展示現(xiàn)實(shí)的生活情境，將圖片抽象成數(shù)學(xué)模型.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)變成角平分線性質(zhì)定理的數(shù)學(xué)問題，通過對數(shù)學(xué)問題的分析研究來解決現(xiàn)實(shí)問題，表明了角平分線學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)生活意義，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使了學(xué)生進(jìn)行積極地思考.

2 問題探究

問題探究來源于問題解決與探究教學(xué)，但又區(qū)別于它們.問題探究吸取了問題解決與探究教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)，又在兩者基礎(chǔ)上生成自己的特色.問題探究教學(xué)是指學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境中，由教師主導(dǎo)開展的問題探究活動(dòng)，并在此過程中學(xué)習(xí)新知識(shí)、新能力、新方法.問題探究教學(xué)不僅能夠提高知識(shí)水平，同時(shí)能夠發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新與實(shí)踐能力.

2.1 特殊問題的解決

活動(dòng)：開展小組合作探究，找出路燈適合的位置.

問題1 請同學(xué)們分小組討論，各自找出一個(gè)滿足條件的位置，把它畫出來，并向小組成員解釋你的操作過程.

要求：小組范圍內(nèi)各個(gè)成員找出的路燈位置，并畫在同一個(gè)圖形中.

說明1 本節(jié)探究活動(dòng)課采用小組合作探究，小組成員之間相互討論，共享自己確定路燈位置的方法，并且使小組成員在同一個(gè)圖形中畫出自己找到的路燈位置，為之后的探究教學(xué)作鋪墊.

分析1 探究問題只給出探究的大方向，即找出路燈的位置，放棄“小步子”引導(dǎo)性探究教學(xué)，采用“大步子”探究教學(xué).“小步子”探究教學(xué)，是利用教師給出的一系列問題進(jìn)行探究，減少了學(xué)生探究的難度，但給人“教師牽著學(xué)生走”的嫌疑，一不小心，還有可能走入“假探究、真灌輸”的極端.它能夠幫助教師有效地控制教學(xué)進(jìn)度、完成教學(xué)任務(wù)，但禁錮了學(xué)生思維的發(fā)散，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.“大步子”探究教學(xué)，減少了教師的引導(dǎo)性提問，增加了探究的難度，但為學(xué)生提供了自由的學(xué)習(xí)空間，給予學(xué)生較大的思維自由度，擴(kuò)大了學(xué)生的思維想象空間，拓寬了學(xué)生的思維發(fā)散度，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

圖2 圖3

探究問題的設(shè)計(jì)要求找出路燈的位置，沒有設(shè)置任何限制條件，開放了學(xué)生的探究思路，同時(shí)增加了探究難度.學(xué)生在確定路燈位置時(shí)，第一感覺都能夠確定路燈的大概位置，但要確定位置卻有一定難度.對于“大步子”探究問題的設(shè)計(jì)，需要提高探究問題的跨度，但要保證學(xué)生“跳一跳、夠的到”.本題設(shè)計(jì)探究路燈的位置，存在一個(gè)比較容易達(dá)到目標(biāo)的方法(如圖2)：令岔路口相交位置為點(diǎn)A，分別在2條小路上選取點(diǎn)B,D，使點(diǎn)B,D滿足條件AB=AD，確定BD的中點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的位置就是路燈位置.探究問題給予學(xué)生自由的思考空間，學(xué)生可能會(huì)想到“千奇百怪”的解決辦法，比如：如圖3取點(diǎn)B，D，使AB=AD，以BD為一邊，作等邊△BCD，則點(diǎn)C的位置為路燈位置，教師應(yīng)該順勢給出第2個(gè)問題.

問題2 能證明自己確定路燈的位置符合要求嗎？

說明2 不能證明自己確定的路燈位置的同學(xué)，可與小組其他成員一起討論，若仍無法解決則可向教師請教，最后在小組的圖形上留下正確的路燈位置.

分析2 猜想的證明能夠幫助學(xué)生理清自己的探究思路，活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.對于圖2中的探究方法有許多種，下面列舉最為直接的方法.

證明 如圖4作輔助線CE,CF,使CE⊥AB且交AB于點(diǎn)E，CF⊥AD且交AD于點(diǎn)F,則CE與CF就是路燈C到2條小路AB，AD的距離，且∠BEC=∠DFC=90°.因?yàn)辄c(diǎn)C是BD的中點(diǎn),則BC=CD,又AB=AD,則△ABD為等腰三角形,從而∠ABC=∠ADC,進(jìn)而△BEC≌△DFC(AAS),故CE=CF.

