幾乎基次亞緊空間的無限乘積

幾乎基次亞緊空間的無限乘積

引言

Poter JE引入了基仿緊空間的概念，并研究了基仿緊空間的性質(zhì)［1］。Graner E首先引入了幾乎亞緊空間［2］，后又有學(xué)者引入了基次亞緊空間的概念，并對它的相關(guān)性質(zhì)進行了研究。本文在此基礎(chǔ)上，引入幾乎基次亞緊空間的概念，并對其有關(guān)性質(zhì)做初步的探討。

本文所討論的拓撲空間以下簡稱為空間，用（U）A和N（A）分別表示集族｛U∈U：U∩A≠φ｝和集合A的開鄰域系表示集合A的閉包，IntA表示集合A的內(nèi)部，表示集合Λ的基數(shù)；ω表示非負整數(shù)集或

最小無限基數(shù)；［A］＜ω＝｛F?A，F(xiàn)是非空有限集｝，。本文的基本概念、符號和表示方法都參考文獻［3］。

1 預(yù)備知識

定義1［4］設(shè)（Λ，≤）是一個定向集，稱集族U＝｛Uα∈Λ｝是定向上升的，如果對?α，β∈Λ，當α≤β時有Uα?Uβ。

定義2［5］設(shè)k是一個基數(shù)，并且k≥2，空間X稱為是k－仿緊的，如果X的每個基數(shù)≤k的開覆蓋有一個局部有限的開加細。

定義3［6］空間X稱為是基－次亞緊的，如果存在X的一個基B，＝ω（X），對于X的每個覆蓋U，都存在一個開加細序列，且Bn?B，使得?x∈X存在n∈ω，有1≤ord（x，Bn）＜ω。

定義4空間X稱為是幾乎基－次亞緊的，如果存在X的一個基B，＝ω（X），對于X的每個覆蓋U，都存在X的一個稠密子集D及U的一個開加細序列，且Bn?B，使得?x∈D存在n∈ω，有1≤ ord（x，Bn）＜ω。

引理1［7］設(shè)λ是一個基數(shù)，若空間X是λ仿緊的，Λ是一個定向集，＝λ，若｛Hα：α∈Λ｝是X定向上升的開覆蓋，則存在X定向上升的開覆蓋｛Kα：α∈Λ｝，使得對α∈Λ有。

引理2［8］幾乎次亞緊空間的閉子空間是幾乎亞緊空間。

引理3［9］如果X＝Πα∈ΛXα是－仿緊空間，則X是幾乎弱加細的空間當且僅當?F∈［Λ］＜ω，是幾乎弱加細的。

2 主要結(jié)果

定理1如果空間X是幾乎基次亞緊的，則X的閉子空間Y是幾乎基次亞緊的。

證明Y是X的閉子空間，Y是Y的開覆蓋，?U∈Y，?G（U）開于X，使得U＝G（U）∩Y從而｛G（U）：U∈Y｝∪｛X－Y｝是X的開覆蓋，由X是幾乎基次亞緊空間，B是X的一個基，故存在X的一個稠密子集D和｛G（U）：U∈Y｝∪｛X－Y｝的開加細覆蓋V＝∪n∈ωVn，Vn∈B，使得?x∈D存在n∈ω，1≤ord（x，Vn）＜ω。令A(yù)＝B∩Y，則A為Y的基。令Hn＝V∩Y＝｛Y∩Vnα：α∈Λ，Vnα∈V，Vnα∩Y≠φ｝，則Hn是Y的開加細且Hn∈A。由D是稠密子集，，所以D∩Y稠密于Y。?x∈D∩Y，x∈D且x∈Y，而1≤ord（x，V）＜ω，H＝V∩Y，有，從而，1≤ord（x，Hn）＜ω。即Y是幾乎基次亞緊空間。

（1）UFξ開于YF并且UFξ×ZF?Uξ，令OF＝（∪ξ∈∑UFξ）×ZF。

（2）｛OF：F∈［Λ］＜ω｝是X的開覆蓋，且?E，F(xiàn)∈［Λ］ω，如果F?E，則有OF?OE［10］。

事實上，?x∈X，存在ξ∈∑，x∈Uξ，使得?α∈ F，存在Wα開于Xα使得，令W＝，則，對x∈UFξ×ZF?OF，即｛OF：F∈［Λ］＜ω｝是X的開覆蓋，其次，?E，F(xiàn)∈［Λ］＜ω，如果F?E，?x∈OF，存在ξ∈∑，使得x＝（xα）α∈F×（xα）α∈Λ－F∈UFξ×ZF＝（UFξ×，又開于YE，故x∈UFξ×ZE，從而（2）真。

