反例作用的實(shí)驗(yàn)研究
——以高一數(shù)學(xué)教學(xué)為例

曾春燕，姚 靜

（1．廣東石油化工學(xué)院 高州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 茂名 525200；2．華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631）

反例作用的實(shí)驗(yàn)研究
——以高一數(shù)學(xué)教學(xué)為例

曾春燕1，姚 靜2

（1．廣東石油化工學(xué)院 高州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 茂名 525200；2．華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631）

對(duì)實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班實(shí)施不同的教學(xué)策略，探討反例對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響．結(jié)果表明：反例的恰當(dāng)使用使得教學(xué)效果得到了改善．主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）反例的使用加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解；（2）反例的使用更好地幫助學(xué)生理解和運(yùn)用定理、法則、公式；（3）反例的使用有助于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和糾正數(shù)學(xué)中的錯(cuò)誤和漏洞的能力；（4）反例的使用有助于提高學(xué)生解題的能力與解題速度；（5）反例的使用有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力．

數(shù)學(xué)反例；概念；構(gòu)造；實(shí)驗(yàn)研究

1 問題提出

新課改對(duì)反例提出了新的要求．例如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》：“教學(xué)中應(yīng)通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理去探索、猜測(cè)一些數(shù)學(xué)結(jié)論，并用演繹推理確認(rèn)所得結(jié)論的正確性，或者用反例推翻錯(cuò)誤的猜想．”“評(píng)價(jià)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，可以關(guān)注學(xué)生能否獨(dú)立舉出一定數(shù)量的用于說明問題的正例和反例”；《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》：“能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例．”而且教育理論認(rèn)為“概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息”和心理學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)為“在教學(xué)中利用反例是一種比較．比較能確定其與被比較對(duì)象的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)．有比較才有鑒別，才能容易把握住所研究對(duì)象的本質(zhì)特征”．

為了探討反例對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響，對(duì)實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班實(shí)施不同的教學(xué)策略，希望引起教師對(duì)反例的重視，并為數(shù)學(xué)教學(xué)改革和教材編寫提供一些參考．

2 研究方法

2.1 被 試

廣東省某市某校高中一年級(jí)一班34人（男19人，女15人），作為實(shí)驗(yàn)班；高中一年級(jí)二班31人（男17人，女14人），作為對(duì)照班．總計(jì)65人，其中沒有學(xué)生之前參加過培訓(xùn)或自己學(xué)習(xí)了這本書的內(nèi)容，對(duì)初中的涉及函數(shù)的內(nèi)容的掌握情況相當(dāng)，基礎(chǔ)相當(dāng)．大部分的學(xué)生初中都是在同一個(gè)學(xué)校學(xué)習(xí)．而且這里的學(xué)生都沒有自己預(yù)習(xí)課本的習(xí)慣，沒有提前自學(xué)課本的習(xí)慣．

2.2 要 求

分別用一個(gè)學(xué)期的時(shí)間，使用自己編寫的教案基本上完成教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》規(guī)定的高中數(shù)學(xué)必修1的教學(xué)任務(wù)，學(xué)生對(duì)該學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容的掌握程度與運(yùn)用能力達(dá)到或超過同年級(jí)．具體要求是：（1）對(duì)書本的概念的理解加深，能夠辨別概念；（2）能夠正確地理解和運(yùn)用定理、法則、公式；（3）能夠懂得使用反例來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中的錯(cuò)誤和漏洞；（4）運(yùn)用反例解選擇題和判斷題．

2.3 數(shù)據(jù)處理

對(duì)于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用SPSS軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．

2.4 方 法

2.4.1 在試驗(yàn)前的測(cè)試

開學(xué)前，對(duì)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班的學(xué)生都進(jìn)行了一個(gè)前測(cè)．入學(xué)考試試卷就作為前測(cè)試卷．該試卷主要的特點(diǎn)是全面考察高一的學(xué)生入學(xué)以前的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)水平．

