從變換的角度賞析“兩角差的余弦公式”之推導(dǎo)

近期觀看了科幻大片《星際穿越》，影片中出現(xiàn)了蟲洞、黑洞、第五維空間等一些星際概念，讓人感覺宇宙中充滿了奇妙的變換.宇宙的研究當(dāng)然離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)之王，而數(shù)學(xué)中也充滿了各種奇妙的、令人著迷的變換.三角變換就是其中之一，有些人認(rèn)為三角學(xué)是古老的數(shù)學(xué)，應(yīng)該弱化.但從現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材來(lái)看，仍是對(duì)三角學(xué)比較重視，確實(shí)三角學(xué)屬于經(jīng)典數(shù)學(xué)中的知識(shí)，之所以經(jīng)典有其原因所在，三角學(xué)中的各種變換蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，是開啟學(xué)生數(shù)學(xué)智慧之門，引起學(xué)生數(shù)學(xué)探究欲望的良好素材.

數(shù)學(xué)變換方法有著深刻的哲學(xué)思想基礎(chǔ)，這是因?yàn)檗q證法告訴我們：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是在不斷地發(fā)展變化[1].由于數(shù)學(xué)變換方法充分體現(xiàn)了聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，它對(duì)數(shù)學(xué)教育研究必然是有啟發(fā)性的.下面以“兩角差的余弦公式”推導(dǎo)為例，從變換的視角賞析其生成方式.

1公式推導(dǎo)前奏——兩銳角差的余弦公式

從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的角度出發(fā)，從特殊到一般是比較符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的.所以一般可以考慮從兩銳角差的余弦著手，比如cos（45°-30°）=？有各種變換方法可以求出此三角函數(shù)值.

1.1數(shù)學(xué)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)中的變換

明代學(xué)者與軍事家王守仁說(shuō)：“知是行之始，行是知之成.”而陶行知老先生說(shuō)：“行是知之始，知是行之成.”“墨辯”提出三種知識(shí)：親知、聞知、說(shuō)知.親知是親身得來(lái)的，就是從“行”中得來(lái)的，聞知是從旁人那兒得來(lái)的，或由師友口傳，或由書本傳達(dá).說(shuō)知是推想出來(lái)的知識(shí).陶老先生拿“行是知之始”來(lái)說(shuō)明知識(shí)之來(lái)源，并不是否認(rèn)聞知和說(shuō)知，乃是承認(rèn)親知為獲取一切知識(shí)之根本.聞知與說(shuō)知必須安根于親知里面方能發(fā)生效力.古今中外第一流的真知灼見無(wú)一不是從“做”中得來(lái)，也就是說(shuō)“教學(xué)”要以“做”為主.浙江省高中數(shù)學(xué)特級(jí)教師馮寅老師也曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)“動(dòng)手”與“動(dòng)腦”圖1并重的觀點(diǎn).我們可以嘗試讓學(xué)生在動(dòng)手操作數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中推導(dǎo)出兩銳角差的余弦公式.

（1）你能用這兩塊三角板（如圖1）拼出哪些角度呢？

（2）你能用它們拼出15°的角嗎？

（3）你能否利用所拼出的圖形（如圖2或如圖3）求出cos15°的值呢？

（4）若將上面的45°和30°角分別改成銳角α和β，那么會(huì)有怎樣的結(jié)論？cos（α-β）=？

1.2物理學(xué)做功中的變換

正如文首提及的影片《星際穿越》中諸多的數(shù)學(xué)變換，物理學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)變換.我們可以探尋高中學(xué)生熟知的物理知識(shí)，挖掘其中“兩銳角差余弦公式”.下面以物理學(xué)中“做功”為例嘗試讓學(xué)生挖掘出其中“兩銳角差余弦公式”的模型.

如圖4所示，一個(gè)坡度為30°的斜坡.已知作用在物體上的力F與水平方向之間的夾角為45°，且大小為10N，在力F的作用下，物體沿斜坡運(yùn)動(dòng)了2m，求力F作用在物體上的功W.