（3）TF∈∪ξ∈∑UFξ

事實上，?x∈X，存在x∈GF，存在E∈［Λ］＜ω，使得E∈［Λ］＜ω，使得?α∈E，有Wα開于Xα并且x∈，取A＝E∪F，故，則），存在，使得，因為E?A，πE（z）＝，故與z∈X－矛盾，從而，故，即（4）真。

因為X是幾乎基次亞緊，由題設(shè)和定理1，?F∈［Λ］＜ω，YF的閉子空間TF是幾乎基亞緊空間的，則TF有一個基B，，對TF的每個開覆蓋｛UFξ： ξ∈∑｝，都存在TF的一個稠密子集D和｛UFξ：ξ∈∑｝的一個開加細序列ω｝，使得x∈D，存在n∈ω，有1≤ord（x，BFn）＜ω，并且對?ξ∈∑，?n∈ω，有BFnξ?UFξ，對?n∈ω，令Hn＝｛πF－1（BFnξ）∩KF：F∈［Λ］＜ω，ξ∈∑，BFnξ?BFn｝，則［Hn］n∈ω是U＝｛Uξ：ξ∈∑｝的開加細序列。

事實上，?x∈X，因｛KF：F∈［Λ］＜ω｝是X的開覆蓋，故存在F∈［Λ］＜ω，使得x∈KF，并且對?n∈ω，BFn＝｛BFnξ：ξ∈∑｝是TF的開覆蓋，則對?n∈ω，存在ξ∈∑，使得πF（x）＝xF∈BFnξ，故x∈πF－1（BFξ）∩KF，其次?n∈ω，ξ∈∑，因BFnξ?UFξ，則πF－1（BFnξ）∩KF?πF－1（BFnξ）?πF－1（UFξ）?UFξ×ZF?Uξ，故［Hn］n∈ω是U＝｛Uξ：ξ∈∑｝的開加細。

?x∈πF－1（D），存在n∈ω，使1≤ord（x，Hn）＜ω，事實上，?x∈πF－1（DF），則x∈KF?CF＝（IntTF）×ZF，故?n∈ω，xF＝πF（x）∈DF?TF?∪BFn，故存在n∈ω，使得ord（xF，BFn）＜ω，并且，即存在n∈ω，有，從而X是幾乎基次亞緊空間。

（1）X是幾乎基次亞緊的。

證明（1）?（2）是定理3（2）的直接證明，（2）?（3）是顯然的。

［1］Porter J E.Base-paracompact spaces［J］.Topology and its Applications，2003，128：145-156.

［2］Grabner E，Grabne G.Nearly metacompact spaces［J］. Topology Appl，1999，98：191-201.

［3］高國士.拓撲空間論［M］.北京：科學(xué)出版社，2000.

［4］曹金文.幾乎仿緊空間［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2003（3）：57-60.

［5］蔣繼光.一般拓撲學(xué)選講［M］.成都：四川教育出版社，1991.

［6］蔡奇嶸.基-次亞緊空間［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2012（12）：149-150.

［7］Chiba K.Normality of inverse limits［J］.Math.Japonica，1990，35（5）：959-970.

［8］曹金文.幾乎次亞緊空間［J］.黑龍江大學(xué)學(xué)報，2003（9）：50-51.

［9］鄧小琳.幾乎弱ˉθ加細空間［J］.南昌大學(xué)學(xué)報，2007（2）：128-132.

［10］曹金文.正規(guī)弱次亞緊空Tychonoff乘積的刻畫［J］.成都理工大學(xué)學(xué)報，2007（8）：469-470.

Infinite Product of Near Base Sub-meta Compact Space

SHIPengfei，HE Zhaorong，ZHANG Yanjie
（School of Management Science，Chengdu University of Technology，Chengdu 610059，China）

In order to better study the covering properties of sub-meta compact space and other topology spaces，the near base sub-meta compact space is defined on the basis of near basemate compact space，and its heredity is studied.Several main results are obtained as follows：（1）Every closed subspace of nearly base sub-meta compact space is nearly base sub-meta compact-paracompact space，then X is near base sub-meta compact space if and onlyis nearly base sub－meta compact for each F∈［Λ］＜ω．

closed subspace；sub-meta compact spaces；-paracompact spaceords