對(duì)一道數(shù)學(xué)質(zhì)檢題的討論

苗相軍+王廣燕

一道好的數(shù)學(xué)習(xí)題，不僅要自然簡明，還要寓意深刻;一道好的數(shù)學(xué)習(xí)題，能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題及解決問題的能力.近期，濟(jì)寧市高中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測中有一道優(yōu)秀的試題，本文就這道數(shù)學(xué)質(zhì)檢題做一點(diǎn)有意義的討論.

題目 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）過點(diǎn)A（1，32），離心率e=32，點(diǎn)B（0，b）.

（Ⅰ）求橢圓E的方程;

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C是橢圓E上任意一點(diǎn)，求線段BC長度的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo);

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)D是橢圓E上一點(diǎn)（異于點(diǎn)B），過D作橢圓的切線l，尋求所有的點(diǎn)D，使直線BD⊥l.

解 （Ⅰ）橢圓E的方程為x24+y2=1.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C（x，y），則x2=4-4y2，B（0，1），則線段BC的長度BC=x2+（y-1）2=-3y2-2y+5，其中y∈[-1，1].當(dāng)y=-13時(shí)，BCmax=433，此時(shí)C（±423，-13）.

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)D（x0，y0），顯然y0<0.現(xiàn)研究函數(shù)y=-124-x2的導(dǎo)數(shù)：y′=x24-x2，這時(shí)切線l的斜率k1=y′x=x0=x024-x20=-x04y0.又直線BD的斜率k2=y0-1x0（x0≠0），要使直線BD⊥l，當(dāng)且僅當(dāng)k1k2=-1，即（-x04y0）（y0-1x0）=-1，從而y0=-13，這時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（±423，-13）.當(dāng)x0=0時(shí)，這時(shí)D（0，-1），此時(shí)BD⊥l.所以符合條件的點(diǎn)D共有3個(gè)，分別是D（±423，-13），D（0，-1）.

討論1：對(duì)一般橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）而言，問題（Ⅲ）中的點(diǎn)D有哪些？

設(shè)點(diǎn)D（x0，y0），顯然y0<0.現(xiàn)研究函數(shù)y=-baa2-x2的導(dǎo)函數(shù)：y′=bxaa2-x2，這時(shí)切線l的斜率k1=y′x=x0=bx0aa2-x20=-b2x0a2y0，

當(dāng)x0=0時(shí)，這時(shí)D（0，-b），符合BD⊥l.

當(dāng)x0≠0時(shí)，直線BD的斜率k2=y0-bx0，要使直線BD⊥l，當(dāng)且僅當(dāng)k1k2=-1，即（-b2x0a2y0）（y0-bx0）=-1，于是y0=-b3a2-b2，從而x20=a2b2（b2-y20）=a4（a2-2b2）（a2-b2）2.

當(dāng)a2>2b2，或e>22時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)±a2a2-2b2a2-b2，-b3a2-b2;

當(dāng)a2=2b2，或e=22時(shí)，x0=0;

當(dāng)a2<2b2，或e<22時(shí)，x0不存在.

綜上所述，當(dāng)e≥22時(shí)，符合條件的點(diǎn)有3個(gè)，分別是D（±a2a2-2b2a2-b2，-b3a2-b2），D（0，-b）.

討論2：從問題（Ⅱ）（Ⅲ）答案可以看出：線段BC長度的最大值似乎與BC⊥l有聯(lián)系，這種聯(lián)系是什么呢？

設(shè)點(diǎn)C（x，y）是函數(shù)y=-124-x2圖象上任意一點(diǎn)，BC的長度BC=f（x）=x2+（y-1）2=34x2+4-x2+2，x∈（-2，2）.

容易發(fā)現(xiàn)BC=f（x）在區(qū)間（-2，-423）、（0，423）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-423，0）、（423，2）上是減函數(shù)，所以f（x）在x=±423處取得極大（最大）值，在x=0處取得極小值.而在此時(shí)都有BC⊥l.由此，可以猜想并證得：

圖1

定理1 如圖1，設(shè)點(diǎn)C（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象F上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作圖象F的切線l.定點(diǎn)B（a，b）不在函數(shù)圖象F上.當(dāng)線段BC的長度BC=g（x）取得極大（?。┲禃r(shí)，則BC⊥l.

證明 因?yàn)锽C=g（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，

所以g′（x）=（x-a）+（f（x）-b）f′（x）（x-a）2+（f（x）-b）2.

當(dāng)線段BC的長度取得極大（?。┲禃r(shí)，g′（x0）=0，所以（x0-a）+（f（x0）-b）f′（x0）=0. ①

又直線BC的方向向量m=（x0-a，f（x0）-b），切線l的方向向量n=（1，f′（x0）），式①表明m⊥n，所以BC⊥l.

討論3：現(xiàn)在考慮問題的一種推廣：兩個(gè)定點(diǎn)的情況.