學(xué)生很快就分析出W=10cos15°·s=20cos（45°-30°）=？學(xué)生由此做功問(wèn)題提煉出圖5所示的“兩銳角差余弦公式”的模型，其中∠BCD=90°，∠ABC=30°，∠DBC=45°，AH⊥BD.不妨設(shè)AC=1，則可以迅速求出cos15°=6+24.將特殊角替換成一般角便可以得到兩銳角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.其間也涉及到一些學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的三角變換，在推導(dǎo)新公式的同時(shí)，也是對(duì)之前三角變換知識(shí)的回顧與應(yīng)用.因此，這種推導(dǎo)方式可以讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題情境中提煉出兩銳角差的余弦公式的模型，感知數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于實(shí)際，運(yùn)用于實(shí)際，自然界萬(wàn)事萬(wàn)物中都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)變換.

1.3三角起源弦圖中的變換

公元3世紀(jì)末，亞歷山大數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》中給出命題[2]：如圖6，設(shè)H是以AB為直徑的半圓上的一點(diǎn)，CE是半圓在點(diǎn)H處的切線，CH=HE.CD和EF為AB的垂線，D、F是垂足，則（CD+EF）·CE=AB·DF.認(rèn)識(shí)“弦圖”，從平面幾何中發(fā)現(xiàn)兩銳角差的余弦公式.

可以為學(xué)生搭建腳手架：（1）如圖7所示，設(shè)∠HOF=α，∠COH=β，試用α、β表示∠EOF；（2）不妨設(shè)OC=OE=1，試用線段（比）分別表示sinα、cosα、sinβ、cosβ以及cos（α-β）；（3）試探究cos（α-β）與sinα、cosα、sinβ、cosβ的關(guān)系.

以上的推導(dǎo)過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是一種文化，在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)?shù)娜谌霐?shù)學(xué)史知識(shí)，讓學(xué)生尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).三角學(xué)的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，起源于天文觀測(cè)和歷法推算，是幾何問(wèn)題代數(shù)化的典例.在教學(xué)過(guò)程中，如果融入三角學(xué)的歷史知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生了解三角學(xué)的發(fā)生發(fā)展歷程，使學(xué)生在探究活動(dòng)中不僅知其“源”，而且知其所原，則既能使教學(xué)充滿濃郁的文化氣息，又能隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而與時(shí)俱進(jìn).

此外，古埃及天文學(xué)家托勒密利用兩角和、差的三角關(guān)系繪制了現(xiàn)存最早的三角函數(shù)弦表，在天文學(xué)和測(cè)量計(jì)算中有很重要的應(yīng)用.制作弦表的原理如圖8所示.此原理與人教A版上的方法（如圖9所示）有異曲同工之妙.

1.4面積中隱含的變換

數(shù)學(xué)的魅力在于他能讓人驚嘆于數(shù)學(xué)的各種奇妙的變換，一個(gè)普通的圖形當(dāng)中竟然也能蘊(yùn)藏著“兩銳角差的余弦公式”，如圖10所示.通過(guò)簡(jiǎn)單的三角形等積就可以非常簡(jiǎn)單的得到“兩銳角差的余弦公式”[3].

此種變換還有很多，在此不一一舉例.這是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)魅力的良好素材，新課程改革大力提倡選修課程的開發(fā)與開設(shè)，而一線的很多數(shù)學(xué)教師卻苦于沒有好的素材，其實(shí)，好的素材“遠(yuǎn)在天邊近在眼前”，我們的教材中就蘊(yùn)含著豐富的素材.就以“兩角差的余弦公式”為例，我們可以將其推導(dǎo)過(guò)程開發(fā)成一堂或是一系列選修課程，作為必修課程的選修化，既能拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，也能激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的熱情.也可以將這些素材開發(fā)制作成微課，通過(guò)翻轉(zhuǎn)課堂的形式讓學(xué)生進(jìn)行自主探究或合作探究，撰寫有關(guān)“兩銳角差的余弦公式”的數(shù)學(xué)小論文，用足教材中的內(nèi)容，也迎合高考“源于教材，高于教材”的精神.

2角度范圍推廣——兩任意角差的余弦公式

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的初始，學(xué)生首先遇到的問(wèn)題就是將初中里的特殊角推廣到任意角，如何推廣？那便是引進(jìn)直角坐標(biāo)系.

