應(yīng)用構(gòu)造法證明不等式競(jìng)賽題

盧學(xué)謙　石菁

不等式的證明，憑借其簡(jiǎn)單的知識(shí)基礎(chǔ)、獨(dú)特的解題構(gòu)思、發(fā)散的證明方向、奇特的推理過程成為數(shù)學(xué)競(jìng)賽中永恒的熱點(diǎn)之一.構(gòu)造法，作為技巧性特別強(qiáng)的一種解題方法，主要通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)淖兞俊⒌仁?、函?shù)、圖形、數(shù)列、模型等輔助手段，使問題轉(zhuǎn)化，揭示出直觀和本質(zhì)的形式，從而有助于問題的解決.構(gòu)造法與不等式證明的結(jié)合，往往能相得益彰，迸發(fā)出令人贊嘆的思維火花.本文擬通過具體例子，分類闡述如何應(yīng)用構(gòu)造法證明不等式競(jìng)賽題.

1構(gòu)造函數(shù)關(guān)系證明不等式

所以原不等式成立.

2構(gòu)造圖形證明不等式

數(shù)形結(jié)合是最重要的數(shù)學(xué)思想之一，也是解決數(shù)學(xué)問題的有效方法之一，不等式的證明也是如此.如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系能以某種方式與幾何圖形建立關(guān)系或具有明顯的幾何意義，從而構(gòu)造圖形，將題設(shè)條件及數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得到實(shí)現(xiàn)，然后在所構(gòu)造的圖形中尋求所證的結(jié)論.

例3設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足0sin2x+sin2y+sin2z.

分析因坐標(biāo)平面里單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)可用三角函數(shù)來表示，這就啟示我們能否構(gòu)造單位圓來解決.

證明在直角坐標(biāo)平面上以原點(diǎn)為圓心作單位圓.考慮第一象限，在單位圓上取點(diǎn)A1，A2，A3，使得∠A1Ox=x，∠A2Ox=y，∠A3Ox=z.

由Eξ2-（Eξ）2≥0得x21x1+x2+x22x2+x3+…+x2nxn+x1≥12.

從以上幾例可以看出，構(gòu)造法是證明不等式競(jìng)賽題的重要方法.當(dāng)然運(yùn)用構(gòu)造法解題，必須對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握得非常熟練，必須有豐富的聯(lián)想和敢于創(chuàng)新的精神.不失時(shí)機(jī)地運(yùn)用構(gòu)造法，一定能激發(fā)學(xué)生的探索精神和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

（作者簡(jiǎn)介見本刊2014年第11期）