圖4 圖5

2.2 一般情況的探究

問題1 請同學(xué)們觀察小組成員們找到的點(diǎn)(路燈位置)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

分析1 教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)已經(jīng)確定符合條件的點(diǎn)(路燈位置)，如點(diǎn)C,C1,C2,C3都是在岔路口所在角的角平分線上.教師在要求證明路燈位置的正確性時(shí)，已經(jīng)把存在問題的點(diǎn)舍棄，因此本次探究學(xué)生能夠較為容易地發(fā)現(xiàn)所有存在的點(diǎn)是在一條直線上(如圖5所示).

問題2 現(xiàn)在把小組成員確定的路燈所在的點(diǎn)連起來，你能發(fā)現(xiàn)什么？

分析2 連接經(jīng)過證明且符合要求的點(diǎn)，形成的直線能夠準(zhǔn)確地經(jīng)過岔路口所在點(diǎn).但本節(jié)課所要探究的內(nèi)容是角平分線的性質(zhì)定理，角平分線是由角的頂點(diǎn)引出的一條射線，這條射線能夠把這個(gè)角分成2個(gè)完全相同的角.連接所有點(diǎn)形成的是一條直線，需要經(jīng)過直線到射線轉(zhuǎn)變(問題3)的過渡，為問題4學(xué)生得出這條射線是角平分線作良好的鋪墊.

問題3 這條直線上所有的點(diǎn)(路燈位置)都符合要求嗎？

分析3 本題的設(shè)計(jì)讓學(xué)生理解要使2條小路一樣亮，路燈的位置應(yīng)該確定在岔路口與2條小路形成的夾角內(nèi)部(即∠BAD)，聯(lián)系實(shí)際情況，學(xué)生容易理解.通過本題的探究，讓學(xué)生把岔路口夾角外部的直線部分舍棄，滿足條件的點(diǎn)形成的路徑由直線轉(zhuǎn)變成射線，為探究該射線為角平分線作鋪墊.

問題4 這條射線有什么特殊嗎？請證明你的猜想.

分析4 本題設(shè)計(jì)沒有限制學(xué)生猜想的空間，間接告訴學(xué)生聯(lián)想之前學(xué)過的知識(shí)，從而引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)意識(shí)到：解決新問題需要建立在豐富的舊知識(shí)基礎(chǔ)上.教師在引導(dǎo)學(xué)生思考的過程中，向?qū)W生不斷滲透擴(kuò)充自身知識(shí)量的意識(shí)，使現(xiàn)有豐富的舊知識(shí)成為以后學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ).在學(xué)生原有的知識(shí)體系中，存在于一個(gè)獨(dú)立的角內(nèi)部的特殊射線只有角平分線，若學(xué)生提前預(yù)習(xí)新課，則更加容易想到該特殊射線是角平分線.證明該射線為角平分線的過程如下：

證明 如圖5,作BC⊥AB交AB于點(diǎn)B，CD⊥AD交AD于點(diǎn)D,則∠ABC=∠ADC=90°.因?yàn)辄c(diǎn)C到直線AB，AD的距離相等,則BC=CD,又AC=AC,從而△ABC≌△ADC(HL),進(jìn)而∠BAC=∠DAC,因此射線AC是∠BAD的角平分線.

3 概括提煉

概括作為思維的具體操作過程之一，是指整合事物的公共本質(zhì)，并把它推廣到同類事物上的思維過程.它不僅是應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育的一種思維能力，同時(shí)在日常工作中也發(fā)揮著重要作用.數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)需要一個(gè)長期、系統(tǒng)的訓(xùn)練，并在培養(yǎng)過程中慢慢深入，由特殊到一般地不斷強(qiáng)化，使學(xué)生不斷地理解、感悟數(shù)學(xué)概括的價(jià)值，循序漸進(jìn)地提高數(shù)學(xué)概括能力.

問題 通過一系列的問題解決，同學(xué)們能不能總結(jié)出角平分線有哪些性質(zhì)？

定理1 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的2邊的距離相等.

定理2 在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的2邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.

分析 本次探究教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是探究存在點(diǎn)到2邊的距離相等，且證明了所有符合條件的點(diǎn)都位于角平分線上，則定理2是學(xué)生最容易想到的.對于定理1的總結(jié)，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考定理2的逆命題可否成立，并讓學(xué)生證明.證明過程主要是利用三角形全等，與先前探究過程中的證明類似，難度較低，有助于幫助學(xué)生總結(jié)角平分線定理.

