香港兩種教材“圓的認(rèn)識(shí)”的比較研究（上）

朱樂(lè)平 浙江省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）研制組核心成員，浙教版數(shù)學(xué)教材副主編，浙江省基礎(chǔ)教育課程改革專(zhuān)家工作組成員，浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)副會(huì)長(zhǎng)，杭州市小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)會(huì)長(zhǎng)，杭州師范大學(xué)兼職碩士研究生導(dǎo)師。

當(dāng)通向目標(biāo)的路只有一條時(shí)，人們無(wú)法比較路的近遠(yuǎn)。當(dāng)有人提供一條新路后，才有了比較的機(jī)會(huì)。我們可以不認(rèn)同那條新的路，但對(duì)于提供新路的人，應(yīng)該永遠(yuǎn)心懷感激。同樣，成為一名好的數(shù)學(xué)教師，可以是人生的一個(gè)目標(biāo)，或許這個(gè)目標(biāo)不能與生命同生，但可以追求與生命共存！

香港自從1997年回歸祖國(guó)后，與大陸的交流越來(lái)越多，使得我們有機(jī)會(huì)更多地了解香港，了解香港的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。香港比較早就開(kāi)始實(shí)施“一綱多本”，多種不同版本的教材為香港的學(xué)校選擇提供了方便。本文試圖對(duì)香港的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“圓的認(rèn)識(shí)”部分進(jìn)行縱向比較。

一、選取哪些教材進(jìn)行比較

本文選取兩種教材進(jìn)行比較。它們分別是現(xiàn)代教育研究社有限公司出版的《現(xiàn)代數(shù)學(xué)》，1985年初版，1988年第二版（以下簡(jiǎn)稱(chēng)1985年教材）；新亞洲出版社有限公司出版的《小學(xué)數(shù)學(xué)》，2003年初版，2006年修訂（以下簡(jiǎn)稱(chēng)2003年教材）。兩種教材都是六年制教材。（特別說(shuō)明，這是兩種不同的出版社在不同時(shí)期的教材，所以，下面的比較不反映教材編者與出版社的水平，而是客觀地就這兩套教材的編寫(xiě)作比較研究。）筆者充分相信《現(xiàn)代數(shù)學(xué)》的最新版本也一定會(huì)有很多變化，遺憾的是筆者沒(méi)有這套教材在新世紀(jì)的版本。

二、兩種不同時(shí)期的教材把“圓的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，安排在哪一年級(jí)

1985年的教材把“圓的認(rèn)識(shí)”這一教學(xué)內(nèi)容安排在五年級(jí)下學(xué)期，即第十冊(cè)進(jìn)行教學(xué)；2003年的教材是在六年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)“圓的認(rèn)識(shí)”。1985年的教材是根據(jù)1983年頒布的《小學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》編寫(xiě)的，2003年的教材是根據(jù)2000年頒布的香港課程發(fā)展議會(huì)的《小學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)習(xí)領(lǐng)域——數(shù)學(xué)課程指引（小一至小六）》編寫(xiě)的。

三、“圓的認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容兩種教材分別是按照怎樣的順序進(jìn)行編寫(xiě)的，即教材的結(jié)構(gòu)是怎樣的

對(duì)“圓的認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容進(jìn)行編寫(xiě)時(shí)，會(huì)涉及畫(huà)圓、圓的各部分名稱(chēng)、圓的特征等內(nèi)容，教材的編者認(rèn)為怎樣的學(xué)習(xí)順序?qū)W(xué)生是有利的，就會(huì)有怎樣的編寫(xiě)結(jié)構(gòu)。

1985年的教材的編寫(xiě)順序如下：（1）畫(huà)圓，分為用其他的物體畫(huà)圓和用圓規(guī)畫(huà)圓。（2）先剪一個(gè)圓并對(duì)折，然后給出圓心、圓周、直徑、半徑等概念。（3）練習(xí)鞏固圓心、半徑與直徑的概念，并給出半徑與直徑的關(guān)系。（4）度量圓內(nèi)的線(xiàn)段，并給出直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的線(xiàn)段。（5）模仿畫(huà)圖。教材給出圖案，讓學(xué)生模仿畫(huà)圖，畫(huà)四個(gè)同心圓和三個(gè)半徑相等的圓。（6）給圖形涂色并設(shè)計(jì)圖案。（7）練習(xí)題。