2.4.2 在教學(xué)中實(shí)施的策略

（1）平時(shí)教學(xué)過程中適當(dāng)使用反例加深概念定理理解．①“集合的含義及其表示方法”的教學(xué)片段．

研究者在講授了集合的含義與集合中元素的特點(diǎn)，并給學(xué)生舉了一些正面的例子后，給出了如下的例題：

例1 判斷下面的元素是否能構(gòu)成集合

① 大于6而小于10的整數(shù)；② 我國的大河流；③ 身材比較苗條的人；④ 1，2，3，3，4，5；⑤ 4～10以內(nèi)的整數(shù)；⑥ 好心的人；⑦ 很大的實(shí)數(shù)．

答案：①能；②不能，因?yàn)槲覀儾荒艽_定怎樣才叫“大”，即這些元素不滿足“確定性”，所以這些元素不能構(gòu)成集合；③不能，因?yàn)槲覀儾荒艽_定怎樣才叫“比較苗條”，比如說你們可能認(rèn)為A就是叫身材比較苗條，B不能說是比較苗條，但是我卻認(rèn)為B也叫比較苗條，因此“身材比較苗條”沒有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以這些元素不能構(gòu)成集合．④不能，因?yàn)檫@些元素不滿足互異性，所以這些元素不能構(gòu)成集合；⑤能；⑥不能，理由同③；⑦不能，理由同③．

師：既然大家都知道了集合的元素要滿足三性．我們可以看到只要不滿足其中某一性質(zhì)，這些元素就不能構(gòu)成集合．這樣你們能不能舉一些元素不能構(gòu)成集合呀？

生：身材比較高大的人．

……

② “函數(shù)的概念”的教學(xué)片段．

研究者的學(xué)生片面地認(rèn)為：“一個(gè)變量隨著另一變量的變化而變化，它們之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系．”為糾正這個(gè)錯(cuò)誤，在教學(xué)中研究者提出如下反例：人的體重隨著年齡的變化而變化．通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：雖然人的體重與人的身高有關(guān)，但是，人的體重不是由年齡唯一確定的，所以人的體重和年齡變化的相依關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系．

在學(xué)習(xí)“函數(shù)的表示法”后，為了加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念中“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，都有唯一的值與它相對(duì)應(yīng)”的理解，教學(xué)中利用下列選擇題幫助理解．

例2 下列圖像，可以表示函數(shù)的是（）

師：分析函數(shù)的定義，我們必須注意這些字眼“任意的一個(gè)數(shù)x”和“唯一確定”．即如果有某個(gè)x有兩個(gè)或以上的y與之對(duì)應(yīng)，這就不是函數(shù)．例如，我們的B的x在圖像上有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，故不是函數(shù)的圖像．

③ “函數(shù)奇偶性”的教學(xué)片段．

在學(xué)習(xí)了偶函數(shù)的定義并給學(xué)生舉了一些正面的例子后，研究者一再強(qiáng)調(diào)偶函數(shù)的定義中不能忽略了“定義域內(nèi)”和“任意”，否則就不是偶函數(shù)．接著給出了如下的例題．

例3 判斷下列函數(shù)是不是偶函數(shù)．

分析：①是，根據(jù)定義；②不是，定義域雖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但f(x)≠f(- x)；③不是，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

最后，研究者與學(xué)生一起總結(jié)出偶函數(shù)必須同時(shí)滿足“定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”和“在定義域中任取一點(diǎn)x，有f(x)=f(- x)”．

④ “指數(shù)函數(shù)”的教學(xué)片段．

在講授了指數(shù)函數(shù)的定義后，研究者安排了如下例題．

例4 判斷下列函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)，為什么？

所以研究者與學(xué)生一起總結(jié)得出：“一個(gè)函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)要滿足：① a>0，且a≠1，a 為常數(shù)；② ax的系數(shù)為1或者可以化為1；③ 該函數(shù)一定能化成形如y=ax的形式；④ 定義域一定為R．”

