基于微積分方法求解一類冪級數(shù)的和函數(shù)

【摘""要】幾何級數(shù)由于形式的特殊性，可在其收斂域里方便求出它的函數(shù)。一類冪級數(shù)可通過逐項求導(dǎo)或逐項求積的形式將其轉(zhuǎn)化成幾何級數(shù)，結(jié)合幾何級數(shù)的和函數(shù)反向通過求積或求導(dǎo)的方法得到原冪級數(shù)的和函數(shù)。

【關(guān)鍵詞】冪級數(shù)""和函數(shù)""求導(dǎo)""積分

【中圖分類號】G642"""""""""""【文獻標識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2015）14-0074-01

冪級數(shù)是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)，其和函數(shù)的求解可以用級數(shù)求和的一般方法，同時也有適合其形式的特殊解法。即在求出冪級數(shù)的收斂域的條件下，先利用逐項求導(dǎo)或逐項求積的方法將原冪級數(shù)轉(zhuǎn)換成幾何級數(shù)，結(jié)合幾何級數(shù)的和函數(shù)，然后再通過求導(dǎo)或積分的方法得到原冪級數(shù)的和函數(shù)。具體類型及方法如下。

類型1：通過逐項求積或逐項求導(dǎo)的方式直接轉(zhuǎn)換成幾何級數(shù)，隨后求解。

根據(jù)和函數(shù)s（x）在（-1，1）連續(xù)，可得s（0）=0，從

而有C=0，所以該冪級數(shù)的和函數(shù)為：。

說明：對于先求導(dǎo)、后求積的形式，由于所求為不定積分，因此會帶一個常數(shù)，此時根據(jù)冪級數(shù)在收斂域連續(xù)的性質(zhì)，結(jié)合s（0）的初值可求出常數(shù)的值。

對于上述兩種類型，由于冪級數(shù)通項的系數(shù)與x的冪指數(shù)的關(guān)系，通過求導(dǎo)或求積的方式，能將系數(shù)直接去掉，使得新冪級數(shù)跟幾何級數(shù)的形式相似，然后即可求出新函數(shù)的和函數(shù)，隨后利用求積或求導(dǎo)得到原冪級數(shù)的和函數(shù)。

類型2：轉(zhuǎn)換成以x的整數(shù)次冪乘冪級數(shù)形式，然后根據(jù)類型1再求解。

綜上可得，對于上述類型冪級數(shù)和函數(shù)的求解方法可歸納為：（1）若冪級數(shù)的通項是整數(shù)與變量x相乘的形式，則可用“先積分，后求導(dǎo)”的方法。（2）若冪級數(shù)的通項是整數(shù)的倒數(shù)與變量x相乘的形式，則可用“先求導(dǎo)，后積分”的方法，但要結(jié)合和函數(shù)在收斂域的連續(xù)性求出積分后的常數(shù)。（3）若用逐項求導(dǎo)或逐項求積無法消除冪級數(shù)通項前的系數(shù)，此時可提取x的整數(shù)次冪，使得變換后冪級數(shù)變成（1）或（2）類型，然后求解。

參考文獻

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〔責(zé)任編輯：龐遠燕〕