【摘 要】對現(xiàn)實中很多問題的合理數(shù)學抽象與求解是解決該類問題的關鍵所在。本文針對有一定規(guī)則的狼獵尋羊的問題進行合理抽象后變成數(shù)學問題。利用Matlab軟件和歸納綜合的方法對獵尋問題進行分類探討,總結(jié)出有意義的結(jié)論,有助于學生拓展思維寬度和增加學習樂趣。
【關鍵詞】獵尋問題 Matlab 編程應用 歸納綜合法
【中圖分類號】O244 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810(2015)29-0068-03
一 問題引入
現(xiàn)有4只羊(名叫“閨丫”“璧丫”“芬丫”“鮮丫”)和1只狼(名叫“紳士”)住在同一座山上。山中,有12個山洞,圍成一圈,編號依次為0到11。起初,他們生活相處都很融洽。過了不久,再也尋不到其他吃食的狼盯上了這個羊群?!伴|丫”于是和“紳士”打起了商量:“我知道您很久沒吃東西了,正在打我們的主意,但我們也不會束手就擒,我們何不打個賭呢?如您贏了,我們樂意隨你處置!現(xiàn)在我們姐妹4個各自找個山洞藏起來,每個山洞最多只藏一只羊,您從0號洞出發(fā),每次必須隔兩個洞來尋我們——您的獵物,尋找次數(shù)不限,如何?”“紳士”很有點底氣兒:“尋找次數(shù)不限,這可是你承諾的,成為盤中餐時,閣下千萬別怨這怨那?。 ?/p>
二 問題分析
在“紳士”狼嚴格遵守既定獵尋規(guī)則的前提下,其結(jié)果顯而易見,狼先從第一個山洞(0號)出發(fā),第一次到3號洞,第二次到6號洞,第三次到9號洞,第四次又回到0號洞,并依次循環(huán)下去。可見,狼可到達的洞穴只能是0、3、6、9號,因此只要4只羊分別藏于除0、3、6、9之外的其他洞穴,她們都是安全的,狼只能無可奈何,路線示意圖如下所示。
三 問題延伸
“紳士”狼沒多想,直接依約開始。但找了幾圈之后,發(fā)現(xiàn)問題比較嚴重,漸漸失去按規(guī)則獵尋的耐性。“閨丫”見狀再次主動和“紳士”打起了商量:“要不咱們重新?lián)Q個規(guī)則,從0號洞出發(fā),第一次到1號洞,第二次隔一個洞(即到3號洞),第三次隔兩個洞(即到6號洞),依次類推,這樣可避免尋找洞穴的周期性重復出現(xiàn),尋找次數(shù)仍舊不限,如何?”“紳士”不比先前自信,但想來這樣無限制地獵尋下去篤定是餓不著了?!伴|丫”望著“紳士”又說:“試試撒?”“紳士”不失風度:“試試就試試啰,當真你有那么好的運氣不成!”
四 Matlab軟件編程助力解算
狼先從0號洞出發(fā),接著來到1號洞,接著又來到3號洞(1+2=3),接著又來到6號洞(3+3=6)、10號洞(6+4=10)、3號洞(10+5-12=3)……依次類推,狼獵尋到下一洞的序號與前一洞的序號相關,是前一洞序號加上隔洞數(shù)除以12的余數(shù)。由于尋找次數(shù)不限,大量的手工計算比較麻煩,考慮運用Matlab軟件編程助力解算。
Matlab(Matrix laboratory)軟件是Mathworks公司于1984年推出的一套高性能的數(shù)值計算和可視化軟件,可方便地應用于數(shù)學計算、算法開發(fā)、數(shù)據(jù)采集、系統(tǒng)建模和仿真、數(shù)據(jù)分析和可視化、科學和工程方面。將Matlab的強大計算功能應用到中學數(shù)學計算中,既可以鍛煉學生的工具應用能力,也可以拓展學生解決問題的思維,對于以后的高層次學習和發(fā)展有著重要意義。
根據(jù)之前對問題的分析和數(shù)學抽象后,運用Matlab軟件的編程思路是:
(1)初始洞號a=0,狼找過的洞的初始合集為b={0};
(2)用while循環(huán)實現(xiàn)前若干次的序號集;
(3)循環(huán)體中,第i次的洞號a是前一洞號加隔洞數(shù)i除以12得到的余數(shù),同時將每次產(chǎn)生的新序號添加到之前的序號集中。
具體編程語句代碼如下:
clc; clear all; close all;
a=0; b={0}; i=1;
while i<=100
a=rem(a+i,12);
i=i+1;
b=[b,a];
end
b
return
通過Matlab軟件編程計算結(jié)果表明:
(1)在前100次的獵尋中,狼找過的洞只限于0,1,3,4,6,7,9,10號;
(2)每24次獵尋后將會出現(xiàn)0,1,3,6,10,3,9,4,0,9,7,6,6,7,9,0,4,9,3,10,6,3,1,0循環(huán),即狼“紳士”將重復進入以上序號的洞穴。
綜合上述結(jié)果得知,如4只羊分別藏在第2、5、8、11號洞,她們顯然是安全的。當進一步加大模擬實驗的次數(shù)時(如把i<=100改為i<=10000),發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律不變,狼獵尋的洞穴號只能是0,1,3,6,10,3,9,4,0,9,7,6,6,7,9,0,4,9,3,10,6,3,1,0循環(huán)。于是,通過大量數(shù)據(jù)的計算,歸納總結(jié)出2、5、8、11號洞是4只羊的風險規(guī)避地。
五 綜合拓展
苦不堪言的“紳士”又一次發(fā)現(xiàn)了問題的嚴重性,停下了獵尋的腳步,“閨丫”不敢怠慢,再次和“紳士”打起了商量:“要不咱們這樣,前面兩個獵尋規(guī)則,你可以結(jié)合起來使用,先使用哪種規(guī)則都行,什么時間想變換規(guī)則都行,而且尋找次數(shù)不限?!贝藭r,“紳士”似乎多了一份沉著,看了看“閨丫”,眼神中透出些許敬意,卻并不甘心,道:“剛才就差4個洞就能實現(xiàn)狼羊共舞,如今兩個規(guī)則又可以交叉結(jié)合,瞧好吧!你!”