研究者還補(bǔ)充了“指數(shù)函數(shù)的定義中的a>0，且a≠1不能少，少了就不正確”．并且對(duì)此舉了這樣的反例：

若a=0，當(dāng)x＞0時(shí)，ax等于0；當(dāng)x≤0時(shí)，ax無意義．

若a=1，y =1x=1，是一個(gè)常量，沒有研究的意義．……

（2）使用“反例教學(xué)法”來幫助獲得學(xué)生獲得整體性、全面性的知識(shí)的方法．

在學(xué)習(xí)的整個(gè)過程中，研究者在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)嵤┝恕胺蠢虒W(xué)法”．其實(shí)施過程如下：

① 選編反例．

研究者本著如下幾點(diǎn)原則來選擇和編排實(shí)施“反例教學(xué)法”的反例：第一，反例必須從教學(xué)實(shí)踐中來，真實(shí)、生動(dòng)，符合客觀實(shí)際．第二，反例必須精煉．第三，反例必須典型．第四，反例必須有針對(duì)性．第五，反例必須具有系統(tǒng)性．

② 呈現(xiàn)反例．

在講完一個(gè)單元或一個(gè)章節(jié)基礎(chǔ)知識(shí)之后呈現(xiàn)這些反例．呈現(xiàn)的方式是以給每個(gè)學(xué)生印發(fā)一份文字反例，并利用多媒體技術(shù)呈現(xiàn)反例．

③ 分析反例．

對(duì)于同一個(gè)反例，每個(gè)學(xué)生可以發(fā)表出不同的看法．教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)揭示反例的本質(zhì)錯(cuò)誤．分析反例的關(guān)鍵是學(xué)生和教師共同努力，把反例中的內(nèi)容與相應(yīng)的一個(gè)或幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來．

④ 評(píng)價(jià)反例．

這是對(duì)反例分析的總結(jié)．一般由教師來完成，教師可以指出學(xué)生分析反例的成績和不足，進(jìn)行補(bǔ)充與提高性講授．

（3）在平時(shí)教學(xué)過程中遇到反例類型的題目時(shí)使用反例來幫助解題．

例如，在研究者給學(xué)生評(píng)講練習(xí)冊(cè)時(shí)，《高中同步精練與測(cè)試》中P49有這么一道選擇題：“若函數(shù)f(x)滿足f(a)?f( b)＜0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上（ ）．A. 一定沒有零點(diǎn)；B. 至少有一個(gè)零點(diǎn)；C. 只有一個(gè)零點(diǎn)；D. 零點(diǎn)的情況不能確定．”研究者對(duì)照了書本的定義，發(fā)現(xiàn)少了這么一句話“函數(shù)f(x)在在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線”．顯然這個(gè)選擇題有3個(gè)選項(xiàng)是根據(jù)學(xué)生的泛化律設(shè)定的．通過舉反例（反例略）可以引導(dǎo)學(xué)生排除其它錯(cuò)誤的選項(xiàng)．

（4）在作業(yè)評(píng)講課上使用反例來糾正學(xué)生的錯(cuò)誤．

對(duì)于學(xué)生作業(yè)和練習(xí)冊(cè)上出現(xiàn)的錯(cuò)誤，研究者找出比較典型的錯(cuò)法，安排專門的作業(yè)講評(píng)課使用反例來糾正學(xué)生的錯(cuò)誤．

以上策略，只在實(shí)驗(yàn)班實(shí)施，對(duì)照班不實(shí)施．

2.4.3 在試驗(yàn)后的測(cè)試

在講完所有新課后使用自行設(shè)計(jì)的測(cè)試卷對(duì)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班進(jìn)行后測(cè)．后測(cè)卷的維度見表1．

表1 后測(cè)卷的維度

3 結(jié)果及分析

3.1 前測(cè)試卷的結(jié)果與分析

對(duì)在實(shí)驗(yàn)前的測(cè)試試卷的數(shù)據(jù)分析表明，雖然實(shí)驗(yàn)前實(shí)驗(yàn)班的成績（M=35.68，SD=11.98）略低于對(duì)照班（M=37.00，SD=12.47），但是經(jīng)過獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)前實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班的成績水平之間的差異并不顯著，t(63)=-0.436，p=0.665．這更進(jìn)一步表明實(shí)驗(yàn)前實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)水平差不多，從而進(jìn)一步確認(rèn)后面教學(xué)效果的改善是由于實(shí)驗(yàn)的啟動(dòng)所造成的．

