巧用“圖象面積”求解習(xí)題

胡冰琳

【摘要】高中物理涉及了很多圖象，物理圖象中的“面積”有著非常豐富的內(nèi)涵。本文闡述巧用“面積”求解問題。

【關(guān)鍵詞】圖象面積

【中圖分類號】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）05-0144-02

高中物理涉及了很多圖象，物理圖象中的“面積”有著非常豐富的內(nèi)涵。這里所說的“面積”是指物理圖象中圖線與橫軸所夾的面積，物理圖象中“面積”的物理含義是由橫、縱兩軸物理量的乘積及相應(yīng)物理公式?jīng)Q定的。深刻理解“面積”的物理含義是利用“面積”有效處理物理問題的關(guān)鍵所在，下面列舉4個例題，突出體現(xiàn)巧用“面積”求解問題的奇秒之處。

1.F-x圖象

在反映作用在物體上的力F隨位移x變化的F-x圖象中，橫、縱兩軸物理量的乘積為Fx，即為力F做的功，所以F-x圖象中圖線與橫軸所夾的“面積”的物理意義就是力F所做的功。

例1 ?如圖1所示，一對足夠長的平行光滑軌道放置在水平面上，兩軌道相距L=1m，左端之間用R=3Ω的電阻連接，軌道的電阻忽略不計。質(zhì)量m=0.5kg、電阻r=1Ω的導(dǎo)體桿靜置于兩軌道上，并與兩軌道垂直。整個裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直軌道平面向上。現(xiàn)用水平拉力沿軌道方向拉導(dǎo)體桿，拉力F與導(dǎo)體桿運(yùn)動的位移x的關(guān)系如圖2所示。當(dāng)拉力達(dá)到最大時，導(dǎo)體桿恰好開始做勻速運(yùn)動。當(dāng)位移x=2.5m時撤去拉力，導(dǎo)體桿又滑行了一段距離△x后停下，已知在滑行△x的過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為12J。求：

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

（1）導(dǎo)體桿運(yùn)動過程中的最大速度vm;

（2）拉力F作用過程中，回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

解 ?（1）撤去F后導(dǎo)體桿滑行過程中動能轉(zhuǎn)化為電能

■=■=■ ? ? ? ? ? ①

由能量守恒定律得 ■mv■■ =QR+Qr ? ?②

聯(lián)立①②解得vm=8m/s

（2）勻速運(yùn)動時最大拉力與安培力平衡

Fm=BImL ?③ ? ? ? ? ? ?Im=■ ? ④

聯(lián)立③④得Fm=8N

由圖象面積可得拉力做的功WF=18J ? ⑤

由能量守恒可得 WF=Q+■mv■■ ? ? ⑥

聯(lián)立⑤⑥得Q=2J

2.a-t圖象

在反映物體加速度a隨時間t變化的a-t圖象中，橫、縱兩軸物理量的乘積為at，即為運(yùn)動物體在這段時間內(nèi)的速度的變化量，所以a-t圖象中圖線與橫軸所夾“面積”的物理意義就是物體速度的變化量。

例2 ?某艦載機(jī)降落到靜止的航母上，圖3為航母甲板上攔阻索阻攔艦載機(jī)過程的俯視示意圖，圖4為艦載機(jī)尾鉤鉤住攔阻索正中位置隨即關(guān)閉發(fā)動機(jī)后加速度a隨時間t變化的圖象。已知艦載機(jī)質(zhì)量M=2.0×104kg，尾鉤剛鉤住攔阻索時的初速度v0=75m/s，t1=0.3s，攔阻索與尾鉤剛鉤住時攔阻索的初始位置夾角θ=45°，此時艦載機(jī)所受空氣阻力與甲板摩擦阻力大小之和f=2.0×105N，求：

圖3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖4

（1）t1=0.3s攔阻索的拉力大小T;

（2）t1=0.3s艦載機(jī)的速度大小v1，t1=0.3s至t2=2.5s內(nèi)通過的位移大小s。

解（1）由圖象可知加速度大小a1=30m/s2 ? ?①

由牛頓第二定律得2Tsinθ+f=Ma ? ? ?②

聯(lián)立①②解得T=2.8×105N

（2）圖象0-0.3s的面積代表速度的減少量

△？淄=■×0.3m/s=4.5m/s ?③

t1=0.3s，v1=v0-△v=70.5m/s ? ④

t1-t2時間內(nèi)的位移大小s=v1（t2-t1）-■a（t2-t1）2 ?⑤

聯(lián)立④⑤得s=82.5m

3.E-r圖象

在反映電場強(qiáng)度E隨距離r變化的E-r圖象中，橫、縱兩軸物理量的乘積為Er，即代表電勢差，所以在E-r圖象中，圖線與橫軸所夾的“面積”的物理意義就是電勢差。

例3 ?半徑為R，均勻帶正電荷的球體在空間產(chǎn)生球?qū)ΨQ的電場。場強(qiáng)大小沿半徑分布如圖5所示，圖中E0已知，E-r曲線下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積。

（1）已知帶電球在r≥R處的場強(qiáng)E=■，式中k為靜電力常量，該均勻帶電球所帶的電荷量Q為多大？

（2）求球心與球表面間的電勢差△U;

（3）質(zhì)量為m，電荷量為q的負(fù)電荷在球面處需具有多大的速度可以剛好運(yùn)動到2R處？

解 ?（1）從圖中可得E0=■ ?解得Q=■

（2）球心與球表面間的電勢差△U就是圖線O-R部分的面積△U=■ ?①

（3）由題中可得E-r曲線下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積，距離球心R到2R的電勢差也為△U

由能量守恒得■mv■■=q△U ?②

聯(lián)立①②得 ？淄0■

4.V-t圖象

在反映物體速度v隨時間t變化的v-t圖象中，橫、縱兩軸物理量的乘積為vt，即為位移，所以v-t圖象中圖線與橫軸所夾的“面積”的物理意義就是物體運(yùn)動位移。

例4 ?酒后駕車嚴(yán)重威脅公眾交通安全。若將駕駛員從視覺感知前方危險到汽車開始制動的時間稱為反應(yīng)時間，將反應(yīng)時間和制動時間內(nèi)汽車行駛的總距離稱為感知制動距離?？茖W(xué)研究發(fā)現(xiàn)，反應(yīng)時間和感知制動距離在駕駛員飲酒前后會發(fā)生明顯變化。一駕駛員正常駕車和酒后駕車時，感知前方危險后汽車運(yùn)動v-t圖線分別如圖6、7所示。求：

（1）正常駕駛時的感知制動距離s1

（2）酒后駕駛時的感知制動距離比正常駕駛時增加的距離△s

圖6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖7

解 （1）圖6中的圖象在0-4.5s的面積代表位移s1

s1=■×30m=75m

（2）圖7中的圖象在0-5.5s的面積代表位移s2

s2=■×30m=105m ? ? ? ?△s=s2-s1=30m

通過上面的四個例題，利用圖象“面積”巧妙地求出變力做功、非勻變速運(yùn)動的速度變化量、非勻強(qiáng)電場的電勢差和物體運(yùn)動的位移，使復(fù)雜問題的過程通過“圖象面積”求解變得更加簡單化，實(shí)踐證明，物理圖象的“面積”不僅可以快速、高效的處理高中物理的線性問題，而且在處理解析法難于解決的非線性問題有著想不到的功效，這就要求我們老師在平時的課堂教學(xué)中應(yīng)注重這類思想的引導(dǎo)與滲透，從而快速提高學(xué)生解決物理問題的能力。