數(shù)項(xiàng)級數(shù)和的幾種求法

林美娟

（金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院師范學(xué)院，浙江 金華321007）

1 利用數(shù)項(xiàng)級數(shù)和的定義求和

2 利用冪級數(shù)求和

3 利用歐拉公式求和

分析 這是典型的交錯(cuò)級數(shù)，此題中的和式并非是n個(gè)連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)之和，但是可以轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項(xiàng)之和（第一部分）減去偶數(shù)項(xiàng)的和（第二部分），然后在兩部分中都加上，這樣就可以用歐拉公式來求極限.

4 利用傅里葉級數(shù)求和

可以展成傅里葉級數(shù)的函數(shù)（逐段光滑）要比可以展成冪級數(shù)的函數(shù)（存在任意階導(dǎo)數(shù)）廣泛得多.在函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式中給定x的一個(gè)值就可以得到某個(gè)級數(shù)的和.

分析 此題用冪級數(shù)也可以求和，如果利用函數(shù)f(x)=x2在[-π,π]展成的傅里葉級數(shù)，那么解題的過程就比較簡捷.

解 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2在[-π,π]展成的傅里葉級數(shù)為

以上給出的只是幾種常用的數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求法.在具體問題中可以綜合運(yùn)用各種方法，一道題也可以有多種解法.

［1］劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義(第五版)[M].高等教育出版社,2008(4).

［2］費(fèi)定暉,等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社,1980(2).