共軛梁比擬方法及在變截面梁計(jì)算中的應(yīng)用

王贊芝，王曉，余佳代，鄧年春，馬瑞彥，江林雁，王淼，劉娥珍

(1.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西柳州545006;2.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，南寧530004;3.河北工程技術(shù)學(xué)院，石家莊050091;4.中煤邯鄲設(shè)計(jì)工程有限責(zé)任公司，河北邯鄲056031;5.柳州鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣西柳州545616;6.廣西科技師范學(xué)院，廣西來(lái)賓546199)

變換法與比擬法是常用的解決數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的方法。變換法中最簡(jiǎn)單、最熟知的方法是對(duì)數(shù)的運(yùn)用，它可將數(shù)的乘除運(yùn)算變換為加減運(yùn)算，從而減輕了計(jì)算工作量。之后出現(xiàn)的復(fù)變函數(shù)的保角變換方法、微積分方程的Fourier變換、Laplace變換、Hankel變換解法等，都能夠?qū)⒃瓉?lái)不能解決的問(wèn)題變得可解，原來(lái)處理起來(lái)很復(fù)雜的問(wèn)題處理起來(lái)比較簡(jiǎn)單。比擬法常見(jiàn)的有水電比擬(將液體的流體力學(xué)問(wèn)題用電磁學(xué)方法解決)、氣液比擬(將液體的力學(xué)問(wèn)題用氣體實(shí)驗(yàn)方法解決)[1]、塑性力學(xué)扭轉(zhuǎn)比擬(將理想塑性材料的等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題用沙堆比擬)[2]。本文介紹的是梁(真實(shí)的梁)與它的共軛梁(虛擬的梁)的比擬。共軛，本意指按一定的規(guī)律相配的一對(duì)，有對(duì)稱(chēng)的含義，如共軛復(fù)數(shù)，它們關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。可以看出，通過(guò)共軛梁這種比擬，能將求實(shí)體梁撓度的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求虛擬梁的彎矩問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上將連續(xù)分布的虛荷載，按照靜力等效的原則，轉(zhuǎn)換成集中作用的虛荷載，這樣，計(jì)算虛梁的內(nèi)力就變得簡(jiǎn)單并且可以程式化，在計(jì)算復(fù)雜的變截面梁時(shí)該方法具有一定的優(yōu)越性。

1 共軛梁比擬方法

1.1 實(shí)梁與虛梁微分方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系

一般情況下，梁彎曲的微分方程為[3]

當(dāng)I(x)不是常數(shù)時(shí)，方程(1)是變系數(shù)四階常微分方程，因此只有特殊情況才能求出解析解[4]，一般采用近似的數(shù)值解法[5－8]。

對(duì)于變截面梁，盡管方程(1)是變系數(shù)的，但彎矩、剪力和荷載集度之間仍存在如下的關(guān)系:

另一方面，梁的變形和內(nèi)力之間的關(guān)系為

比較式(2)與式(3)，單純從數(shù)學(xué)的形式上看，兩組微分方程是完全相似的，因而求解的步驟和方法也完全相同。于是可以設(shè)想，如果將原來(lái)實(shí)際梁上所產(chǎn)生的當(dāng)作荷載集度，并用q*表示之:

將它作用到某個(gè)虛設(shè)梁上，那么，根據(jù)式(2)可得

式中的M*、Q*是虛梁的虛彎矩和虛剪力。比較式(3)和式(5)可以看出，虛梁上的虛彎矩和虛剪力分別就是實(shí)梁上的撓度和轉(zhuǎn)角。通過(guò)這種比擬手段，計(jì)算真實(shí)梁的撓度和轉(zhuǎn)角可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算虛梁的彎矩和剪力，這就是共軛梁比擬方法，并將虛梁稱(chēng)為真實(shí)梁的共軛梁。

1.2 實(shí)梁與虛梁邊界條件的對(duì)應(yīng)關(guān)系

實(shí)梁的邊界，一般有固定端、自由端、鉸支端、中間鉸支座、中間鉸、彈性支座[3]等幾種情況，分別給出這些實(shí)梁的邊界條件所對(duì)應(yīng)的虛梁的邊界條件。

①固定端

由式(2)、式(3)的對(duì)比可以看出，實(shí)梁固定端的yA=0對(duì)應(yīng)虛梁=0，實(shí)梁的θA=0對(duì)應(yīng)虛梁的=0，因此實(shí)梁的固定端對(duì)應(yīng)虛梁的自由端，如圖1所示。