2003年的教材把“圓的認(rèn)識(shí)”分成兩部分編寫(xiě)，分別是“圓的認(rèn)識(shí)（一）”與“圓的認(rèn)識(shí)（二）”。兩部分各有側(cè)重點(diǎn)。

“圓的認(rèn)識(shí)（一）”的編寫(xiě)順序如下：（1）認(rèn)識(shí)圓的特性。給出六個(gè)實(shí)物圖，讓學(xué)生根據(jù)圖回答問(wèn)題（有判斷是不是圓形的）。（2）認(rèn)識(shí)圓周、圓心、半徑和直徑。出示小文與小玲用圓形紙片對(duì)折后的圖，介紹圓的各部分名稱(chēng)。（3）認(rèn)識(shí)圓心、半徑和直徑的特性。①出示圓，讓學(xué)生明確直徑的特性：過(guò)圓心，兩個(gè)端點(diǎn)在圓上，在同一個(gè)圓中所有的直徑都相等。②出示圓，讓學(xué)生明確半徑的特性：在同一個(gè)圓中，所有的半徑都相等。③明確直徑與半徑的關(guān)系。④進(jìn)一步明確直徑的特性：直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的線(xiàn)段。（4）給出弦的概念；畫(huà)一組平行的弦，研究它們長(zhǎng)度的變化規(guī)律。直徑與弦的關(guān)系。（5）練習(xí)題。

“圓的認(rèn)識(shí)（二）”的編寫(xiě)順序?yàn)椋海?）一個(gè)拴住野馬的情境圖，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)圓的本質(zhì)屬性（平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)集）。（2）用不同的工具作圓。給出了四種工具作圓的圖示。（3）用圓規(guī)作圓。（4）要求畫(huà)指定半徑與直徑的圓。（5）探索一些由圓形構(gòu)成的圖案的特性。（6）欣賞一些由圓形構(gòu)成的圖案，并自己設(shè)計(jì)圖案。（7）練習(xí)題。（8）探索與發(fā)現(xiàn)。

四、兩種教材各是如何開(kāi)頭并引導(dǎo)教師與學(xué)生對(duì)“圓的認(rèn)識(shí)”進(jìn)行研究的

1985年的教材在編寫(xiě)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，先是利用多種不同的工具作圓，然后討論用這些工具作圓的特點(diǎn)，再引入用圓規(guī)作圓。

從上面的兩個(gè)引入過(guò)程，我們可以看到以下共同的特點(diǎn)。

（1）注重與學(xué)生生活實(shí)際的聯(lián)系。

無(wú)論是1985年的教材，還是2003年的教材，兩種教材都考慮到了圓是學(xué)生生活中比較常見(jiàn)的圖形，引入過(guò)程關(guān)注學(xué)生的生活實(shí)際。在1985年的教材中，通過(guò)畫(huà)圓，如用一元硬幣畫(huà)圓，讓學(xué)生感受到：生活中有圓。2003年的教材，則更是貼近學(xué)生的生活實(shí)際，一開(kāi)始出示的實(shí)物圖都是學(xué)生常見(jiàn)的，是學(xué)生書(shū)桌上的物品。這樣會(huì)讓學(xué)生感受到這些物品很親切，感受到圓就在我們身邊。

（2）強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)參與，展開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)。

從上面的教材中我們可以看到，1985年的教材一開(kāi)始就是學(xué)生的活動(dòng)，學(xué)生要運(yùn)用各種工具來(lái)畫(huà)圓。由于圓的概念是用發(fā)生式方式定義的，所以讓學(xué)生畫(huà)圓有利于對(duì)圓概念的理解與掌握。2003年的教材出示了六個(gè)實(shí)物的圖片后，讓學(xué)生觀察、思考，并給出了許多問(wèn)題讓學(xué)生回答，如要求回答：給出的這些實(shí)物圖片是直線(xiàn)型的，還是曲線(xiàn)型的？回答這樣的思考題，從事這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，無(wú)疑對(duì)于研究圓的特征會(huì)有很好的幫助。