前測(cè)試卷實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班的總成績見表2．

表2 前測(cè)試卷實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班的總成績

3.2 后測(cè)試卷的結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)期滿后，根據(jù)實(shí)驗(yàn)的要求，對(duì)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班進(jìn)行了全面的測(cè)查，結(jié)果如下：

（1）反例對(duì)概念理解的影響．

后測(cè)卷的第1，2，3題主要是測(cè)試反例對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的影響．第1題通過讓學(xué)生辨認(rèn)集合的正反例子，從而幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到“集合要滿足確定性”：A答案中的“性格開朗”、B答案中的“與1接近”和D答案中的“高個(gè)子”都是模棱兩可的，是沒法確定下來的，因此它們中的例子都不是集合；第2題辨認(rèn)函數(shù)相等的正反例子，從而加深學(xué)生對(duì)函數(shù)相等的理解，即函數(shù)相等要求定義域和法則都相同；第3題要求學(xué)生掌握指數(shù)函數(shù)的定義．

在教學(xué)集合、函數(shù)相等和指數(shù)函數(shù)時(shí)，在實(shí)驗(yàn)班里，教師不僅運(yùn)用正面的例子來深刻闡明其本質(zhì)屬性，而且靈活借助反例加深了學(xué)生對(duì)概念中的關(guān)鍵詞和本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化對(duì)概念的理解；而在對(duì)照班里教師沒有借助反例幫助學(xué)生理解．

因此對(duì)于實(shí)驗(yàn)班在維度1的得分率為74.71%，對(duì)照班在維度1的得分率為59.78%，而他們的得分率相差了14.93%，可以認(rèn)為是由實(shí)驗(yàn)引起的．

后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班對(duì)概念理解的成績見表3．

表3 后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班對(duì)概念理解的成績

而且對(duì)后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班對(duì)概念理解的成績進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)班的成績水平高于對(duì)照班，其差異達(dá)到了顯著差異水平，t(63)=3.022，p=0.004．這說明，反例的使用對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的影響是顯著差異的．

由此可推斷：反例有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解．

（2）反例對(duì)規(guī)則理解和運(yùn)用的影響．

后測(cè)卷的第4、5題就是考察反例對(duì)定理、法則、公式的理解和運(yùn)用的影響．

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，受知識(shí)的負(fù)遷移及思維定勢(shì)的消極影響，常常不注意定理、法則、公式的適用的范圍，或只是死記結(jié)論，或?yàn)E用命題的等效性，或忽略它們的前提條件，往往鬧出很多錯(cuò)誤．所以在簡易邏輯和對(duì)數(shù)的運(yùn)算的教學(xué)中針對(duì)某些定理給出一些相關(guān)命題，構(gòu)造出一些反例，判斷其不真；而在對(duì)照班里教師沒有借助反例幫助學(xué)生理解．

因此對(duì)于實(shí)驗(yàn)班在維度2的得分率為71.47%，對(duì)照班在維度2的得分率為57.42%，而他們的得分率相差了14.05%，可以認(rèn)為是由實(shí)驗(yàn)引起的．

后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班對(duì)規(guī)則理解運(yùn)用的成績見表4．

表4 后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班對(duì)規(guī)則理解運(yùn)用的成績

而且對(duì)后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班對(duì)定理、法則和公式的理解運(yùn)用的成績進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)班的成績水平高于對(duì)照班，其差異達(dá)到了顯著差異水平，t(63)=3.069，p=0.003．這說明，反例的使用對(duì)定理、法則和公式的理解運(yùn)用的影響是顯著差異的．

由此，可以推斷：反例的使用更好地幫助學(xué)生理解和運(yùn)用定理、法則、公式．

（3）反例對(duì)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤能力的影響．

后測(cè)卷的第6、9題就是考察反例對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和糾正數(shù)學(xué)中的錯(cuò)誤和漏洞的能力的影響．