圖1 實(shí)梁的固定端對(duì)應(yīng)虛梁的自由端Fig.1 Fixed end of real beam and counterpart free end of virtual beam

②自由端

按與上述相似的理由，實(shí)梁的yA≠0和θA≠0對(duì)應(yīng)于虛梁的≠0和≠0，因此實(shí)梁的自由端對(duì)應(yīng)于虛梁的固定端，如圖2所示。

圖2 實(shí)梁的自由端對(duì)應(yīng)虛梁的固定端Fig.2 Free end of real beam and counterpart fixed end of virtual beam

③鉸支端

可以容易地看出，實(shí)梁的鉸支端對(duì)應(yīng)于虛梁的鉸支端，這使得運(yùn)用共軛梁法分析簡(jiǎn)支梁時(shí)不需要對(duì)邊界條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而帶來(lái)一定的便利，如圖3所示。

圖3 實(shí)梁的鉸支座對(duì)應(yīng)虛梁的鉸支座Fig.3 Joint end of real beam and counterpart joint end of virtual beam

④中間鉸支座

在中間鉸支座A處，yA=0，θA≠0，θA左=θA右;對(duì)應(yīng)的虛梁的條件是=0≠0，QA左=QA右。這樣，實(shí)梁的中間鉸支座對(duì)應(yīng)在A點(diǎn)撓度不受約束的“中間鉸”，如圖4所示。

圖4 實(shí)梁的中間鉸支座對(duì)應(yīng)虛梁的中間鉸Fig.4 Intermediate joint support of real beam and counterpart intermediate joint of virtual beam

⑤中間鉸(沒(méi)有支座)

對(duì)于中間鉸，實(shí)梁的yA左=yA右和θA左≠θA右，對(duì)應(yīng)虛梁的，所以實(shí)梁的中間鉸對(duì)應(yīng)虛梁的“中間鉸支座”，如圖5所示。

圖5 實(shí)梁的中間鉸對(duì)應(yīng)虛梁的中間鉸支座Fig.5 Intermediate joint of real beam and counterpart intermediate joint support of virtual beam

從以上分析可以看到，在分析實(shí)梁的自由端時(shí)，并沒(méi)有利用實(shí)梁的MA=0，QA=0;在分析中間鉸時(shí)，也沒(méi)有利用實(shí)梁的MA=0，QA=0和QA左≠Q(mào)A右。這是因?yàn)樵谶\(yùn)用共軛梁法求解實(shí)梁?jiǎn)栴}時(shí)強(qiáng)調(diào)的是用求虛梁內(nèi)力的方法來(lái)求實(shí)梁的位移，因此在此都是將實(shí)梁的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為虛梁的力的邊界條件。

1.3 運(yùn)用共軛梁方法的算例

求解圖6a所示變截面簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的撓度[9]，分為如下幾個(gè)步驟:

①作實(shí)梁的剪力圖(圖6b)、彎矩圖(圖6c);

②在各截面將實(shí)梁彎矩除以實(shí)梁的抗彎剛度，如圖6d，這也就是虛梁的虛荷載分布圖，是虛梁的外力圖;

圖6 共軛梁法示例Fig.6 Example for conjugate beam method

③根據(jù)上面對(duì)實(shí)梁和虛梁邊界條件對(duì)應(yīng)關(guān)系的討論，實(shí)梁兩端簡(jiǎn)支，對(duì)應(yīng)的虛梁也是兩端簡(jiǎn)支，這樣圖6d中的虛梁也是簡(jiǎn)支梁;

⑤計(jì)算虛梁跨中虛彎矩

虛梁的虛彎矩M*對(duì)應(yīng)實(shí)梁的撓度，因而實(shí)梁跨中撓度

1.4 共軛梁法解變截面梁?jiǎn)栴}的步驟

由算例可以看出，使用共軛梁法計(jì)算梁的變形問(wèn)題包括如下一些步驟:①根據(jù)實(shí)梁所受外力，畫(huà)出實(shí)梁的剪力圖、彎矩圖;②將實(shí)梁各截面的彎矩除以相應(yīng)位置處該梁的剛度，得到虛梁的虛荷載;③根據(jù)上文實(shí)梁與虛梁邊界條件的對(duì)應(yīng)關(guān)系，確定虛梁的邊界條件;④計(jì)算出虛梁的支座反力;⑤計(jì)算出虛梁的虛剪力、虛彎矩。