六 分情況討論
既然兩種規(guī)則可以變換使用,那么可分兩種情況進行討論。
情況一:狼先用規(guī)則1獵尋羊,獵尋過的洞號分別為0、3、6、9,狼可以在這4個洞中的任意一個變換使用規(guī)則2繼續(xù)獵尋。
對于情況一,即先使用規(guī)則1,再換規(guī)則2。由于規(guī)則1中只可能獵尋到4個洞穴,分別是0、3、6、9號洞,所以接下來只能在0、3、6、9號洞穴之一處繼續(xù)使用規(guī)則2獵尋。通過編程解算獲得下列計算結(jié)果:
洞穴0開始改變規(guī)則:0,1,3,6,10,3,9,4,0,9,7,6,6,7,9,0,4,9,3,10,6,3,1,0……循環(huán)。
洞穴3開始改變規(guī)則:3,4,6,9,1,6,0,7,3,0,10,9,9,10,0,3,7,0,6,1,9,6,4,3……循環(huán)。
洞穴6開始改變規(guī)則:6,7,9,0,4,9,3,10,6,3,1,0,0,1,3,6,10,3,9,4,0,9,7,6……循環(huán)。
洞穴9開始改變規(guī)則:9,10,0,3,7,0,6,1,9,6,4,3,3,4,6,9,1,6,0,7,3,0,10,9……循環(huán)。
上述討論結(jié)果表明:先使用規(guī)則1隨后變換為規(guī)則2,無論狼從4個洞穴中的哪個開始變換使用規(guī)則2,狼都只能獵尋0、1、3、4、6、7、9、10號這8個洞穴,也就是說,2、5、8、11號洞再次成為4只羊的風險規(guī)避地。
情況二,狼先使用規(guī)則2獵尋羊,獵尋過的洞穴分別為0、1、3、4、6、7、9、10,狼可以在這8個洞中的任意一個變換使用規(guī)則1繼續(xù)獵尋。
對于情況二,即先使用規(guī)則2,再換規(guī)則1。由于規(guī)則2中只可能獵尋到0、1、3、4、6、7、9、10號這8個洞穴,所以接下來只能在0、1、3、4、6、7、9、10號洞穴之一處繼續(xù)使用規(guī)則1獵尋。通過窮舉法獲得下列結(jié)果:
0:0,3,6,9…… 1:1,4,7,10……
3:3,6,9,0…… 4:4,7,10,1……
6:6,9,0,3…… 7:7,10,1,4……
9:9,0,3,6…… 10:10,1,4,7……
上述討論說明,先使用規(guī)則2,隨后變換為規(guī)則1,無論狼從8個洞穴中的哪個開始變換使用規(guī)則1,狼依舊獵尋不到2、5、8、11號這4個洞穴,也就是說2、5、8、11號洞依舊是4只羊的風水寶地。
七 結(jié)局料想
“紳士”的最后一番獵尋似乎較先前更為淡定,在兩種獵尋方案都嘗試以后,他望著“閨丫”,眼神里卻絲毫沒有無奈之感:“你真是不打無準備之戰(zhàn)啊,的確有點主意,看在這股機靈勁兒的分上我暫時放過你們,要不我們結(jié)伴到別的山頭瞧瞧?!薄伴|丫”忙回話:“您真有遠見,給您點贊——智慧與力量并舉的典范。”
獵尋問題的本質(zhì)是一個搜索問題,按照一定的規(guī)則進行路徑的選擇。本文以充滿趣味的“狼吃羊”的故事為對象,按照預先設定的獵尋規(guī)則進行數(shù)學抽象變成一個數(shù)學問題,這樣有助于問題的理解和求解。最后通過Matlab軟件平臺編程,對大量數(shù)據(jù)進行解算,成功歸納出“羊”的安全洞穴。成功地將實際問題和數(shù)學工具進行結(jié)合,拓展了解決實際問題的思路,對于學生的平時學習有著重要的意義。
參考文獻
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〔責任編輯:龐遠燕、汪二款〕