4 鞏固應(yīng)用

蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過：有效的知識(shí)學(xué)習(xí)能夠引導(dǎo)學(xué)生對知識(shí)的本質(zhì)進(jìn)行思考，并能夠通過課堂練習(xí)的解決展現(xiàn)思考的過程.課堂練習(xí)是一節(jié)優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)課的重要組成部分，能反映教師對教學(xué)重難點(diǎn)的把握，是檢驗(yàn)學(xué)生知識(shí)掌握情況的關(guān)鍵環(huán)節(jié).課堂練習(xí)設(shè)計(jì)的好壞，將直接影響課堂教學(xué)的效果，本節(jié)課課堂練習(xí)題選自北師大版初中數(shù)學(xué)教材8年級下冊(第32頁)，具體如下：

練習(xí) 如圖6，3條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫.

1)如果要求油庫到2條公路AB,AC的距離都相等，那么如何選擇油庫的位置呢？

2)如果要求油庫到這3條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫的位置呢？

圖6

分析 本題從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)際意義.第1)小題的設(shè)置，為學(xué)生滲透了解題思路，為第2)小題的解決作了良好的鋪墊，降低了問題的難度，有利于幫助學(xué)生解決問題，提高自信心以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

5 課后反思

萊布尼茨曾說過：沒有什么比看到發(fā)明的源泉更重要的了，就我看來，它比發(fā)明本身更有趣.探究教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生了解知識(shí)產(chǎn)生的思維過程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)一直存在于我們的日常生活之中，理解數(shù)學(xué)知識(shí)“遠(yuǎn)在天邊，近在眼前”.

5.1 傳統(tǒng)教學(xué)的弊端

角平分線的傳統(tǒng)教學(xué)方式是教師給出角平分線的定理，向?qū)W生演示定理的證明過程，再通過批量練習(xí)進(jìn)行鞏固.傳統(tǒng)教學(xué)方式是典型的“灌輸式”教學(xué)，忽視角平分線產(chǎn)生的源頭，不利于學(xué)生的知識(shí)構(gòu)建，阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，把學(xué)生培養(yǎng)成一個(gè)“機(jī)械學(xué)習(xí)”的工具.

5.2 探究教學(xué)分析

本節(jié)探究式教學(xué)，從學(xué)生息息相關(guān)的校園生活環(huán)境出發(fā)，對數(shù)學(xué)教育家給出的角平分線實(shí)際應(yīng)用問題進(jìn)行改編，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知的實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，提高學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的興趣.教師作為教學(xué)的主導(dǎo)者，開始階段并沒有直接告訴學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)角平分線，而通過對現(xiàn)實(shí)生活的問題解決，不斷地渲染教學(xué)主題，激發(fā)學(xué)生的好奇心.讓學(xué)生先接觸到角平分線的性質(zhì)，主動(dòng)地進(jìn)行探究，慢慢揭開“主角”的“面紗”.最后教師引導(dǎo)學(xué)生探究射線的特殊性時(shí)，使學(xué)生頓悟到這條特殊的射線就是先前學(xué)習(xí)的角平分線，使學(xué)生眼前一亮，深刻地理解角平分線定理.

5.3 課后拓展問題

角平分線浮出水面，學(xué)生興奮之余，教師提供練習(xí)進(jìn)行鞏固，在學(xué)生意猶未盡之時(shí)，45分鐘的課已基本接近尾聲.教師可在最后布置課外作業(yè)，比如：尋找自身生活環(huán)境中的角平分線應(yīng)用；基于本節(jié)課的二分角探究三分角、四分角等有哪些性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用等等.通過課后擴(kuò)展的探究問題，促使學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行研究學(xué)習(xí)，并讓學(xué)生下節(jié)課展示自己的研究成果.

[1] 張崇善.探究式:課堂教學(xué)改革之理想選擇[J].教育理論與實(shí)踐,2001(11):39-42.

[2] 耿莉莉,吳俊明.深化對情境的認(rèn)識(shí),改進(jìn)化學(xué)情境教學(xué)[J].課程.教材.教法,2004(3):72-76.

[3] 汪曉勤.HPM視角下的“角平分線”教學(xué)[J].教育研究與評論,2014(5):29-32.