虛梁在端部的虛剪力就是實(shí)梁在端部的轉(zhuǎn)角，虛梁在跨中的虛彎矩就是實(shí)梁在跨中的撓度。

2 共軛梁法的應(yīng)用

2.1 共軛梁方法的本質(zhì)

在差分法中，雖然可以處理變截面梁與階梯軸等，但差分法處理階梯軸是近似的，因?yàn)槿绻麑⒉罘址ǖ墓?jié)點(diǎn)正好放在截面的突變處，則無(wú)法決定在節(jié)點(diǎn)處到底取梁左側(cè)的剛度還是取右側(cè)的剛度，因此即使可以通過(guò)增加分段個(gè)數(shù)來(lái)提高差分法的精度，用差分法處理變截面梁本身仍然是近似的。

共軛梁法在實(shí)質(zhì)上與直接求解方程(1)是一樣的。直接求解方程(1)時(shí)，先積分方程(1)兩次，得到方程

將上式變形為式(3)的第1式，再對(duì)式(3)的第1式積分兩次，即得梁的撓度表達(dá)式y(tǒng)(x)。而在共軛梁法中，也是先求出M(x)，然后形式上把當(dāng)成虛荷載q*(x)，再對(duì)q*(x)積分兩次。

也正因?yàn)楣曹椓悍ū旧硎蔷_的，使得共軛梁法沒(méi)有簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，因此也沒(méi)有減少計(jì)算工作量。有時(shí)盡管q(x)很簡(jiǎn)單，但q*(x)也很復(fù)雜，所以采用共軛梁方法本身只是轉(zhuǎn)變了解題觀念，其本身并不能給計(jì)算帶來(lái)方便。

2.2 等效集中虛荷載

共軛梁法本身沒(méi)有給計(jì)算帶來(lái)便利，主要是因?yàn)樘摵奢dq*(x)較復(fù)雜，直接對(duì)q*(x)進(jìn)行兩次積分的工作量很大，要是進(jìn)行實(shí)際工程中處理大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算，將顯得復(fù)雜而凌亂。如果能按一定的原則，將q*(x)等效為集中力，則可免除復(fù)雜的積分計(jì)算，從而顯著減少計(jì)算工作量，提高計(jì)算效率。

按照這一思路對(duì)共軛梁法進(jìn)行改進(jìn):q*(x)一般呈曲線分布，將梁分為n個(gè)節(jié)段、n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)段長(zhǎng)度分別為λ1、λ2、…、λn，將連續(xù)分布于全梁的虛荷載q*(x)轉(zhuǎn)換成僅存在于節(jié)點(diǎn)的集中荷載，有些類(lèi)似于有限元方法中對(duì)節(jié)間荷載的處理，也類(lèi)似于桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)桁架節(jié)間荷載的處理[10]。

如圖7所示，設(shè)分布虛荷載q*(x)在節(jié)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)上的值分別為a、b、c，則在兩個(gè)相鄰節(jié)間的q*(x)可用下列二次插值函數(shù)q2(x)來(lái)擬合:

將x=0、x=λ1、x=λ1+λ2及相應(yīng)的函數(shù)值a、b、c分別代入式(11)，以計(jì)算出式中的常數(shù)D、E、F，得到擬合后的q2(x):

圖7 等效集中荷載Fig.7 Equivalent accumulative loads

如果采用等間距劃分節(jié)段，則λ1=λ2=…=λn=λ，式(12)將得到簡(jiǎn)化;如果虛荷載q*(x)在某節(jié)間呈線性分布或在全梁呈折線分布，則只需在這些節(jié)間線性插值，式(12)也得到簡(jiǎn)化。

設(shè)兩節(jié)段AB及BC上的分布荷載等效到A、B、C三點(diǎn)的集中虛荷載分別為，現(xiàn)取出其中一個(gè)節(jié)間AB進(jìn)行分析，于是有

將式(12)代入式(13)，整理后可以解得

2.3 改進(jìn)后的共軛梁方法

圖8a為一變剛度簡(jiǎn)支梁，根據(jù)外荷載所得的剪力圖如圖8b所示，彎矩圖如圖8c所示，圖8d是按照式(4)計(jì)算得到的作用于虛梁上的分布虛荷載q*(x)。將梁沿縱向劃分為n段，每段長(zhǎng)度分別為λ1、λ2、…、λn。顯然，梁段劃分愈細(xì)，計(jì)算精度愈高，但計(jì)算工作量卻要大一些。根據(jù)分布虛荷載q*(x)計(jì)算出的等效集中虛荷載(圖8e)，同時(shí)標(biāo)出由其計(jì)算出的虛梁的兩個(gè)虛支反力A*、B*，再根據(jù)圖8e畫(huà)出虛梁的虛剪力圖8f、虛彎矩圖8g。

