基于橢球膨脹法限制長度變形的認(rèn)識和實踐

段志強(qiáng)，劉 平，邢光成

（1.湖北省測繪成果檔案館，湖北 武漢 430074）

基于橢球膨脹法限制長度變形的認(rèn)識和實踐

段志強(qiáng)1，劉 平1，邢光成1

（1.湖北省測繪成果檔案館，湖北 武漢 430074）

根據(jù)長度變形及用橢球膨脹法建立獨立坐標(biāo)系限制變形的基本理論，簡要說明了引起長度變形的因素，推導(dǎo)了橢球膨脹法的計算公式，并編寫程序?qū)崿F(xiàn)了橢球膨脹法模型算法。

長度變形；橢球膨脹法；投影面；中央子午線

由原始測量數(shù)據(jù)經(jīng)處理到最終獲得平面上點的坐標(biāo)，這一過程實際上要經(jīng)過由自然地球表面獲得的測量原始數(shù)據(jù)歸化到參考橢球面上，然后再經(jīng)過某種投影轉(zhuǎn)化到平面上。由地球表面到參考橢球面的計算稱為高程歸化，將經(jīng)過高程歸化的測量元素依據(jù)一定的投影方式投影到平面上，稱為投影轉(zhuǎn)化。這2個過程都會使原測量元素變形。

1 引起長度變形的主要因素及限制辦法

引起變形的因素主要有長度邊高出橢球面的大地高和偏離中央子午線這2項。在一般城市測量或工程測量中，要求地面水平邊長在經(jīng)過高程歸化和高斯投影改化2項計算后，每km長度變形不超過2.5 cm （精密工程測量要求更嚴(yán)格），也就是要求控制點成果間按坐標(biāo)反算的長度與實地直接測量得到的長度差值盡可能小。在使用這些控制點的數(shù)據(jù)時可以不進(jìn)行任何化算，就可滿足城市或其他工程的大比例尺測圖和施工放樣要求。

限制投影變形的方法有：采用改變投影面的方法（抵償投影面的高斯正形投影）、移動中央子午線方法（任意帶高斯正形投影）以及這2種方法同時使用，即具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影。當(dāng)城市或工程東西跨度過大，上述方法都不能達(dá)到目的時，就要考慮將城市或工程分為2個或2個以上投影帶建立多個獨立坐標(biāo)系來解決投影變形問題。

1.1 從自然地球表面到參考橢球面產(chǎn)生的長度變形

地面點測量的基準(zhǔn)面是大地水準(zhǔn)面，其基準(zhǔn)線是對應(yīng)點的垂線。而參考橢球面是地面點計算的基準(zhǔn)面，其對應(yīng)點的法線是計算的基準(zhǔn)線。這是因為大地水準(zhǔn)面與參考橢球面之間存在大地水準(zhǔn)面差距Δ N，各地面點的垂線與其法線存在垂線偏差u。由于垂線偏差的存在，使得垂線和法線不重合，經(jīng)過某線段的平均水準(zhǔn)面也就不平行于橢球面。從理論上講，在長度歸算過程中應(yīng)首先消除這種影響。

以下討論都假定已經(jīng)消除了垂線偏差對長度歸算的影響或者說忽略這種影響，而僅僅考慮地面高程對長度歸算的影響。與垂線偏差對長度歸算的影響相比，地面高程對長度歸算的影響是顯著的。

地面一段水平長度為S的邊，歸算至國家規(guī)定的橢球面上要加如下改正（取一次項）：

歸算邊的相對變形為：

1.2 從橢球面采用高斯投影到平面的長度變形

將經(jīng)過高程歸化后的橢球面上的長度量，采用高斯投影轉(zhuǎn)換到平面上，其長度變形為：

其相對變形為：

式中， S0=S+Δ S1，即S0為實測邊長S歸算到參考橢球體面上的邊長；ym為歸算邊兩端點橫坐標(biāo)“自然值”的平均值為參考橢球面平均曲率半徑,即經(jīng)過曲面任意一點所有可能方向上的法截線曲率半徑RA的算術(shù)平均值（M為子午圈曲率半徑，N為卯酉圈曲率半徑）。由式（3）可以看出，Δ S2的值總為正，即橢球面上長度投影至高斯平面上總是增大的。Δ S2值與成正比，說明離中央子午線愈遠(yuǎn)變形愈大。

