集合約束下的向量擬均衡問題

代乾文

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637009）

石鵬飛，何兆容，張焰杰

（成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，成都610059）

集合約束下的向量擬均衡問題

代乾文

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637009）

運(yùn)用像空間分析研究更為一般的約束條件下的向量擬均衡問題（記為VQEP）的解，并且通過擬相對內(nèi)部的概念定義擬相對弱向量擬均衡問題（記為qrw－VQEP），然后利用像的一種合理形式的擬內(nèi)部和廣義拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)定理表示VQEP和qrw－VQEP的線性分離，最后得出VQEP和qrw－VQEP的拉格朗日型最優(yōu)性條件。

向量擬均衡問題；線性分離；像空間分析；最優(yōu)性條件；擬相對內(nèi)部

引言

設(shè)W，Y，Z是Hausdorff局部凸向量空間，X?W且X是非空凸集。f：X×X→2Y，并且f（x，x）＝0對?x∈X都成立，G：X×X→2Z，C：X→2Y，｛C（x）：x∈X｝是Y中一族閉凸點(diǎn)錐，并且對于?x∈X都有qriC（x）≠?，并且D：X→2Z，｛D（x）：x∈X｝是Z中一族閉凸錐。

對于?x∈X，定義C0（x）＝C（x）＼｛0｝或qriC（x），并且定義K：X→2X為K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠?｝。

本文主要考慮的是更為一般的集合約束條件下的VQEP（qrw－VQEP）。

（i）VQEP：找到x∈K（x），使得

（ii）qrw－VQEP：找到x∈K（x），使得

如果G：X×X→Y，那么（1）式與（2）式將退化到參考文獻(xiàn)［1］的相應(yīng)問題，即：K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∈D（x）｝，有：

（~i）VQEP：找到x∈K（x），使得

（~ii）qr w－VQEP：找到x∈K（x），使得

像空間分析在研究向量變分不等式和向量優(yōu)化問題中是一種很有效的工具。它最先運(yùn)用于極值約束問題［2-3］。利用像空間的向量分離定理，Mastroeni［4］得到了一些相關(guān)的廣義性的結(jié)論，并且呈現(xiàn)了VQEP的解的向量鞍點(diǎn)優(yōu)化條件。近來，越來越多的數(shù)學(xué)工作者在向量優(yōu)化問題的研究中運(yùn)用像空間分析，然而，當(dāng)前像空間分析還較少用于向量擬均衡問題尤其是具有無窮維的像情況。Li和Guu將像空間分析運(yùn)用到VQEP（qrw－VQEP）［1］，并且研究了它的線性分離、鞍點(diǎn)定理以及解集的誤差界。本文將探索像空間分析用于更為一般的集合為約束條件下的VQEP（qrw－VQEP）的線性分離、鞍點(diǎn)定理及最優(yōu)性條件。

1 預(yù)備知識

設(shè)Rl表示l維Euclidean空間，其中l(wèi)是正整數(shù)。設(shè)W是Hausdorff局部凸拓?fù)湎蛄靠臻g，定義W*是W的對偶拓?fù)?，對于非空子集P?W，若tP?P對于?t≥0均成立，稱P為錐。當(dāng)P∩（－P）＝｛0｝，稱P為點(diǎn)錐。定義P的正極錐：

P*：＝｛x*∈W*：［x*，x］≥0，?x∈P｝，對于任意子集P?W且P＼｛0｝≠?，那么顯然可見P*＝（P＼｛0｝）*。

設(shè)M?W，則M的凸包、閉包、內(nèi)部和相對內(nèi)部分別定義為：conv M、cl M、int M和ri M。

設(shè)x∈M，則M在x處的正規(guī)錐定義為：

NM（x）：＝｛x*∈W*：［x*，y－x］≤0，?y∈M｝

定義在M上的支撐函數(shù)：

定義1［5］設(shè)M?W，W是Hausdorff局部凸向量拓?fù)淇臻g。

（1）如果clcone（M－x）＝W或者NM（x）＝｛0｝，則稱x∈M是M的擬內(nèi)部點(diǎn)，記為x∈qi M。

（2）如果clcone（M－x）是W的子空間，或者NM（x）是W*的子空間，則稱x∈M是M的擬相對內(nèi)部，記為qri M。

對于任何凸集M，有qi M?qri M，若int M≠?，則有int M＝qri M［5］和int M＝qi M［6］，此外，qri｛x｝＝｛x｝，?x∈W，若qi M≠?，則qi M＝qri M［7-8］。若W是有限維空間，則qi M＝int M［8］，qri M＝ri M［5］。