按照“合乎情理和方便使用”的原則，可以自然地規(guī)定下列物理量的正、負(fù)號(hào)。

圖8 改進(jìn)的共軛梁方法計(jì)算步驟Fig.8 Calculating procedure for improved conjugate beam method

①荷載:凡荷載作用方向朝上者為正，這樣圖8a中兩個(gè)支座反力A、B為正，外力P為負(fù);

②剪力:凡使截面左邊合力向上者為正，這樣圖8b中集中力左側(cè)的剪力為正;

③彎矩:凡使頂部纖維受壓者為正，這樣圖8c中的彎矩為正;

⑤坡度(或斜率):實(shí)梁撓曲線的坡度φi是虛梁的虛剪力V*，正的坡度相應(yīng)于實(shí)梁的撓度從左到右增加，圖8f中左半部分的坡度為正;

⑥撓度:實(shí)梁的撓度yi是虛梁的虛彎矩M*，向下的撓度yi為正撓度，與實(shí)梁正的彎矩相對(duì)應(yīng)。

2.4 算例

已知條件見(jiàn)圖9a，試求梁的撓度與端轉(zhuǎn)角。本例將梁全長(zhǎng)等分為6段。

①按圖9a計(jì)算出梁的彎矩(圖9b)。

④把此虛梁當(dāng)成普通的簡(jiǎn)支梁，按式(13)同樣的原理，根據(jù)圖9d計(jì)算出虛梁兩端支點(diǎn)處的支反力A*和B*，得這兩個(gè)值也一并標(biāo)在圖中。

⑤用與畫(huà)傳統(tǒng)的剪力圖同樣的方法，畫(huà)出圖9d所示虛梁的虛剪力圖(圖9e)。

⑥根據(jù)圖9e的虛剪力圖，畫(huà)出虛彎矩圖(圖9f)。

圖9 改進(jìn)后的共軛梁法算例Fig.9 Example for improved conjugate beam method

這個(gè)虛梁的虛彎矩M*，就是實(shí)梁的撓度y。因此此梁在節(jié)點(diǎn)2#有最大撓度(單位)。

值得說(shuō)明的是，在圖8e和圖9d的虛外力圖中，故意將虛支反力A*畫(huà)得向左偏離一些，將支反力B*向右偏離一些。這樣在圖9e中，表示的是梁在端點(diǎn)A的切線的斜率，而1 115表示的是梁在A－1#這一段的平均斜率。端點(diǎn)B的情況與此類(lèi)似。這是因?yàn)?，是將原?lái)分布在A－1#節(jié)間的分布荷載等效而來(lái)的，實(shí)際上在這個(gè)虛梁的A端并無(wú)這一集中虛荷載。也就是說(shuō)，在圖9f中，A－1#間的撓曲線本來(lái)不是直線，而是曲線。對(duì)于曲線，在A點(diǎn)切線斜率當(dāng)然不同于在A－1#段的切線斜率。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文從方程(2)和方程(3)具有相似性出發(fā)，提出共軛梁的概念，導(dǎo)出實(shí)梁的各種邊界條件所對(duì)應(yīng)的虛梁的邊界條件。總結(jié)了共軛梁法的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，對(duì)其作了改進(jìn)，發(fā)展為計(jì)算變截面梁撓度的改進(jìn)的共軛梁方法。計(jì)算時(shí)，將變截面梁分為若干節(jié)段，把實(shí)梁的當(dāng)作共軛虛梁的虛荷載q*，作用在虛梁上的節(jié)間虛荷載擬合為二次拋物線分布，按靜力等效的原則將拋物線分布的虛荷載q*轉(zhuǎn)換成若干個(gè)作用于虛梁結(jié)點(diǎn)上的等效集中虛荷載，然后計(jì)算虛集中力作用下虛梁各個(gè)截面處的虛剪力、虛彎矩。依據(jù)實(shí)梁與虛梁的對(duì)應(yīng)關(guān)系，虛剪力與虛彎矩就是實(shí)梁的截面轉(zhuǎn)角和撓度，由此得到原來(lái)實(shí)梁?jiǎn)栴}的解答。

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