基于建模案例的極大線性無(wú)關(guān)組微課教學(xué)設(shè)計(jì)

【摘要】針對(duì)《線性代數(shù)》課程中“向量組的極大線性無(wú)關(guān)組”這一重要概念，進(jìn)行案例-概念-案例的教學(xué)，可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的興趣，深化學(xué)生對(duì)概念的理解， 增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】建模案例 ?向量組 ?極大線性無(wú)關(guān)組 ?教學(xué)

【基金項(xiàng)目】本文由2015北京信息科技大學(xué)校級(jí)教改項(xiàng)目2015JGYB40資助。

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）05-0120-01

向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是《線性代數(shù)》課程中的一個(gè)重要概念，也是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。大多數(shù)初學(xué)者感到非常抽象，不能完全掌握，更不能靈活的運(yùn)用這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題。因此，在課堂教學(xué)中如果能引入一些建模案例，將抽象的概念具體化，可激發(fā)課堂氣氛，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，提高課堂教學(xué)效果。為此，筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在講解線性相關(guān)和無(wú)關(guān)的知識(shí)點(diǎn)后，將極大線性無(wú)關(guān)組這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)課堂設(shè)計(jì)如下：

一、引例[1]

老師提問(wèn)：繪畫時(shí)需要調(diào)色，三原色是什么？其它顏色，比如綠色、橙色，怎么形成的？畫一幅五顏六色的畫最少需要幾種顏料？

學(xué)生回答：三原色是紅、黃、藍(lán)，其它的顏色都是三原色按照一定的比例調(diào)制出來(lái)的，藍(lán)色和黃色可調(diào)成綠色，紅色和黃色可調(diào)成橙色。因此繪畫時(shí)至少需要三種顏色。

老師引導(dǎo)：在調(diào)色方面，三原色中任何兩種顏色都調(diào)制不出其余的那種顏色，但不同比例的三種顏色可調(diào)制成若干不同的顏色。三原色之間的關(guān)系就類似于向量之間的線性無(wú)關(guān)，而其它的顏色可有由紅黃藍(lán)線性表示。三原色就是所有顏色這個(gè)集合的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。如果把三原色改為有類似性質(zhì)的向量空間的向量組，就是向量組的極大線性無(wú)關(guān)組。從而引出向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的數(shù)學(xué)定義。

二、向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的定義[2]

設(shè)A是n維向量組，如果A的一個(gè)部分向量組滿足

（1）線性無(wú)關(guān);

（2）A中的任意向量都可以表示成的線性組合。

則稱向量組是向量組A的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

三、案例練習(xí)

為了加深對(duì)概念的理解，特進(jìn)行如下的案例練習(xí)：

例1[3]：某地區(qū)有12個(gè)氣象觀測(cè)站，10年來(lái)每個(gè)觀測(cè)站的年降水量如下表1。為了節(jié)省開(kāi)支想要適當(dāng)減少氣象觀測(cè)站。問(wèn)題：減少哪些氣象觀測(cè)站可以使所得的降水量的信息量仍然足夠大？

表1 ?10年12個(gè)觀測(cè)站的年降水量

a1，a2，…，a12分別表示氣象觀測(cè)站x1，x2，…，x12在1981-1990年內(nèi)的降水量的列向量，由于a1，a2，…，a12是含有12個(gè)向量的十維向量組，該向量組必定線性相關(guān)。若能求出它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，則其極大線性無(wú)關(guān)組所對(duì)應(yīng)的氣象觀測(cè)站就可將其他的氣象觀測(cè)站的氣象資料表示出來(lái)，因而其他氣象觀測(cè)站就是可以減少的。因此，最多只需要10個(gè)氣象觀測(cè)站。

在上述建模案例的引導(dǎo)下，教師很容易的講解最大無(wú)關(guān)組的概念，學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)也理解地非常透徹，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的興趣， 收到了很好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]潘瓊，杜緯，歐陽(yáng)安.線性代數(shù)舉例教學(xué)及習(xí)題選取[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013，16（1）：83-85.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)同濟(jì)大學(xué)第六版教材[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]黃靜靜，王愛(ài)文.數(shù)學(xué)建模方法與CUMCM賽題詳解.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014.