引理1設(shè)M?W，W是Hausdorff局部凸向量拓?fù)淇臻g，qri M≠?，則有：

■qri（tM）＝t qri M，?t∈R。

■t qri M＋（1－t）M?qri M，?t∈（0，1］，則qri M是凸集。

■clqri M＝cl M。

■如果M是凸錐，則qri M＋M＝qri M。

證明結(jié)論■，■，■，■參見文獻(xiàn)［1，5，7－9］。

引理2［5］設(shè)W是Hausdorff局部凸向量拓?fù)淇臻g，M?W，M是閉凸錐，且cl（M－M）＝W，則x∈qri M?x∈qi M?［λ*，x］＞0，?λ*∈M*＼｛0｝。

引理3［1］設(shè)W是Hausdorff局部凸向量拓?fù)淇臻g，設(shè)M是W的非空子集，且x0∈M，則有NM（x0）＝NconvM（x0）。

像空間分析在VQEP（qrw－VQEP）的一些性質(zhì)：

當(dāng)C0（x）＝C（x）＼｛0｝時(shí)，觀察x∈K（x）是（1）式的解時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)下式不成立：

C0（x）＝qri C（x）時(shí)，觀察x∈K（x）是（2）式的解時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)下式不成立：

定義映射：Ax：X→2Y×Z，

（1）當(dāng)C0（x）＝C（x）＼｛0｝時(shí)，定義集合：

（2）當(dāng)C0（x）＝qri C（x）時(shí)，定義集合：

集Kx稱為VQEP（或qrw－VQEP）的像，空間Y× Z稱為VQEP（或qrw－VQEP）的像空間，顯而易見它是無窮維。

性質(zhì)1若（5）式不成立，那么當(dāng)且僅當(dāng)

若（6）式不成立，那么當(dāng)且僅當(dāng)

那么x∈K（x）是（1）式的解當(dāng)且僅當(dāng)（8）式成立。x∈K（x）是（2）式的解當(dāng)且僅當(dāng)（9）式成立。

性質(zhì)2當(dāng)C0（x）分別定義為C（x）＼｛0｝與qri C（x）時(shí)，有cl HC（x）＼｛0｝＝cl HqriC（x）。

證明因?yàn)镃（x）是閉凸點(diǎn)錐，根據(jù)引理1的（Ⅲ），有clqri C（x）＝C（x），根據(jù)HC0（x）的定義有：

證畢。

由于一般情況下Kx非凸，通過cl HC0（x）介紹像Kx的一種合理形式εx：

性質(zhì)3（1）若（5）式不成立或者（1）式成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)有如下關(guān)系成立：

（2）若（6）式不成立或者（2）式成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)有如下關(guān)系成立：

證明（1）因?yàn)镃（x）是閉凸點(diǎn)錐，有cl（C（x）＼｛0｝）＝C（x），C（x）＼｛0｝＋C（x）＝C（x）＼｛0｝，所以有

根據(jù)

所以，如果（0，0）?Kx－HC（x）＼｛0｝?（0，0）?εx－HC（x）＼｛0｝，即有HC（x）＼｛0｝∩Kx＝??HC（x）＼｛0｝∩εx＝?。

（2）因?yàn)镃（x）是閉凸點(diǎn)錐，根據(jù)引理1的（Ⅲ），有clqri C（x）＝C（x），又根據(jù)引理1的（Ⅳ），有qri C（x）＋C（x）＝qri C（x），所以有

根據(jù)

所以，如果（0，0）?Kx－HqriC（x）?（0，0）?εx－HqriC（x），即有HqriC（x）∩Kx＝??HqriC（x）∩εx＝?。

證畢。

為了表示εx的凸性，需要如下定義：

定義2設(shè)P?Y是一個(gè)閉凸錐，映射F：X→，如果映射h滿足關(guān)系式：

則稱映射F在凸集X上是P－凸的，稱映射F在凸集X上是P－似凸當(dāng)且僅當(dāng)F（X）＋P是凸集。

顯然，如果映射F在凸集X上是P－凸的，那么它在凸集X上是P－似凸的。

性質(zhì)4設(shè)x∈X，那么集εx是凸集當(dāng)且僅當(dāng)在（7）式中映射－Ax在凸集X上是C（x）×D（x）似凸的。

證明參考文獻(xiàn)［1］可證。

2 線性分離和鞍點(diǎn)定理

定義3設(shè)x∈X，

（Ⅰ）如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且（α*，β*）≠（0，0），有

或者那么稱集HC0（x）和集Kx線性分離。

（Ⅱ）如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且α*≠0，有（13）式成立，稱集HC0（x）和集Kx正則線性分離。