2 橢球膨脹法的實現(xiàn)

通過采用改變投影面、移動中央子午線以及同時使用它們可以達(dá)到限制長度變形的目的。在工程實踐中是通過一定的測量計算方法，建立區(qū)域相對獨立坐標(biāo)系的過程來具體實現(xiàn)的。例如，如果僅移動中央子午線的方法能達(dá)到限制變形到規(guī)定值，就簡單進(jìn)行高斯投影換帶計算即可。

2.1 采用抬高投影面的方法建立獨立坐標(biāo)系

高程歸化改正長度變形的基本原理是，通過抬高投影面(膨脹、平移、變形)使得點位的大地高減小，從而達(dá)到減小變形的目的。

所謂“抬高投影面”實際上是改變橢球參數(shù)，然后在新的橢球參數(shù)下重新進(jìn)行有關(guān)投影計算。這一方法統(tǒng)稱為“橢球變換法”。 實現(xiàn)抬高投影面一般有2種選擇：橢球變換法和比例縮放法。一般情況下，比例縮放法只適合很小的區(qū)域，且理論上不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但計算模型簡單容易實現(xiàn)；橢球變換法可適合較大區(qū)域，理論上較嚴(yán)謹(jǐn)，但計算模型相對復(fù)雜，實現(xiàn)相對繁瑣。橢球變換法又分為橢球膨脹法、橢球平移法和橢球變形法3種。

2.2 橢球膨脹法實現(xiàn)獨立坐標(biāo)系的建立

在橢球變換法中，橢球膨脹法是理論較為嚴(yán)謹(jǐn)且相對容易實現(xiàn)的一種方法，因而被普遍應(yīng)用到獨立坐標(biāo)系的建立。

如圖1所示，設(shè)原橢球為E0，對應(yīng)的長半軸為a，短半軸為b，扁率為f。

圖1 橢球膨脹法示意圖

沿地面上一點P0的法線方向?qū)⒃瓩E球面E0抬高到由dh所定義的投影面高度，即得到E1橢球，按橢球膨脹法定義有，膨脹后橢球中心位置不變（dXo=dYo=dZo=0），坐標(biāo)軸指向不變（εx=εy=εz=0），尺度不變（dk=0），扁率不變（df=0），第一偏心率不變（de=0），僅長半軸發(fā)生了改變（da≠0）。當(dāng)然，在長半軸發(fā)生改變的情況下，要使得扁率不變，短半軸一定發(fā)生改變（db≠0），并且改變后還滿足條件：

設(shè)改變后的橢球長半軸為a1，短半軸為b1，扁率為f1，則橢球膨脹后有a1=a+da。又根據(jù)扁率的定義有原橢球E0的扁率原橢球經(jīng)過膨脹后形成的橢球E1的扁率因扁率不變，即f1=f，則：

因分母（a+da）a不等于0，所以有：

因上式中b·da不等于0，所以有b1不等于b。設(shè)（b1-b）=db（短半軸的膨脹量），則得

2.3 橢球膨脹法建立獨立坐標(biāo)系的方法及程序?qū)崿F(xiàn)

根據(jù)橢球膨脹法原理，確定長半軸改變量da是關(guān)鍵，目前主要有以下3種方法確定長半軸改變量。

1）高程直接補償法。即投影面的大地高變化量dh直接表現(xiàn)為對橢球長半徑的變化量的影響。如將原標(biāo)準(zhǔn)參考橢球面大地高視為0 m，抬高dh后新的橢球面平均大地高程用Hm表示。設(shè)長半軸變化量為da，則：

2）法線方向增長法。即投影面的平均大地高Hm表現(xiàn)為對卯酉圈曲率半徑N 的影響，即dN=dh=Hm（dN為測區(qū)卯酉圈曲率半徑變化量）。設(shè)投影面基準(zhǔn)點處的緯度為Bm（因基準(zhǔn)點一般設(shè)在測區(qū)平均緯度某點處，所以Bm實際上是測區(qū)平均緯度）。

