中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)與實踐探索

【摘""要】初、高中學(xué)生已經(jīng)初步掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟，具備運用數(shù)學(xué)模型方法解決比較簡單的實際問題的能力。對于藏族學(xué)生而言，以其喜聞樂見的實際問題作為例子，建立數(shù)學(xué)模型，能起到事半功倍的作用。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)""模型思想""教學(xué)實踐""藏族學(xué)生

【中圖分類號】G424"""""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2015）14-0018-02

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》中指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！苯⒑颓蠼饽Ｐ偷倪^程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。應(yīng)用意識有兩個方面的含義，一方面是有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題;另一方面，認(rèn)識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。在整個數(shù)學(xué)教育的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，綜合實踐活動是培養(yǎng)應(yīng)用意識很好的載體。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決實際問題，常常需要在數(shù)學(xué)理論和實際問題之間構(gòu)建一個橋梁來加以溝通，以便把實際問題中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)明確地表示出來，這個橋梁就是數(shù)學(xué)模型。

我們以幾項體育活動以及與學(xué)生生活息息相關(guān)的生活問題作為實例，進(jìn)行問題分析，研究解決方法（建立數(shù)學(xué)模型），進(jìn)一步解決問題（模型求解），再做一些必要的結(jié)果分析（模型分析），能對藏族學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到事半功倍的作用。

一"足球射門問題

踢足球是藏族學(xué)生喜愛的一種體育活動。什么時候射門才能夠最大可能地射進(jìn)球門，可以用一個數(shù)學(xué)方法來解決。

問題：一邊鋒在對方隊員的防守下只能沿場邊直線帶球沖向球門，問何時射門進(jìn)球系數(shù)最大？

數(shù)學(xué)概念：幾何;適用年級：初三。

建模過程：射門進(jìn)球可能性大小與球員對球門的視角大小有關(guān)。當(dāng)球員在對方的防守下只能沿場邊直線帶球沖向球門，一定有對于球門的最大視角點?？梢杂孟旅娴氖疽鈭D（圖1）來表示：AB表示球門的寬度，邊鋒沿CD帶球沖向球門。我們可以作過A和B，與直線CD相切的唯一圓（在場內(nèi)），這個切點就是最大視角點，也就是最佳射球點。

學(xué)生的任務(wù)：說明為什么點H是對球門的最大視角點，說出或?qū)懗鲞@個圓的作法。還有沒有其他最佳射球點？

二"臺球擊球方向問題

比賽臺球（斯諾克Snooker）也是藏族學(xué)生喜愛的一種體育活動，往往在將一個球擊入最近或最佳的球門時，前面有一個障礙球。這時一般將球打到球桌邊緣反彈到目標(biāo)球門。

問題：如圖2，如果要將球Q擊入球門A，應(yīng)將球打到桌邊CD的哪個位置，才能直線進(jìn)入球門A呢？

數(shù)學(xué)概念：幾何;適用年級：初二。

建模過程：如圖3、圖4等方法。可以瞄準(zhǔn)A'、A''、A2……等點擊球。

圖3""""""""""""""""""""""""""圖4

學(xué)生的任務(wù)：找出這個反彈點，并說明理由。如果沿線KA又有障礙球，在桌邊CD上有沒有另外一個這樣的點呢？如果沒有，怎么才能夠?qū)⑶虼蜻M(jìn)球門A呢？圖中的A'、A''、A2……各點與點A有什么關(guān)系？

三"羊群中羊的數(shù)量問題

有一群羊，不能一一點數(shù)，要估算出羊的總數(shù)?？梢杂猛愣棺鳛楣ぞ撸酶怕史椒ü烙嫈?shù)量，以此作為模型來求出羊群中羊的總數(shù)。

問題：用什么方法能夠估算出這群羊的總數(shù)？

數(shù)學(xué)概念：統(tǒng)計、概率;適用年級：高一。

建模過程：以豌豆作為模型。假設(shè)袋中有N粒豌豆，第一次取出t粒做好標(biāo)記后放回袋中，第二次取出n粒，其中恰有s粒做了標(biāo)記，我們可以求得n粒豌豆中恰有s粒為帶標(biāo)