（Ⅲ）如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且α*∈qri（C（x））*，有（13）式成立，稱集HC0（x）和集Kx強(qiáng)正則線性分離。

下面的分析將基于qri（C（x））*非空的情況下進(jìn)行。

性質(zhì)5設(shè)x∈X，則集合HC0（x）和集合Kx（正則，強(qiáng)正則）線性分離當(dāng)且僅當(dāng)集合HC0（x）和集合εx（正則，強(qiáng)正則）線性分離，即：如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且（α*，β*）≠（0，0）（α*≠0，α*∈qri（C（x））*），有［α*，u］＋［β*，v］≤0，?（u，v）∈εx。

證明因?yàn)镵x：＝Ax（X）?εx：＝Ax（X）－（C（x））*×（D（x））*，設(shè)集合HC0（x）和集合Kx（正則，強(qiáng)正則）線性分離，即存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且（α*，β*）≠（0，0）（α*≠0，α*∈qri（C（x））*），有［α*，u］＋［β*，v］≤0，?（u，v）∈Kx，那么

顯然等價(jià)于，

［α*，u］＋［β*，v］≤0，?（u，v）∈εx

定理1設(shè)x∈X，則集合HC0（x）和集合Kx線性分離當(dāng)且僅當(dāng)（0，0）?qiconvεx。

證明因?yàn)閤∈K（x）和f（x，x）＝0，顯然（0，0）∈εx，那么（0，0）∈convεx。

必要性：假設(shè)集合HC0（x）和集合Kx線性分離，即存（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*（α*，β*）≠（0，0），有［α*，u］＋［β*，v］≤0，?（u，v）∈Kx，那么，則根據(jù)正規(guī)錐的定義有：（α*，β*）∈Nεx（0，0）。那么根據(jù)引理3，得到（α*，β*）∈Nconvεx（0，0），所以，（0，0）?qiconvεx。

充分性：假設(shè)（0，0）?qiconvεx，根據(jù)引理3得到（0，0）?qiεx，則有（α*，β*）∈Nεx（0，0）且（α*，β*）≠（0，0），那么，

在（14）式中令（c，d）：＝（0，0），將得到（13）式。

證明（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*。因?yàn)閤∈K（x），有G（x，x）∩D（x）≠?。假設(shè)α*?（C（x））*，那么存在c0∈C（x）使得［α*，c0］＜0。又因?yàn)閒（x，x）＝0，設(shè)~g∈G（x，x），那么在（15）式中令（y，c，d）：＝（x，c0，~g），將得到：

（16）式與假設(shè)矛盾，所以α*∈（C（x））*。又由于D（x）是閉凸錐，取任意~d∈D（x），在（15）式中令（y，c，d）：＝（x，0，~g＋~d），得到：

根據(jù)（17）式得到：β*∈（D（x））*。綜上所述：集合H0（x）和集合Kx線性分離。

證畢。

設(shè)x∈K（x），根據(jù)式（13）式考慮廣義拉格朗日函數(shù)：

定義4如果如下不等式成立：

則稱點(diǎn)

（x，α*，β*）∈X×（C（x））*×（D（x））*為L（x；y，α，β）在X×（C（x））*×（D（x））*處的鞍點(diǎn)。

定理2設(shè)W＝Rn，Y＝Rm，Z＝Rs，X?W＝Rn。假設(shè)對?x∈X，y｜→G（x，y）在X上的－D（x）－凸的并且G（x，y）對于?x，y∈X是緊集，集合HC0（x）和集合Kx線性分離當(dāng)且僅當(dāng)存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且（α*，β*）≠（0，0）使得點(diǎn)（x，α*，β*）∈X×（C（x））*×（D（x））*為廣義拉格朗日函數(shù)L（x；y， α，β）在X×（C（x））*×（D（x））*處的鞍點(diǎn)。