應(yīng)用光學(xué)反射定律，可以猜想并證得：

圖2

定理2 如圖2，設(shè)點(diǎn)C（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象F上任意

一點(diǎn)，過點(diǎn)C作圖象F的切線l及法線l′.兩定點(diǎn)A（a，b）、B（m，n）

不在圖象F上.當(dāng)線段AC、BC長度之和AC+BC=g（x）取得

極大（?。┲禃r(shí)，α=β.

證明 因?yàn)锳C+BC=g（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2+（x-m）2+（f（x）-n）2，

所以g′（x）=（x-a）+（f（x）-b）f′（x）（x-a）2+（f（x）-b）2+

（x-m）+（f（x）-n）f′（x）（x-m）2+（f（x）-n）2.

當(dāng)g（x）取得極大（小）值時(shí)，g′（x0）=0.

所以（x0-a）+（f（x0）-b）f′（x0）（x0-a）2+（f（x0）-b）2+

（x0-m）+（f（x0）-n）f′（x0）（x0-m）2+（f（x0）-n）2=0. ②

由于CA=（a-x0，b-f（x0）），CB=（m-x0，n-f（x0）），切線l的方向向量n=（1，f′（x0）），于是cos（π2-α）=CA·nCAn，cos（π2+β）=CB·nCBn.結(jié)合②，得cos（π2-α）+cos（π2+β）=0，從而cosα=cosβ，所以α=β.

討論4：當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別位于兩條曲線上時(shí)，結(jié)果又如何呢？

圖3

定理3 如圖3，設(shè)點(diǎn)B（a，b）是函數(shù)y=f1（x）圖象F1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)B作圖象F1的切線l1，點(diǎn)C（m，n）是函數(shù)y=f2（x）圖象F2上任意一點(diǎn)（假設(shè)F1與F2沒有交點(diǎn)）.當(dāng)線段BC長度BC=u（a，m）取得極大（?。┲禃r(shí)，則BC⊥l1，BC⊥l2.

證明 因?yàn)锽C=u（a，m）=（a-m）2+（f1（a）-f2（m））2，

所以u(píng)a=（a-m）+（f1（a）-f2（m））f′1（a）（a-m）2+（f1（a）-f2（m））2，

um=-（a-m）-（f1（a）-f2（m））f′2（m）（a-m）2+（f1（a）-f2（m））2.

當(dāng)u（a，m）取得極大（?。┲禃r(shí)，

u′a（a0，m0）=0，u′m（a0，m0）=0. ③

由于BC=（m0-a0，f2（m0）-f1（a0）），切線l1的方向向量為n1=（1，f′1（a0）），切線l2的方向向量為n2=（1，f′2（m0）），結(jié)合③得BC⊥n1，BC⊥n2，所以BC⊥l1，BC⊥l2.

討論5：最后給出一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)曲面上的動(dòng)點(diǎn)情形及分別位于兩個(gè)曲面上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情形.

圖4

定理4 如圖4，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)C（x，y，z）是曲面E：z=f（x，y）上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作曲面E的切平面α.定點(diǎn)B（a，b，c）不在曲面E上，當(dāng)線段BC長度BC=u（x，y）取得極大（?。┲禃r(shí)，則BC⊥α.

證明 因?yàn)锽C=u（x，y）=

（x-a）2+（y-b）2+（f（x，y）-c）2，

所以

ux=（x-a）+（f（x，y）-c）zx′（x-a）2+（y-b）2+（f（x，y）-c）2，

uy=（y-b）+（f（x，y）-c）zy′（x-a）2+（y-b）2+（f（x，y）-c）2.

當(dāng)u（x，y）取得極大（小）值時(shí)，

u′x（x0，y0）=0，u′y（x0，y0）=0. ④

由于BC=（x0-a，y0-b，f（x0，y0）-c），m=（1，0，zx′）是對(duì)x軸切線的方向向量，n=（0，1，zy′）是對(duì)y軸切線的方向向量，由④可得BC⊥m，BC⊥n，所以BC⊥α.

定理5 在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)B（a，b，c）是曲面E1：z1=f（x，y）上任意一點(diǎn)，過B作曲面E1的切平面α.點(diǎn)C（m，n，l）是曲面E2：z2=g（x，y）上任意一點(diǎn)，過C作曲面E2的切平面β（假定E1與E2沒有公共點(diǎn)）.當(dāng)線段BC的長度BC=u（a，b，m，n）取得極大（?。┲禃r(shí)，則BC⊥α，BC⊥β.

證明 略.

最后，指出十分重要的一點(diǎn)：定理1～5中，當(dāng)線段（或之和）有唯一極大（小）值時(shí)，此時(shí)極大（小）值就是最大（?。┲担ɡ碇械慕Y(jié)論不僅是取得最值的必要條件，還是取得最值的充分條件！