記的豌豆的概率，其概率為：。這是大概率事件，

有一個合適的N會使概率P達(dá)到最大，基于這個思維，可通

過求P的極大值的方法來估計N的值，當(dāng)時P達(dá)到

極大。所以，假定第一次從袋中取出120粒豌豆，對這120粒豌豆做了標(biāo)記;第二次取出100粒豌豆，如果其中有10粒豌豆做了標(biāo)記，那么這袋豌豆共有1200粒。對這群羊而言，首先從中隔離出部分羊來，做好標(biāo)記后放回;當(dāng)充分混合后再從中隔離出一部分來，可以數(shù)出其中帶有標(biāo)記的羊的數(shù)量，由此計算整群羊的總數(shù)。

學(xué)生的任務(wù)：從一袋豌豆中任意取出一把，統(tǒng)計數(shù)量并做記錄，給每粒豌豆做上標(biāo)記放回袋中。把它們充分?jǐn)噭蚝笤購拇腥我馊〕鲆话?，統(tǒng)計帶標(biāo)記和不帶標(biāo)記的豌豆數(shù)量并做記錄。從這一把豌豆中的帶標(biāo)記的數(shù)量與總數(shù)的比例可以推斷估計出這一袋豌豆的大概數(shù)量。

四"風(fēng)暴危害問題

據(jù)甘肅省氣象臺預(yù)報，甘南州合作市正東300km處的天水市區(qū)有一個暴雨云團(tuán)形成，并以每小時40km的速度向西北方向運動，由于氣溫的變化，在離云團(tuán)中心250km以內(nèi)的地區(qū)將受到冰雹影響。

問題：云團(tuán)中心的運動軌跡是什么？合作市周邊250km范圍內(nèi)的農(nóng)牧業(yè)是否會受到冰雹的影響？若受影響，受影響的時間有多長？

數(shù)學(xué)概念：坐標(biāo)法、三角函數(shù)、參數(shù)方程""適用年級：高二。

建模過程：建立正確的方

位圖，用坐標(biāo)系來具體表示，

給出云團(tuán)運動的軌跡直線，列

出軌跡方程及合作市的安全區(qū)

域表示式。

學(xué)生的任務(wù)：畫圖，列方程。

如圖5，云團(tuán)運動軌跡為

射線AD，其方程為：

（t≥0，為云團(tuán)運動時間）

解得：1.99≤t≤8.61

由此可知，從現(xiàn)在起約經(jīng)過1.99小時后將受到冰雹影響，時間持續(xù)8.61-1.99=6.62（小時）。

五"選購筆記本問題

扎西利用課余時間回收廢品，用賣得的錢去購買5本大小不同的兩種筆記本，計劃共花錢不超過28元，且購買的筆記本的總頁數(shù)不低于340頁，兩種筆記本的價格和頁數(shù)如下表。

大筆記本

小筆記本

價格（元/本）

6

5

頁數(shù)（頁/本）

100

60

問題：為了節(jié)約資金，扎西應(yīng)選擇哪一種購買方案？請說明理由。

數(shù)學(xué)概念：不等式（組）;適用年級：初三。

建模過程：如果設(shè)購買大筆記本x本，那么購買小筆記本5-x本，根據(jù)題意有以下不等式組：

，解得1≤x≤3。

由此可列出購買方案：

方案

大筆記本（本）

小筆記本（本）

紙張頁數(shù)（頁）

總價格（元）

1

1

4

340

26

2

2

3

380

27

3

3

2

420

28

學(xué)生的任務(wù)：根據(jù)花錢要求和買筆記本要求分別列出關(guān)系式（不等式），并解不等式組，給出所有的購買方案。

在市場經(jīng)營、核定價格、分析盈虧、估計產(chǎn)量、投資決策等許多問題中，可以通過挖掘?qū)嶋H問題所隱含的數(shù)量關(guān)系，建立不等式（組）模型來加以解決。

參考文獻(xiàn)

[1]劉兼、孫曉天.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