證明必要性：假設(shè)集合HC0（x）和集合Kx線性分離，存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，（α*，β*）≠（0，0），使得（13）式成立，即［α*，f（x，y）］＋δG（x，y）（β*）≤0，?y∈X成立。因?yàn)閒（x，x）＝0，則在（13）式中令y：＝x得到：δG（x，x）（β*）≤0。又因?yàn)閥∈K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠?｝，根據(jù)β*∈（D（x））*，則［β*，d］≥0，?d∈D，那么當(dāng)y：＝x時(shí)，顯然G（x，x）∩D（x）≠?，則δG（x，x）（β*）≥0，所以得到δG（x，x）（β*）＝0。有：

此外，有：

綜上（x，α*，β*）是廣義拉格朗日函數(shù)L（x；y，α，β）在X×（C（x））*×（D（x））*的鞍點(diǎn)。

充分性：設(shè)（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且（α*，β*）≠（0，0），使得（x，α*，β*）為廣義拉格朗日函數(shù)L（x；y，α，β）在X×（C（x））*×D*的鞍點(diǎn)，即對?（y，α，β）∈X×（C（x））*×D*有

在（18）式中令β：＝0得到：δG（x，x）（β*）≤0。

x∈K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠?｝的證明與文獻(xiàn)［10］中證明類似。

假設(shè)G（x，y）∩D（x）＝?，有（G（x，y）－D（x））∩D（x）＝?，如果（G（x，y）－D（x））∩D（x）≠?，且D（x）是閉凸錐，那么存在ˉg∈G（x，y）和ˉd∈D（x）使得ˉg∈D（x）＋ˉd?D（x），顯然與G（x，y）∩D（x）＝?矛盾，因?yàn)镚（x，y）是－D（x）－凸的，那么G（x，y）－D（x）是凸集，又因?yàn)镚（x，y）是緊集的且D（x）是閉的，所以G（x，y）－D（x）是閉的，因?yàn)镈（x）是閉凸錐，有

因?yàn)椋℅（x，y）－D（x））∩D（x）＝?，有

根據(jù)參考文獻(xiàn)［11］，存在分離超平面使得G（x，y）－D（x）與D（x）強(qiáng)分離，即存在a∈Rs且a≠0，有

假設(shè)a?（D（x））*，那么存在d0∈D（x）使得［a，d0］＜0，由于D（x）是閉凸錐，那么td0∈D（x）對?t＞0成立。顯然，當(dāng)t→＋∞，t［a，d0］→－∞，與（19）式矛盾，既有a∈（D（x））*。

因?yàn)閍∈（D（x））*，有mind∈D（x）［a，d］＝0，根據(jù)參考文獻(xiàn)［11］，有那么D（x），所以有

因?yàn)椋―（x））*是錐，那么ta∈（D（x））*對?t＞0成立。又因?yàn)棣腉（x，y）（a）＜0，那么當(dāng)t→＋∞時(shí)－δG（x，y）（ta）＝－tδG（x，y）（a）→＋∞，顯然與（18）式中第一個(gè)不等式矛盾，所以G（x，x）∩D（x）≠?，即有x∈K（x）。所以x∈K（x）時(shí)，δG（x，x）（β*）≥0，即得到δG（x，x）（β*）＝0，那么在（18）式得到

即集HC0（x）和集Kx線性分離。

證畢。

3 最優(yōu)性條件

定理3設(shè)x∈X，假設(shè)intC（x）≠?，intD（x）≠?，并且在（7）式所定義的映射－Ax在X上是C（x）× D（x）－似凸。

（Ⅰ）當(dāng)C0（x）＝C（x）＼｛0｝時(shí)，如果x是VQEP的一個(gè)解，那么集HC0（x）和集Kx線性分離。

（Ⅱ）當(dāng)C0（x）＝qri C（x）時(shí)，如果x是qrw－VQEP的一個(gè)解，那么集HC0（x）和集Kx線性分離。

證明（Ⅰ）與（Ⅱ）的證明類似，在此證明（Ⅱ），（Ⅰ）可類似證明。因?yàn)閤∈X且在（7）式所定義的映射－Ax在X上是C（x）×D（x）－似凸，所以根據(jù)性質(zhì)4可得εx是凸集，用這個(gè)結(jié)論可證（Ⅱ）。

如果x是qrw－VQEP的一個(gè)解，那么x∈K（x），（0，0）∈εx，根據(jù)性質(zhì)2有HqriC（x）∩εx＝?，因?yàn)閕nt C（x）≠?，則有int C（x）＝qri C（x），那么HintC（x）＝HqriC（x），所以有HintC（x）∩εx＝?，因?yàn)閕nt C（x）≠?，int D（x）≠?，有

int HqriC（x）＝int（qri C（x）×D（x））＝

intqri C（x）×int D（x）≠?