第6題表面看來是一道求值題，實(shí)際上它是一道錯(cuò)題，當(dāng)我們可以取a=b=c=0，否定了問題的嚴(yán)密；第9題是一道糾錯(cuò)題，要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)某種算法的錯(cuò)誤．

學(xué)生在解題過程中囿于對(duì)知識(shí)掌握的不深刻、對(duì)問題思考的不全面、以及一些緊張情緒等等，這一切導(dǎo)致了學(xué)生解題的錯(cuò)誤．對(duì)于這種錯(cuò)誤，在實(shí)驗(yàn)班里教師利用反例來辨析錯(cuò)誤中．

現(xiàn)階段關(guān)于數(shù)學(xué)的習(xí)題集很多，難免良莠不齊，而且就算在一些權(quán)威性的書中也時(shí)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)題．這給解題者帶來很大的障礙，在實(shí)驗(yàn)班里教師注重通過考察題目中題設(shè)的完全性、結(jié)論的可能性、概念的準(zhǔn)確性、以及題設(shè)結(jié)論之間的和諧性來構(gòu)造出反例，讓學(xué)生不再迷信書本，加強(qiáng)批判性思維，達(dá)到自我的肯定．而在對(duì)照班里教師只是從正面糾正錯(cuò)誤．

因此對(duì)于實(shí)驗(yàn)班在維度3的得分率為84.41%，對(duì)照班在維度3的得分率為65.81%，而他們的得分率相差了18.60%，可以認(rèn)為是由實(shí)驗(yàn)引起的．

后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤能力的成績見表5．

表5 后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤能力的成績

對(duì)后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班對(duì)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤能力的成績進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)班的成績水平高于對(duì)照班，其差異達(dá)到了顯著差異水平，t(63)=2.720，p=0.008．這說明，反例的使用對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的能力的影響是顯著差異的．

由此，可以推斷：反例的使用有助于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和糾正數(shù)學(xué)中的錯(cuò)誤和漏洞的能力．

（4）反例對(duì)解題速度的影響．

后測(cè)卷的第7、8題就是考察學(xué)生使用反例來幫助解題的能力．

第7題由于考察的知識(shí)點(diǎn)學(xué)生沒有學(xué)過，但是要是用反例來解就很容易了．第8題舉出一個(gè)反例即得命題不成立．

在實(shí)驗(yàn)班中，教師介紹解選擇題時(shí)利用反例可排除選項(xiàng)中不合題意的項(xiàng)和解判斷題可以通過舉一個(gè)反例來否定一個(gè)命題的方法．在對(duì)照班中不講這兩種方法．

因此對(duì)于實(shí)驗(yàn)班在維度4的得分率為73.24%，對(duì)照班在維度4的得分率為60.32%，而他們的得分率相差了12.92%，可以認(rèn)為是由實(shí)驗(yàn)引起的．

后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班解題速度的成績見表6．

表6 后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班解題速度

而且對(duì)后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班對(duì)解題速度的成績進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)班的成績水平高于對(duì)照班，其差異達(dá)到了顯著差異水平，t(63)=2.696，p=0.010．這說明，反例的使用對(duì)學(xué)生解題的能力與解題速度的影響是顯著差異的．

由此，可以推斷：反例的使用有助于提高學(xué)生解題的能力與解題速度．

（5）反例對(duì)創(chuàng)造思維能力的影響．

后測(cè)卷的第9題通過讓學(xué)生構(gòu)造出反例來推翻某種解法來考察學(xué)生的創(chuàng)造思維能力．

文[7]中提到：在尋找、構(gòu)造反例的過程中，學(xué)生的創(chuàng)造性得到了最大限度地發(fā)揮；長期訓(xùn)練學(xué)生構(gòu)造反例，就是在訓(xùn)練學(xué)生的思維創(chuàng)造能力．因此在實(shí)驗(yàn)班中教師重視學(xué)生構(gòu)造反例能力的培養(yǎng)，而對(duì)照班卻不重視這個(gè)．

