2014年陜西省高考理科數(shù)學(xué)第21題研究

汪仁林+姚利娟

最近，在研究陜西省高考理科壓軸題時，有了意外的收獲，得到了標(biāo)準(zhǔn)答案以外且優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)答案的新解法，匯總?cè)缦拢c讀者共享.

題目 （2014年陜西高考理科數(shù)學(xué)第21題）

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達(dá)式;

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（Ⅲ）設(shè)n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明.

解析 （Ⅰ）由題知，g1（x）=g（x）=x1+x，gn+1（x）=g（gn（x））=gn（x）1+gn（x），所以1gn+1（x）=1+gn（x）gn（x）=1+1gn（x），令bn=1gn（x），則數(shù)列{bn}是以b1=1g1（x）=1+xx為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以bn=1+xx+（n-1）×1=1+nxx，即1gn（x）=1+nxx，所以gn（x）的表達(dá)式為：gn（x）=x1+nx.

評析 此種解法太經(jīng)典了，將問題轉(zhuǎn)化為由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式，而考題標(biāo)準(zhǔn)答案所給解法為先通過歸納推理猜想出gn（x）的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，與此解法相比就顯得復(fù)雜了.

（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥ax1+x （*）恒成立.①當(dāng)x=0時（*）式顯然恒成立，此時a∈R;②當(dāng)x>0時，x1+x>0（*）式可化為a≤1+xln（1+x）x，設(shè)φ（x）=1+xln（1+x）x（x>0），則a≤φ（x）min，φ′（x）=x-ln（1+x）x2，令h（x）=x-ln（1+x）（x>0），則φ′（x）與h（x）同號.因?yàn)閔′（x）=x1+x>0，所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以h（x）>h（0）=0，所以φ′（x）>0，所以函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以

φ（x）min→φ（0）=limx→0（1+x）ln（1+x）x=

limx→0[（1+x）ln（1+x）]′（x）′

=limx→0ln（1+x）+11=1（洛必達(dá)法則），所以此時a≤1.因?yàn)椋?）式對x≥0恒成立，所以①②所求a的范圍求交集即可，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1].

評析 此種解法關(guān)鍵是分離參數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)通過多次求導(dǎo)來求最值，然后利用洛必達(dá)法則可輕松獲解.當(dāng)然，解題過程中的一些細(xì)節(jié)問題的處理應(yīng)引起重視.對比考題所給標(biāo)準(zhǔn)答案可知，此種方法思路非常清晰，學(xué)生更容易掌握！值得提倡.

（Ⅲ）由題設(shè)知：g（1）+g（2）+…+g（n）=12+23+…+nn+1，n-f（n）=n-ln（n+1），當(dāng)n=1時，g（1）+g（2）+…+g（n）=g（1）=12，n-f（n）=1-ln（1+1）=lne2<lne=12，由此猜想g（1）+g（2）+…+g（n）>n-ln（n+1）.此不等式等價于12+13+…+1n+1<ln（n+1）.證明如下：

證法1 （數(shù)學(xué)歸納法）12+13+…+1n+1<ln（n+1）.

①當(dāng)n=1時，12<ln2顯然成立.②假設(shè)n=k（k≥1）時，有12+13+…+1k+1<ln（k+1）成立.那么n=k+1時，有12+13+…+1k+1+1k+2<ln（k+1）+1k+2.要證n=k+1時也成立，只需證ln（k+1）+1k+2<ln（k+1+1），即證lnk+2k+1>1k+2，在（Ⅱ）中，取a=1可得ln（x+1）>x1+x，令x=1k+1，則lnk+2k+1>1k+2，這就說明當(dāng)n=k+1時也成立.綜上①②可知結(jié)論對n∈N+成立.

證法2 由（ln（x+1））′=1x+1，∫n+111xdx=lnxn+1

1=ln（n+1），由此想到用定積分的幾何意義，ln（n+1）可表示為曲線y=1x與直線x=1，直線x=n+1與x軸圍成的曲邊梯形的面積，如圖2陰影部分所示.而12+13+…+1n從幾何的角度恰好可看成是如圖1中陰影部分所示的n個矩形的面積之和.顯然圖1中陰影部分面積小于圖2陰影部分的面積，所以12+13+…+1n+1<ln（n+1）成立.

圖1圖2

評析 一般地，與正整數(shù)有關(guān)的不等式的證明，在函數(shù)題中出現(xiàn)，前后兩問總會存在一定的聯(lián)系，首先應(yīng)考慮借助于前幾問或已知條件，構(gòu)造函數(shù)，向題中已知的函數(shù)不等式靠攏;如果構(gòu)造函數(shù)很盲目，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證，特別是由n=k時成立過渡到n=k+1時也成立，用分析法，將需要構(gòu)造的函數(shù)直接分析出來，證法一與前幾問或題設(shè)可以無任何關(guān)系，即可將題目設(shè)置一問，由此可見，這種解法確實(shí)能起到事半功倍的效果，值得推廣;證法二由（ln（x+1））′=1x+1，∫n+111xdx=lnxn+1

1=ln（n+1），由此想到用定積分的幾何意義，而不等式左邊的幾何意義是n個矩形的面積之和，通過幾何法，達(dá)到了事半功倍的效果.本解法的定積分證法與考題標(biāo)準(zhǔn)答案所給的定積分證法相比，學(xué)生更容易想到，且更好掌握.

作者簡介 汪仁林，男，1980年生，陜西省商南縣人，一級教師.主要從事數(shù)學(xué)教育與高考試題研究.發(fā)表文章80余篇，參編教輔用書2本.分別榮獲“中國教育改革優(yōu)秀教師”、“咸陽市市級教學(xué)能手”、“市級學(xué)科帶頭人”、“咸陽市高中數(shù)學(xué)學(xué)科專家組成員”、“省級骨干班主任”、“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽優(yōu)秀輔導(dǎo)教師”、“全國中學(xué)生數(shù)學(xué)能力競賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師”稱號.姚利娟，女，1981年生，陜西乾縣人.中學(xué)一級教師，咸陽市市級教學(xué)能手，主要從事數(shù)學(xué)教育與高考試題研究，發(fā)表文章40余篇.參編教輔用書2本.