兩種教材除了具有以上共同特點(diǎn)外，各自的個(gè)性也是十分明顯的。兩種教材主要存在以下的差異：

（1）1985年的教材是讓學(xué)生動(dòng)態(tài)地畫(huà)出圓，而2003年的教材是讓學(xué)生靜態(tài)地觀察圓。

動(dòng)態(tài)地畫(huà)出圓要求學(xué)生動(dòng)手操作，肢體與思想要同時(shí)活動(dòng)，具有一定的難度。靜態(tài)地觀察物體，思考并解決問(wèn)題，從判別一個(gè)圖形是不是圓的角度說(shuō)，難度要低一些。但由于教材給出的問(wèn)題是要為進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓的特征服務(wù)的，所以，要思考的這些問(wèn)題也有一定的難度。如要回答下面的問(wèn)題：

這個(gè)問(wèn)題就涉及球與圓的差異，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，有一定難度。

（2）2003年的教材比1985的教材更注重與學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，更突出對(duì)圓的特征的研究。

1985年的教材只是畫(huà)圓，畫(huà)圓的過(guò)程雖然也與研究圓的特征密切相關(guān)，但與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)系不大。2003年的教材出示了六個(gè)實(shí)物圖，并通過(guò)五個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考。如：哪些物品的外形是由直線(xiàn)組成的？哪些物品的外形是由曲線(xiàn)組成的？這樣的問(wèn)題，會(huì)啟發(fā)學(xué)生思考以前學(xué)過(guò)的一些平面圖形與今天要學(xué)的圓形的差異，可以在對(duì)比中突出圓的本質(zhì)屬性。通過(guò)像“2元硬幣的外形是不是圓形的？為什么”這樣的問(wèn)題，一方面貼近學(xué)生的生活實(shí)際，硬幣是學(xué)生十分熟悉的東西；另一方面，也引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，不是所有用曲線(xiàn)形成的圖形都是圓形。這樣的問(wèn)題貼近學(xué)生生活，靠近學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，又突出圓的本質(zhì)屬性。事實(shí)上，推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展有兩個(gè)最重要的動(dòng)力，一是數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾沖突要求有新的數(shù)學(xué)知識(shí)；二是生產(chǎn)和生活實(shí)際上有問(wèn)題，需要運(yùn)用新的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決。這也要求有新的數(shù)學(xué)知識(shí)。從2003年的教材中的五個(gè)問(wèn)題，我們可以看到，這兩個(gè)方面的內(nèi)容都有了，即既有數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的需求：有直線(xiàn)型與曲線(xiàn)型，以前研究直線(xiàn)型，現(xiàn)在需要研究曲線(xiàn)型；又有生活實(shí)際的需要：熟悉的許多物品中，存在著圓形，需要研究?？梢?jiàn)，從數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的角度來(lái)編寫(xiě)教材，是一種很好的編寫(xiě)思路。

五、兩種教材各是如何給出“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個(gè)概念的

與我們的教材相比，香港的教材不但給出了“圓心、半徑與直徑”這三個(gè)概念，還給出了“圓周”的概念。這些概念是“圓的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課中的重要概念?！皬?qiáng)調(diào)概念的發(fā)生過(guò)程”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的重要觀念。兩種教材如何引入這四個(gè)概念，將反映出編者對(duì)概念發(fā)生的觀念。

1985年的教材是先教學(xué)畫(huà)圓，在畫(huà)圓的基礎(chǔ)上，出示下面這段文字，定義圓周、圓心、半徑和直徑這四個(gè)概念。

從上面兩種教材對(duì)“圓周、圓心、直徑與半徑”概念的得出，我們可以看到它們有以下共同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

（1）兩種教材都是在學(xué)生的操作活動(dòng)后，再給出“圓周、圓心、半徑與直徑”這四個(gè)概念。比較有意思的是相隔近三十年的教材，在給出這四個(gè)概念前，都用了同一個(gè)活動(dòng)——學(xué)生折圓形紙片?？梢?jiàn)，兩種教材的編者不但認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生要重視過(guò)程，要讓學(xué)生在活動(dòng)中、在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上、在初步認(rèn)識(shí)了概念的本質(zhì)特征后，再給出概念名稱(chēng)，而且都認(rèn)為讓學(xué)生去折圓形紙片是一種既經(jīng)濟(jì)實(shí)用、操作方便，又有很強(qiáng)數(shù)學(xué)思考的活動(dòng)。

