●林逸凡 (吉林大學(xué)附屬中學(xué)實驗學(xué)校高中部 吉林長春 130000)
圓錐曲線高考題熱點題型及通用妙解
●林逸凡 (吉林大學(xué)附屬中學(xué)實驗學(xué)校高中部 吉林長春 130000)
2015年高考在社會各界的廣泛關(guān)注下轟轟烈烈地落下了帷幕.在收集整理各地真題的過程中發(fā)現(xiàn),許多省市如山東、浙江、湖北、上海等,在對圓錐曲線的試題命制中,不約而同地采用了同一種題型——求2個交點和原點O構(gòu)成的三角形面積.這類題型如果采用傳統(tǒng)的坐標(biāo)法,通常需要對直線的斜率是否存在進行討論,計算過程也相當(dāng)麻煩,得分率不高.
在實際的教學(xué)過程中,筆者曾引導(dǎo)學(xué)生對這一類題型進行歸納,進而得出一種簡潔優(yōu)美的通用解法.有趣的是,當(dāng)時恰是受了2013年山東省數(shù)學(xué)高考真題的啟發(fā).2015年山東省“舊瓶裝新酒”,又出了同類型的題目,應(yīng)當(dāng)引起考生的重視.高考題往往是能夠追根溯源的,鼓勵學(xué)生在平時勤思考,多總結(jié)、歸納題型,領(lǐng)悟題魂,對提高自身解題能力有相當(dāng)大的幫助.教師可以讓學(xué)生站到一個更高的視角去看問題,難題自然迎刃而解.
對坐標(biāo)系內(nèi)2個點與原點O構(gòu)成的三角形面積計算,有如下結(jié)論:
證明 (向量法)
事實上,用向量法計算面積不一定要過原點,只需知道2個向量的直角坐標(biāo)即可;也不一定是求三角形面積,同樣可以求四邊形面積,因此,以下幾種情形也可用此方法解決:
圖1 圖2 圖3
例1 已知橢圓x2+2y2=1,過原點的2條直線l1,l2分別與橢圓交于點A,B和C,D.記得到的ABCD的面積為S.
1)設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),用A,C的坐標(biāo)表示點C到直線的距離,并證明S=2|x1y2-x2y1|;
(2015年上海市數(shù)學(xué)高考試題第21題)
2)設(shè)線段PQ的中點為M,求|OM|·|PQ|的最大值.
(2011年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)
解 (向量法結(jié)合參數(shù)方程法)
因此 sin(α-θ)=±1,
(1)
于是 |PQ|2=3(cosθ±sinθ)2+2(sinθ?cosθ)2=
5±2sinθcosθ=5±sin2θ.
從而
則由式(1)得,存在整數(shù)k1,k2,k3使得
式(2)+式(3),得
α-γ=(1+k1+k2)π,
與式(4)矛盾,故假設(shè)不成立,因此不存在滿足條件的點.
點評 這道題再次展現(xiàn)新方法,即向量法結(jié)合參數(shù)方程的優(yōu)勢,尤其是第3)小題,能更深入地看到問題的本質(zhì):為什么不存在滿足條件的點.
有時三角形不過原點,同樣可以采用參數(shù)方程法解決,例如2013年湖北省數(shù)學(xué)高考試題:
圖4
1)當(dāng)直線l與y軸重合時,若S1=λS2,求λ的值.
2)當(dāng)λ變化時,是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使S1=λS2?并說明理由.
(2013年湖北省數(shù)學(xué)高考試題第21題)
2)(參數(shù)方程法)設(shè)A(acosθ,msinθ),B(acosα,nsinα),則
D(-acosθ,-msinθ),C(-acosα,-nsinα).
由對稱性知,點M,N到AD的距離相等,因此
即
(6)
將式(6)代入式(5),得
(7)
(8)
點評 該題是2013年湖北省數(shù)學(xué)高考壓軸題,用參數(shù)方程法求解簡潔優(yōu)美.將面積比轉(zhuǎn)化為α,θ的正弦和余弦的比值,然后為了使λ有解,求出α,θ的正弦和余弦的比值可能的取值范圍即可.
2015年許多省份在對圓錐曲線的試題命制中,都采用了求2個交點和原點構(gòu)成的三角形面積這一出題思路.
圖5
1)求實數(shù)m的取值范圍;
2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點).
(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第19題)
解 (向量法結(jié)合參數(shù)方程法)
由點差法算得
又
(9)
2)由結(jié)論1可知,
由式(9)得
式(11)2+式(12)2,得
(13)
將式(13)代入式(10),得
1)求橢圓C的方程.
②求△ABQ面積的最大值.
(2015年山東省數(shù)學(xué)高考試題第20題)
解 (向量法結(jié)合參數(shù)方程法)
(14)
M(xM,yM)=(2(cosθ+cosα),sinθ+sinα),
N(xN,yN)=λ(2(cosθ+cosα),sinθ+sinα).
圖6
如圖6,過點N作線段A′B′∥AB,分別與直線OA,OB交于點A′,B′,則
A′=(4λcosθ,2λsinθ),
B′=(4λcosα,2λsinα).
(cosθ+cosα)2+ (sinθ+sinα)2=
(15)
故