2.1誘導(dǎo)公式的化角變換

筆者覺得在三角的教學(xué)中，有些教師往往忽視“誘導(dǎo)公式”的強(qiáng)大功能，只是單純讓學(xué)生記住“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，會(huì)熟練的運(yùn)用誘導(dǎo)公式解題就可以了.殊不知蘊(yùn)含于誘導(dǎo)公式中的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“化角變換”，將任意角通過(guò)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為0～2π之間的角，再進(jìn)一步將π2～2π之間的角轉(zhuǎn)化到0～π2之間的角，所以“兩任意角差的余弦”肯定可以通過(guò)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為“兩銳角差的余弦”（軸線角可以單獨(dú)驗(yàn)證）.因此，從誘導(dǎo)公式化角變換的角度來(lái)看，問(wèn)題可以得到合理的解釋.

2.2旋轉(zhuǎn)中的變換

人教A版選修42《矩陣與變換》介紹了旋轉(zhuǎn)變換.如圖11所示，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，作單位圓O，設(shè)α、β角的始邊都為Ox、終邊分別圖11交圓于A、B.這時(shí)，得到兩點(diǎn)間的坐標(biāo)分別為A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）.由兩點(diǎn)間的距離公式，并整理得|AB|2=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）①.再以O(shè)B為橫軸，建立新的直角坐標(biāo)系x′O′y′，使其單位長(zhǎng)與原坐標(biāo)系相同.在新坐標(biāo)系中兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（cos（α-β），sin（α-β）），B（1，0）.同樣，由兩點(diǎn)間的距離公式，并整理得|AB|2=2-2cos（α-β）②，由①②便可得兩任意角差的余弦公式[4].

有心的老師一定還記得人教社全日制普通高中教材中也是運(yùn)用類似的變換來(lái)推導(dǎo)“兩任意角差的余弦公式”的.只不過(guò)不是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸，而是旋轉(zhuǎn)點(diǎn)（在此不累述，詳見人教社全日制普通高中教材）.旋轉(zhuǎn)變換是相對(duì)的，數(shù)學(xué)中很多問(wèn)題通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可以得到快速解決，比如可以用旋轉(zhuǎn)變換求12+22+33+…+n2，運(yùn)用如圖12所示的旋轉(zhuǎn)變換可以很快得到結(jié)果.

2.3向量中的變換

向量是聯(lián)系代數(shù)、幾何、三角的橋梁，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中必不可少的工具，它可以使一些復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，因?yàn)樗迳狭藬?shù)形結(jié)合的翅膀.人教A版教材有意識(shí)地將《三角恒等變換》置于《平面向量》之后，并且運(yùn)用向量數(shù)量積運(yùn)算簡(jiǎn)潔證明了“兩任意角差的余弦公式”，讓人耳目一新.此證明過(guò)程中的敘述看起來(lái)很淺顯，論述也不深?yuàn)W，但它是以運(yùn)動(dòng)的、變化的觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題.這種證明方法不但能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，而且能夠幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用辯證法的觀點(diǎn)來(lái)思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.因此，教師可以好好利用向量變換引出來(lái)的結(jié)果（兩任意角差的余弦公式）幫助學(xué)生形成更高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3結(jié)束語(yǔ)

有些教師認(rèn)為兩角差余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程不重要，重要的是公式的運(yùn)用.但我們從上面各種變換的角度賞析兩角差的余弦公式，發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的各種變換中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想.若是在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，教師舍得不吝嗇時(shí)間，濃墨重彩的畫上靚麗的一筆，想必會(huì)給學(xué)生留下“數(shù)學(xué)是有趣的、是美麗的、是有用的”這樣美好而又深刻的印象.

參考文獻(xiàn)

[1]張維忠，宋秀紅.略論數(shù)學(xué)變換方法對(duì)數(shù)學(xué)教育研究的啟示[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，1993（8）.

[2]陳清華，徐章韜.既基于歷史，又與時(shí)俱進(jìn)高觀點(diǎn)下的“兩角和與差的正、余弦公式”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（9）.

[3]金國(guó)林.將無(wú)字證明引入課堂——《兩角差余弦公式》教學(xué)有感[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（7）.

[4]姚軍.從兩角和的余弦公式證明的演變談起[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1997（8）.

作者簡(jiǎn)介俞昕，女，1977年生，浙江湖州人，中學(xué)高級(jí)教師，碩士.主要研究方向：數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)校本課程等.