根據(jù)橢球上元素間的關(guān)系式有：

3）平均曲率半徑法。投影面的大地高Hm表現(xiàn)為對橢球平均曲率半徑的影響。即在E0橢球上指定一個位置基準(zhǔn)點P0，其緯度為B0，基準(zhǔn)點上參考橢球的平均曲率半徑的變動量設(shè)為Hm，R0為參考橢球E0的基準(zhǔn)點處平均曲率半徑。設(shè)新橢球E1基準(zhǔn)點處的平均曲率半徑為Rm，則Rm=R0+Hm。再設(shè)新橢球E1基準(zhǔn)點處的平均緯度為Bm，則可得到：

式（8）推導(dǎo)過程如下，首先列出橢球面上計算的基本公式。

子午圈曲率半徑：

卯酉圈曲率半徑：

平均曲率半徑：

W稱為第一輔助緯度函數(shù)；V稱為第二輔助緯度函數(shù)，e'2為第二偏心率。

設(shè)E0基準(zhǔn)點處曲率半徑為R0，依據(jù)平均曲率半徑基本公式，用確定投影面基準(zhǔn)點的緯度B0代替上述B，則有：

對于新橢球E1基準(zhǔn)點處有Rm=R0+Hm，于是對于新橢球E1基準(zhǔn)點處，再套用上述關(guān)于a的表達(dá)式得：

式中，

1

依據(jù)橢球膨脹法理論定義有dXo=dYo=dZo=0，εx=εy=εz=0，dk=0，df=0，da≠0。據(jù)此再根據(jù)廣義大地坐標(biāo)微分公式，推導(dǎo)出橢球變化后各點大地坐標(biāo)的變化量：

式中，

則點在新橢球中的大地坐標(biāo)表示為：

根據(jù)計算得到的各點在新橢球中的大地坐標(biāo)，再采用新的橢球參數(shù)進(jìn)行高斯投影正算，即可實現(xiàn)國家標(biāo)準(zhǔn)帶坐標(biāo)系到區(qū)域相對獨立坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

2.4 實例驗證

基于VB語言，依據(jù)以上數(shù)學(xué)模型，用橢球膨脹法通過改變投影面和移動中央子午線，實現(xiàn)了將國家標(biāo)準(zhǔn)帶坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到區(qū)域相對獨立坐標(biāo)系中，并通過多項工程數(shù)據(jù)證實計算完全正確。圖2為程序界面圖，表1為4個點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算例。計算示例引用文獻(xiàn)[1]中的數(shù)據(jù)，其原參考橢球為IAG75（1980西安坐標(biāo)系橢球），原中央子午線99°，基準(zhǔn)點經(jīng)度101°16'32"（作為新中央子午線）、緯度26°37'（作為測區(qū)平均緯度），正常高1 200 m，高程異常-1.8 m。

圖2 程序界面示意圖

表1 4個點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算例

3 結(jié) 語

采用不同的“橢球變換法”計算出的獨立坐標(biāo)值會有一定差異，即使采用同一種“橢球變換法”（如橢球膨脹法）。如果在確定長半軸改變量上采用了不同模型，計算出的獨立坐標(biāo)也會有差異，但它們各自系統(tǒng)內(nèi)相對關(guān)系都是正確的。為避免出現(xiàn)獨立坐標(biāo)計算值不一致的情況，一個城市或一個工程應(yīng)該采用一種算法。如果某些軟件沒有要求用戶輸入測區(qū)平均緯度，則一定是用原始點坐標(biāo)反求出的各點緯度取平均值來作為測區(qū)平均緯度，這樣會因為給出點的緯度分布不同而計算出不同的平均緯度，對最終轉(zhuǎn)換結(jié)果產(chǎn)生一定影響。

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P226

B

1672-4623（2015）01-0128-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.01.042

段志強(qiáng)，高級工程師，主要從事地理信息系統(tǒng)及地圖制圖等方面的研究。

2014-02-25。