換面法在直線投影中的應(yīng)用

游代喬

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 遂寧629000）

換面法，是保持空間幾何元素位置不動(dòng)，用新的投影面代替原來的投影面，使空間幾何元素在新投影面中處于有利解題的位置的方法。使用換面法的要點(diǎn)就是確定要構(gòu)造的新投影所處的投影面。

1 新投影面選擇原則

如圖1所示，鉛垂面△ABC與V面和H面均不平行，其投影都不反映真實(shí)性。為了求出△ABC的實(shí)形，取一平行于△ABC且垂直于H面的V1面代替V面，則新的V1面和原H面構(gòu)成一個(gè)新的投影體系V1/H。此時(shí)△ABC在V1/H中V1的投影△a1b1’c1’具有真實(shí)性，反映三角形的實(shí)形。

圖1 投影面選擇原則圖

需要注意的是，新投影面的選取不是任意的，首先應(yīng)使原幾何元素在新投影面上的投影有利于解題，其次，新投影面體系必須構(gòu)成直角坐標(biāo)系，否則將違背正投影的投影原理。

2 換面法變換直線投影的基本原理

在求直線的投影的時(shí)候，我們一般是求直線上兩個(gè)點(diǎn)的投影，然后同面投影相連得到直線的投影。在換面法的應(yīng)用中，我們可以采用相同的辦法，把直線的投影轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)點(diǎn)的投影。

如圖2所示，點(diǎn)K在V/H體系中投影分別為k’和k。若使H面不變，用新投影面V1替換原投影面V，由新投影面選擇原則可知V1⊥H，則V1/H為新投影面體系，V1與H面的交線O1X1為新投影軸。將空間點(diǎn)K向新投影面V1投影，得到點(diǎn)K在V1面的正投影k1’。在正投影圖中將V1面繞O1X1軸旋轉(zhuǎn)到與H面重合，得到新的兩面投影圖，其中，kk1’必定垂直于O1X1。又因?yàn)樾屡f投影體系具有公共的水平投影面H，因此空間點(diǎn)K在這兩個(gè)體系中到H面的距離相等，即k’k=k1’kx1=Kk。

圖2 換面法變換直線投影基本原理圖

3 換面法在直線的投影中的應(yīng)用

求兩相錯(cuò)直線AB、CD之間的最短距離。

分析：求兩交錯(cuò)直線間的最短距離實(shí)質(zhì)上是求兩直線公垂線長(zhǎng)度。欲求公垂線長(zhǎng)度，則應(yīng)先做出公垂線具有真實(shí)性的投影。由此可知，若把兩已知直線的任意一條用換面法的方法變?yōu)槟惩队懊娲怪本€，則公垂線必為投影面平行線，由此可得其長(zhǎng)度。

做法如下：（如圖3所示）

（1）經(jīng)兩次投影變換，直線AB變成V1/H2體系中的投影面垂直線a2b2，CD變成c2d2。

（2）由直角定理，過點(diǎn)a2做c2d2垂線m2n2，m2n2即為兩直線公垂線在H2的投影，其長(zhǎng)度就是兩直線間的最短距離。

圖3 換面法應(yīng)用實(shí)例圖

上例只是換面法的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例，在機(jī)械制圖中，還有許多常規(guī)方法無法解決的問題，這時(shí)要靈活運(yùn)用換面法的相關(guān)知識(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)男峦队懊孀鐾队白儞Q，達(dá)到解決問題的目的。

[1]佟獻(xiàn)英,韓寶玲,楊薇.工程制圖[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2012.