（2）兩種教材在設(shè)計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個(gè)概念的過(guò)程上存在著較大差異，在這四個(gè)概念的定義上也有著許多不同。兩種教材的差異主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

①在兩種教材中，一種教材要求學(xué)生剪一個(gè)圓形紙片，另一種教材則不要求學(xué)生剪圓形紙片。

1985年的教材是先讓學(xué)生剪一個(gè)圓形紙片，然后再折這個(gè)圓形紙片。而2003年的教材是直接用手工紙中的圓形紙片對(duì)折。筆者認(rèn)為，讓學(xué)生剪一個(gè)圓形的紙片，在剪的過(guò)程中，可以讓學(xué)生體會(huì)到“圓是由‘曲線(xiàn)圍成的圖形”這一特征，有利于學(xué)生理解圓的概念。

②在兩種教材中，一種教材對(duì)“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個(gè)概念的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)仔細(xì)，步子小，過(guò)程相對(duì)較長(zhǎng)。

2003年的教材對(duì)“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個(gè)概念的發(fā)生過(guò)程做得十分仔細(xì)：先闡述“小文把圓形紙片對(duì)折一次后再打開(kāi)”，然后結(jié)合圖示定義圓周概念，最后用直觀的、舉例的方法，定義“什么叫作點(diǎn)在圓周上”。

在定義了“什么叫圓周”和“什么叫點(diǎn)在圓周上”的含義后，先闡述：“小玲將圓形的紙對(duì)折兩次，然后打開(kāi)”，再給合圖示定義圓心、直徑與半徑的概念。從教材的篇幅來(lái)看，1985年的教材給出這個(gè)概念的定義只用了半面內(nèi)容，而2003年的教材用了一頁(yè)內(nèi)容。

③在兩種教材中，一種教材的數(shù)學(xué)邏輯性更強(qiáng)、更嚴(yán)密。

與1985年的教材相比，2003年的教材更具有數(shù)學(xué)的邏輯性，更嚴(yán)密。大家知道，直徑是通過(guò)圓心，兩端在圓周上的線(xiàn)段?！笆裁唇芯€(xiàn)段的兩端在圓周上”，這也是需要定義的概念。2003年的教材在定義直徑與半徑之前，先定義了“什么叫點(diǎn)在圓周上”，這樣邏輯線(xiàn)索就很清晰。

④在兩種教材中，對(duì)“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個(gè)概念下定義的精確程度不一樣。

1985年的教材對(duì)“圓周、圓心、直徑與半徑”這四個(gè)概念都下了比較精確的定義。如直徑的概念：通過(guò)圓心，畫(huà)一直線(xiàn)相交于圓周上兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的線(xiàn)段稱(chēng)為直徑。這樣表達(dá)的直徑概念已經(jīng)把直徑的本質(zhì)屬性揭示了出來(lái)。2003年的教材對(duì)這四個(gè)概念就沒(méi)有用“種+類(lèi)征”的方式來(lái)定義，而是只對(duì)這些概念作描述性的定義。2003年的教材是結(jié)合具體的、特殊的例子給出了概念的名稱(chēng)的。如直徑的概念：（結(jié)合圖示）CD和EF都是通過(guò)圓心O的線(xiàn)段，稱(chēng)為直徑。這種舉例的方式給出的描述性定義，實(shí)質(zhì)上沒(méi)有用文字的方式把直徑的本質(zhì)屬性揭示出來(lái)?？梢?jiàn)，在這四個(gè)概念的表達(dá)上，1985年的教材精確、嚴(yán)密的程度要比2003年的教材高。

從上面的兩種教材中，我們可以看到，兩種教材都是先給出直徑概念再給出半徑概念的。筆者認(rèn)為，如果從折紙活動(dòng)中引出這些概念，那么“折痕”就是“直徑”，從這個(gè)意義上說(shuō)，先出直徑的概念可能更為直觀，更有利于學(xué)生掌握?？梢?jiàn)，先表述直徑概念有一定的道理。