很顯然int HqriC（x）是凸集，因?yàn)閕nt HqriC（x）?HintC（x），并且HintC（x）∩εx＝?，所以int HqriC（x）∩εx＝?。又由于εx與int HqriC（x）均是凸集，所以HqriC（x）與εx線性分離。

證畢。

定理4設(shè)x∈K（x）。

（Ⅰ）假設(shè)cl（C（x）－C（x））：＝Y(jié)。如果（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且α*∈qri（C（x））*，使得（13）式成立，即HC0（x）與Kx強(qiáng)正則線性分離，那么x是VQEP的一個(gè)解。

（Ⅱ）假設(shè)cl（C（x）－C（x））：＝Y(jié)。如果（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且α*≠0，使得（13）式成立，即HC0（x）與Kx正則線性分離，那么x是qrw－VQEP的一個(gè)解。

證明（Ⅰ）由于x∈K（x），假設(shè)x不是VQEP的解，那么對于y∈X，使得f（x，y）∈C0（x），并且G（x，y）∩D（x）≠?，因?yàn)镈（x）是Hausdorff局部凸向量空間Z中的閉凸錐，有D（x）＝（（D（x））*）*，因?yàn)椋é?，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且α*∈qri（C（x））*，根據(jù)引理2，有［α*，f（x，y）］≥0，所以［α*，f（x，y）］＋δG（x，y）（β*）＞0與（13）式矛盾，則x是VQEP的解。

（Ⅱ）的證明過程類似（Ⅰ）。

在所得結(jié)論中，如果G：X×X→Y，那么結(jié)論將退化到（3）式與（4）式的情形下的相關(guān)結(jié)論。

推論1若G：X×X→Y，那么有K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∈D（x）｝。即本文結(jié)論退化到參考文獻(xiàn)［1］的相關(guān)線性分離、鞍點(diǎn)定理以及最優(yōu)性條件的結(jié)論。

文獻(xiàn)［1］的研究是建立在G：X×X→Y，即K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∈D（x）｝的條件下，而本文是在更為一般的集合條件K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠?｝下進(jìn)行研究，進(jìn)而將相關(guān)的線性分離、鞍點(diǎn)定理以及最優(yōu)性條件的應(yīng)用范圍擴(kuò)大化。

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石鵬飛，何兆容，張焰杰

（成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，成都610059）

摘 要：為了更好地研究次亞緊空間及其他拓?fù)淇臻g的覆蓋性質(zhì)，在與幾乎基亞緊空間結(jié)合后定義了幾乎基次亞緊空間，研究了它的遺傳性，并獲得結(jié)果：（1）幾乎基次亞緊空間的閉子空間是幾乎基次亞

關(guān)鍵詞：閉子空間；次亞緊空間；－仿緊空間

Vector Quasi-equilibrium Problem s w ith Sets Constraints

DAIQianwen
（School of Mathematics and Information，China West Normal University，Nanchong 637009，China）

The solutions of vector quasi-equilibrium problems（for short，VQEP）under general constraints conditions are studied byusing the image space analysis.The quasi relatively weak VQEP（for short，qrw-VQEP）are defined by introducing the notion of the quasi relative interior.Next，the linear separation for VQEP and qrw-VQEP are characterized by utilizing the quasi interior of a regularization of the image and the saddle points of generalized Lagrangian functions.Finally，the Lagrangian type optimality conditions for VQEP and qrw-VQEP are obtained.

vector quasi-equilibrium problems；linear separation；image space analysis；optimality conditions；quasi relative interior

O221

A

1673-1549（2015）01-0092-06

10．11863／j．suse．2015．01．22

O189.11文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

編號：1673-1549（2015）01-0098-03 DOI：10．11863／j．suse．2015．01．23

2014-10-12

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11371015）；教育部科學(xué)技術(shù)重點(diǎn)項(xiàng)目（211163）；四川省青年科技基金項(xiàng)目（2012JQ0035）

代乾文（1989-），男，四川成都人，碩士生，主要從事優(yōu)化理論及應(yīng)用方面的研究，（E-mail）544486461＠qq.com

收稿日期：2014-10-25

基金項(xiàng)目：安徽省高等學(xué)校省級優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目（2010SQRL158）

石鵬飛（1990-），男，甘肅武都人，碩士生，主要從事拓?fù)鋵W(xué)方面的研究，（E-mail）1160949117＠qq.com