橢圓型最優(yōu)控制問(wèn)題中的L1，2－方向稀疏

嚴(yán)春梅，張維

（成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，成都610059）

橢圓型最優(yōu)控制問(wèn)題中的L1，2－方向稀疏

嚴(yán)春梅，張維

（成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，成都610059）

介紹一種帶有L1，2－方向稀疏項(xiàng)的橢圓型最優(yōu)控制問(wèn)題，分析條紋稀疏模式，從理論角度研究該問(wèn)題的一階最優(yōu)性條件。為解決不可微控制問(wèn)題，基于廣義微分，提出一個(gè)半光滑牛頓方法，將問(wèn)題在泛函空間中進(jìn)行表示和分析，并具有局部超線性收斂率。

方向稀疏；非光滑正則化；半光滑牛頓

引言

罰項(xiàng)是L1類型的最優(yōu)控制問(wèn)題能產(chǎn)生稀疏解［1］。即控制函數(shù)在區(qū)域的某些部分為0，因?yàn)樵谶@些點(diǎn)，不必要應(yīng)用控制。分析一個(gè)帶有稀疏測(cè)度的橢圓型問(wèn)題，稀疏測(cè)度能夠促進(jìn)條紋稀疏模式?？紤]帶有條紋稀疏模式的橢圓型的最優(yōu)控制（p）問(wèn)題：Ω∈Rn是一個(gè)有界區(qū)域，帶有足夠光滑的邊界Γ＝?Ω，yd，a，b∈L2（Ω），且在Ω上幾乎處處有a＜0＜b，α，β≥0。A：H10（Ω）→H－1（Ω）是二階線性橢圓型微分算子，并且和分別代表L2（Ω）和L1（L2（Ω））范數(shù)，y是狀態(tài)，u是控制變量，yd是理想狀態(tài)。

非光滑項(xiàng)在偏微分方程（PDE）的最優(yōu)問(wèn)題中經(jīng)常被用于反問(wèn)題的正則化，如處理圖像過(guò)程［2］。文獻(xiàn)［3］，L1－正則化被使用在PDE的最優(yōu)控制背景下。文獻(xiàn)［4］分析了帶有非方向稀疏項(xiàng)的橢圓型最優(yōu)控制問(wèn)題。除稀疏項(xiàng)外，L2范數(shù)的平方是成本函數(shù)的一部分，它允許問(wèn)題在Hilbert空間結(jié)構(gòu)下被分析，用牛頓類型算法解決［5］。方向稀疏項(xiàng)在2012年被Heraog R［6］第一次提出，從理論到數(shù)值的實(shí)現(xiàn)都具有很大的難度，本文在此基礎(chǔ)上研究橢圓型問(wèn)題的方向稀疏項(xiàng)，著重研究其理論和計(jì)算方法。

1 預(yù)備知識(shí)

空間Ω?RN，N≥2是一個(gè)有界可測(cè)集，可以RN＝Rn×RN－n（1≤n＜N）將其按坐標(biāo)分割。故有集合：

Ω1可以看作Ω在RN上的射影，Ω2（x1）是Ω在x1∈ Rn方向的橫截面。方向稀疏項(xiàng)的一般形式為：

引理1［6］L1，2的對(duì)偶空間是Bochner類型空間L∞，2。L∞，2是定義在Ω上的所有測(cè)度函數(shù)φ且是有限的。

引理2［6］在u∈L1，2（Ω）的次微分為：L2（Ω2（x1））范數(shù)的次微分為：

2 一階最優(yōu)系統(tǒng)

用一個(gè)減少公式的問(wèn)題替換（p）。這個(gè)問(wèn)題的減少僅僅涉及到控制變量u，因?yàn)槲⒎炙阕覣存在逆映射A－1：H－1（Ω）→H10（Ω），則減少后的問(wèn)題是（＾p）：

這是一個(gè)在Hilbert空間上凸的最優(yōu)性問(wèn)題。

對(duì)所有的u∈Uad都成立，其中，伴隨狀態(tài)ˉ：＝－），次微分?。

變分不等式（2）式幾乎需要在所有的地方進(jìn)行逐點(diǎn)討論。但在文獻(xiàn)［7］允許存在非負(fù)函數(shù)和在中起到不等式約束的拉格朗日乘數(shù)，而且估計(jì)微分ˉλ∈涉及到ˉu的符號(hào)，由此引進(jìn)拉格朗日乘數(shù)和則變分不等式（2）式變?yōu)椋?/p>

用（9）式和（10）式替換（4）－（8）式，對(duì)于c＞0，則替換后的系統(tǒng)為非光滑方程：

因此，最大、最小函數(shù)就可以被理解為逐點(diǎn)。

其中，c＞0，可以得到無(wú)方向稀疏項(xiàng)的（p）的最優(yōu)性條件，就是令β＝0，則（12）－（14）式仍然保持不變，（15）式變?yōu)椋?/p>

已經(jīng)用于構(gòu)建一種算法，應(yīng)用于雙邊控制約束最優(yōu)控制問(wèn)題。

3 半光滑牛頓法

半光滑牛頓方法研究有限維函數(shù)空間，常用于最優(yōu)控制問(wèn)題。在確定條件下，局部超線性收斂甚至全局收斂性都可以被證明。

X，Y是Banach空間，D?X是開(kāi)的，F(xiàn)：D→Y是非線性映射。映射F是在開(kāi)集U?D中是廣義可微的，若存在一個(gè)映射g：U→L（X，Y），對(duì)每個(gè)x∈U，都有：