因此對(duì)于實(shí)驗(yàn)班在維度5的得分率為50.88%，對(duì)照班在維度5的得分率為39.68%，而他們的得分率相差了11.20%，可以認(rèn)為是由實(shí)驗(yàn)引起的．

后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班創(chuàng)造思維能力的成績見表7．

表7 后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班創(chuàng)造思維能力的成績

而且對(duì)后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班創(chuàng)造思維能力的成績進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)班的成績水平高于對(duì)照班，其差異達(dá)到了顯著差異水平，t(63)=2.214，p=0.032．這說明，反例的使用對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維能力的影響是顯著差異的．由此，可以推斷：反例的使用有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力．

然而學(xué)生的創(chuàng)造思維能力是受到多方面因素的影響，反例的構(gòu)造只是在一定程度影響了學(xué)生的創(chuàng)造思維能力．而且學(xué)生的創(chuàng)造思維能力不是一兩天就能促成的，而是長時(shí)間的積累促成的．因此實(shí)驗(yàn)對(duì)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力的檢驗(yàn)具有一定的局限性．

（6）總分．

實(shí)驗(yàn)班總分的得分率為78.41%，對(duì)照班總分的得分率為62.58%，而他們的得分率相差了15.83%．后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班的總成績見表8．

表8 后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班的總成績

而且對(duì)后測(cè)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班總成績進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)班的成績水平高于對(duì)照班，其差異達(dá)到了顯著差異水平，t(63)=3.150，p=0.002．這說明，反例的使用使得教學(xué)效果得到了改善．

后測(cè)試卷驗(yàn)證了我們的設(shè)想，即反例的使用使得教學(xué)效果得到了改善．

4 結(jié)論與建議

4.1 反例在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用

由對(duì)后測(cè)卷的結(jié)果分析可以總結(jié)得到，反例在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用主要有以下5點(diǎn)：

（1）加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解；

（2）幫助學(xué)生理解和運(yùn)用定理、法則、公式；

（3）發(fā)現(xiàn)和糾正數(shù)學(xué)中的錯(cuò)誤和漏洞；

（4）培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造思維能力；

（5）提高了學(xué)生解題的能力與解題速度．

4.2 關(guān)于反例的使用問題

（1）注意主次．教學(xué)中主要講授概念、定理和方法，對(duì)于基本的命題和結(jié)論應(yīng)予以嚴(yán)格的證明和推導(dǎo)．但舉反例重在說明結(jié)構(gòu)、辨清是非，故學(xué)生對(duì)反例的掌握要求不能太高，它應(yīng)是圍繞主要內(nèi)容進(jìn)行的有效的輔助手段．

（2）注意適當(dāng)．反例應(yīng)是經(jīng)過挑選的，既要簡單又能說明問題．讓學(xué)生構(gòu)造的反例難度應(yīng)該適當(dāng)，以免浪費(fèi)很多時(shí)間和精力，且使學(xué)生有挫敗感．不同的教學(xué)內(nèi)容、授課類型,應(yīng)運(yùn)用不同的反例，有不同的要求．

（3）教師選擇反例必須符合學(xué)生實(shí)際水平，不宜過難，要深入淺出．若例子難度太大，會(huì)使學(xué)生忽視概念的關(guān)鍵，強(qiáng)調(diào)了事物的無關(guān)因素，效果不好．例如，判斷命題“若3條直線a、b、c兩兩都是異面直線，則與a、b、c都相交的直線不一定存在”該判斷顯然不正確．這里是以學(xué)生們熟知的平行六面體為例來說明已知命題為假命題的．

（4）教師無須經(jīng)常開展數(shù)學(xué)反例教學(xué)專題課，只要在在平時(shí)教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)拇┎迨褂梅蠢?，或者在平時(shí)教學(xué)過程中遇到這類型的題目時(shí)和在作業(yè)評(píng)講課上使用，并能偶爾開展幾次專題課即可．

（6）不要過分強(qiáng)調(diào)通過反例來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，一方面是因?yàn)閷W(xué)生更多的是通過正面接受知識(shí)的，再就是反例的構(gòu)造確實(shí)有一定的難度．

