運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

王勝軍

摘 要：運(yùn)動(dòng)是永恒的，靜止是相對(duì)的，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看事物，往往最能把握事物間的本質(zhì)聯(lián)系。如立體幾何中的點(diǎn)到線、線到面、面到面的距離，變化的根本原因在一個(gè)“動(dòng)”字。對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題也要用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，尤其是那些與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn) 數(shù)學(xué)問(wèn)題 變化 本質(zhì)

中圖分類(lèi)號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）08（c）-0126-02

在哲學(xué)中，運(yùn)動(dòng)是指宇宙間一切事物現(xiàn)象的變化和過(guò)程 ，運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)的固有屬性和存在方式，運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)是無(wú)條件的永恒的絕對(duì)的，靜止是有條件的暫時(shí)的相對(duì)的，靜止時(shí)運(yùn)動(dòng)的一種特殊狀態(tài)，任何物質(zhì)都是絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)靜止的統(tǒng)一。在物理學(xué)中，經(jīng)常研究一些物體的變化，得出其中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。同樣，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，運(yùn)動(dòng)變換的思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要思想，運(yùn)動(dòng)變換的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中十分普遍的問(wèn)題.在平面解析幾何中，軌跡、曲線系、曲線的形狀和位置關(guān)系等問(wèn)題，都蘊(yùn)含了運(yùn)動(dòng)和變換的思想方法，這些數(shù)學(xué)內(nèi)容都在更為抽象的層面上揭示了代數(shù)變換和幾何變換的相互聯(lián)系，對(duì)于深化理解概念、開(kāi)闊解題思路具有重要的作用，在近幾年的高考數(shù)學(xué)中也逐步加大了對(duì)運(yùn)動(dòng)變換思想方法的考查力度。一些問(wèn)題蘊(yùn)含在點(diǎn)、線、面以及圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有通過(guò)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去研究問(wèn)題，才能找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

1 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中抓住特征量的變化

例1：已知三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=a，求此三棱錐體積的范圍。

分析：由題意可知，ΔPAB與ΔPAC為全等的正三角形，邊長(zhǎng)為a。而棱BC邊長(zhǎng)在變化，設(shè)點(diǎn)C到面PAB的距離為d，則若把ΔPAB固定，則ΔPAC繞直線AP旋轉(zhuǎn)，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，ΔPAB與ΔPAC重合時(shí)，d=0，若ΔPAB與ΔPAC所在面垂直時(shí)，d達(dá)到最大值a，0<。

例2，已知拋物線y=x-上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是-1，1，在拋物線弧AB上求點(diǎn)C，使ΔABC的面積取最大值。

分析：設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則=|AB|·d，過(guò)點(diǎn)C作直線l‖AB，l到AB的距離也為d，當(dāng)C在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與AB的距離最大即d最大，由A（-1，-2），B（1，0）知，又，令，x=0，則直線l與弧相切與點(diǎn)（0，0），即點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，0），此時(shí)d=，=|AB|×=1

以上兩個(gè)例子，盡管三棱錐，三角形在變化，但只要抓住它們的特征量，即它們的高，研究其特征量的變化，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。

2 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中抓住“臨界狀態(tài)”

例3，已知圓E：，點(diǎn)F（），P是圓E上任意一點(diǎn)。線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q。

（1） 求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡M的方程。

（2） 已知A，B，C是軌跡M上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且|CA|=|CB|，問(wèn)ΔABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相應(yīng)直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：（1）Q在線段PF的垂直平分線上，所以|QF|=|QP|，得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4

又EF=2<4，得Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為。

（2）由點(diǎn)A在第一象限，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)AB：y=kx（k>0），|CA|=|CB|

C在AB的垂直平分線上，CO：y=-x.由y=kx和得（1+4）x=4，|AB|=2|OA|=2=4，同理可得|OC|=2，=4，，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)，所以S，當(dāng)AB：y=x時(shí)。

例4，若關(guān)于x的方程=有正數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)y=，y=，函數(shù)y=可看成是由函數(shù)y=左右平移得到的，在這個(gè)平移運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，要滿(mǎn)足條件，只要抓住兩個(gè)“臨界狀態(tài)”：即y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和（0，1），即a=0和a=-2，在這兩個(gè)“臨界狀態(tài)”之間滿(mǎn)足要求，-2

可以看出，只要抓住“臨界狀態(tài)”，也就抓住了適合條件和不適合條件的“分水嶺”，從而使問(wèn)題有難到易。

3 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中建立目標(biāo)函數(shù)

在研究炮彈的運(yùn)行時(shí)，我們可以建立炮彈所處位置與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)對(duì)這一目標(biāo)函數(shù)的研究，便能掌握其運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

例5，正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0

（1） 求MN的長(zhǎng)。

（2） 當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最小。

分析：點(diǎn)M、N分別在AC和BF上運(yùn)動(dòng)，CM=BN=a，在這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中MN的長(zhǎng)可以表示為關(guān)于a的函數(shù)，作MP‖DC交BC與P，作NQ‖EF交BE與Q，則四邊形MNQP為平行四邊形，又由CM=BN=a可得：BP=1-a，BQ=a.MN=PQ==（0

通過(guò)對(duì)這個(gè)函數(shù)的研究可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)M從C點(diǎn)開(kāi)始移動(dòng)到A的過(guò)程中，MN的長(zhǎng)先逐漸變小又逐漸變大，并且當(dāng)a=即MN、為AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小。

例6，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點(diǎn)E滿(mǎn)足|AB|=|EC|，雙曲線過(guò)C，D，E三點(diǎn)，且以A，B為焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍。

分析：本題中點(diǎn)E在AC上運(yùn)動(dòng)，即從AC的處移動(dòng)到處，從而使雙曲線形狀引起改變，雙曲線的離心率e也隨之改變?？梢钥闯?，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，先把點(diǎn)E的坐標(biāo)表示為的函數(shù)，再把點(diǎn)E代入雙曲線方程，便可建立起與e的函數(shù)關(guān)系式。

建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（-c，0），C（，h），E（），由定比分點(diǎn)公式，得到關(guān)于的函數(shù)將（），C（，h）代入橢圓方程，得到消去，便可得到e關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。E=（）。

可以看出，當(dāng)點(diǎn)E從AC的處移動(dòng)到時(shí)，離心率e由。

參考文獻(xiàn)

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