假設(shè)用牛頓迭代法發(fā)現(xiàn)半光滑映射F（x）＝0的一個(gè)根ˉx。則下面局部收斂性結(jié)果成立。

定理2［8］假設(shè)ˉx∈D是F（x）＝0的一個(gè)解，F(xiàn)在ˉx的一個(gè)開(kāi)領(lǐng)域U內(nèi)是半光滑的，且有廣義微分g。若對(duì)所有的x∈U，g（x）－1都存在｝是有界的，初始值x0∈U已知，則牛頓迭代xk＋1＝xk－g（xk）－1F（xk）是定義明確的，如果x0足夠的接近ˉx，則具有超線性收斂率。

用牛頓法求解（12）－（15）式的解，需要半光滑的逐點(diǎn)的最大和最小算子。它們的定義為

映射：

可以作為Fmax，F(xiàn)min在v處的廣義導(dǎo)數(shù)。

由（14）式可以推出ˉμ＝ˉp－αˉu，代入（15）式中，并令c：＝α－1，則有

由于c的選擇［9］，只有ˉp出現(xiàn)在逐點(diǎn)的最大和最小算子中，且ˉp具有更多的規(guī)律性。為了更加明確，引進(jìn)算子：

則ˉp：＝－A－*（A－1ˉu＋A－1f－yd）可以寫(xiě)成ˉp＝Sˉu＋h。考慮映射T：L6，2（Ω）→Ls（Ω），

定義Tu＝p＝Su＋h。嚴(yán)格的說(shuō)，Tu＝I（Su＋h），I表示H10（Ω）嵌入到Ls（Ω）中。可以知道T是定義明確的，且是連續(xù)的。由于它是仿射，所以它也是Frechet可微的。用Tˉu替換（18）式中的ˉp，定義）

緊湊的形式F（u）＝0表示最優(yōu)系統(tǒng)（12）－（15）式。討論函數(shù)F的廣義可微性，并用牛頓迭代法求解F（u）＝0，即為（p）問(wèn)題的解。

定理3如（20）式定義的函數(shù)F是廣義可微的，廣義導(dǎo)數(shù)為：

其中，J－，J＋是互不相交的集合：

證明因?yàn)榉派渌阕覶具有光滑性性質(zhì)，則對(duì)于每一個(gè)u∈L2（Ω）都有Tu∈Ls（Ω）（s＞2）。這表明映射

是光滑的，此外，F(xiàn)1的廣義導(dǎo)數(shù)為g1（u）（v）＝χA（Sv），χA代表集合A＝｛x∈Ω：Tu－β≥0在Ω上｝的特征函數(shù)。在（20）式中，最大和最小函數(shù)可以進(jìn)行類似的討論?？梢缘贸稣麄€(gè)函數(shù)F是廣義可微的合并特征函數(shù)，可以得到F的廣義導(dǎo)數(shù)為（21）式。證畢。

求解（p）問(wèn)題具體算法（半光滑牛頓算法）。（1）給出初始值u0∈L2（Ω）并令k：＝0。（2）除非某些停止準(zhǔn)則是滿意的，否則計(jì)算廣義導(dǎo)數(shù)g（uk），導(dǎo)出δuk，更新uk＋1：＝uk＋δuk，令k：＝k＋1，并回到第一步。

應(yīng)用定理2的半光滑牛頓算法的結(jié)果是收斂的。

定理4初始值u0足夠靠近（p）的解ˉu，則半光滑牛頓法迭代的uk在L2（Ω）中超線性收斂于ˉu。而且，相應(yīng)的狀態(tài)yk在H10（Ω）中超線性收斂于ˉy。

使用的半光滑牛頓方法服從有效集的設(shè)置。與半光滑牛頓方法有關(guān)的“雙重有效集”［10］和“非有效集策略”［11］已經(jīng)被廣泛的討論和應(yīng)用。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文從理論上分析了方向稀疏橢圓型最優(yōu)控制問(wèn)題，該問(wèn)題可以被基于廣義微分的半光滑牛頓法解決，且具有超線性收斂率。進(jìn)一步的研究可以用雙重有效集法。方向稀疏項(xiàng)為L(zhǎng)0，2類型的偏微分最優(yōu)控制問(wèn)題是非凸且高度非線性的，至今還有待解決。

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L1，2-Directional Sparsity of Elliptic Optimal Control Problem s

YAN Chunmei，ZHANGWei
（School of Administrative Science，Chengdu University of Technology，Chengdu 610059，China）

The elliptic optimal control problemswith L1，2-directional sparsity are introduced and the stripe sparsemode is analyzed.Emphatically，the first-order optimality conditions of the problem are studied from the theory angle.For solving the non-differentiable control problem，a semi-smooth Newton method based on the generalized differential is proposed，with which the problem can be stated and analyzed in the functional space and has local superlinear convergence rate.

directional sparsity；non-smooth regularization；semi-smooth Newton

O29

A

1673-1549（2015）01-0076-04

10．11863／j．suse．2015．01．18

2014-08-09

嚴(yán)春梅（1992-），女，四川宜賓人，碩士生，主要從事應(yīng)用泛函分析方面的研究，（E-mail）yanchunmei199202＠163.com