4.3 對(duì)于恰當(dāng)發(fā)揮反例的作用的建議

（1）教師方面．

① 教師應(yīng)主動(dòng)去了解反例，認(rèn)識(shí)反例的重要性，掌握反例的構(gòu)造方法．學(xué)校應(yīng)多組織這種類型的學(xué)習(xí)，多鼓勵(lì)教師去參加相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，并聚集教師一起交流．

② 教師最好多讀書，多思考，從多渠道積累反例．同時(shí)，也要注意總結(jié)反例的使用經(jīng)驗(yàn)．在教學(xué)中逐步向?qū)W生滲透反例的思維，從而使學(xué)生在不斷反駁與肯定中達(dá)到自我思維的肯定、知識(shí)體系的完善．同時(shí)，在教學(xué)中逐步教給學(xué)生尋找、構(gòu)造反例的方法．使得學(xué)生的創(chuàng)造性得到最大限度地發(fā)揮．

③ 因?yàn)楦哔|(zhì)量的數(shù)學(xué)反例參考書很少，所以需要教師根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)去構(gòu)造相類似的反例．即教師本身就要掌握構(gòu)造反例的方法．

④ 要熟知學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，以班級(jí)的數(shù)學(xué)能力水平選擇好的、合適的數(shù)學(xué)反例．

⑤ 注意培養(yǎng)學(xué)生反例的思維和指導(dǎo)學(xué)生逐步體驗(yàn)構(gòu)造反例的方法．

（2）學(xué)生方面．

① 多相信自己的能力，多肯定自己的想法，多懷疑，多從正反兩面思考，多問為什么，多與老師討論．

② 主動(dòng)訓(xùn)練構(gòu)造反例，訓(xùn)練思維創(chuàng)造能力．

③ 學(xué)會(huì)利用反例來解題的方法．特別是解答選擇題時(shí)可以考慮從“特例”、“反例”上下功夫．

④ 構(gòu)造反例是比較困難的．所以學(xué)生不能有畏難的情緒，因?yàn)槟芰κ侵鸩脚囵B(yǎng)起來的．

[1] 馬克杰．高中數(shù)學(xué)中的反例[M]．濟(jì)南：山東教育出版社，1988．

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[4] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2004．

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[7] 楊逸峰．初等數(shù)學(xué)中反例的作用和構(gòu)造[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2004，（11）：36-37．

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[11] 高中數(shù)學(xué)“反例教學(xué)法”的模式研究[DB/OL]．http://yangxj.cixiedu.net/info_Show.as p?ArticleID=405, http://www. sxpyzx.com/ReadNews.asp?NewsID=1106

Experimental Study on Effect of Counterexamples to Mathematics Teaching in Grade one of Senior High School

ZENG Chun-yan1, YAO Jing2
(1. Department of Mathematics and Computer, Gaozhou Normal College, Guangdong University of Petrochem ical Technology, Guangdong Maoming 525200, China; 2. Department of Mathematics, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

Through the implementation of different teaching strategies in the experimental class and the control class, discusses the impact of counterexamples to the m iddle school mathematical teaching. The results show that: the appropriate use of examples make the teaching effect is improved. Mainly in the follow ing aspects: (1) a counterexample using enhance the students understanding of mathematical concepts; (2) better use of counterexamples help students understand and use theorem, formula, rule; (3) better use of counterexamples improve students finding and correcting errors and loopholes in mathematics; (4) better use of counterexamples help students improve the ability of solving problems and solving speed; (5) better use of counterexamples improve students finding and correcting errors and loopholes in mathematics; (4) better use of counterexamples contribute to the cultivation of students' creative thinking ability.

mathematical counter examples; concept usage; construction; experimental study

G420

：A

：1004–9894（2015）01–0077–05

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2014–09–05

廣東教育研究院院2014年度教育研究課題——專家—新手教師教學(xué)準(zhǔn)備的比較研究（GDJY-2014-A-b216）；廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院2013年度教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題——專家—新手教師備課的比較研究（2013GSKT08）

曾春燕（1984—），女，廣東信宜人，講師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究．