淺談證明不等式的方法

鐘勁松

1構(gòu)圖法的歷史

構(gòu)圖法，即構(gòu)造幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)來幫助說明不等式.構(gòu)圖法出現(xiàn)已經(jīng)有很長的歷史，可以追溯到十二世紀(jì)的古代中國，希臘和印度.一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為構(gòu)圖法不是一種嚴(yán)格的證明，構(gòu)圖法對于實(shí)際證明毫無價(jià)值，證明有且只有一種方式——推理，構(gòu)圖證明是不能夠接受的.但還有一部分?jǐn)?shù)學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)不僅是邏輯的，還是圖形的，作為數(shù)學(xué)教育工作者，必須把培養(yǎng)學(xué)生的想象能力作為重要的能力之一.數(shù)學(xué)教育家波利亞指出畫圖幫助理解題意，被認(rèn)為是經(jīng)典的教育學(xué)建議.愛因斯坦和龐加萊都認(rèn)為，我們應(yīng)該利用好我們的直覺；美國數(shù)學(xué)家加德納指出，許多情形下，一個(gè)平淡的證明加上一個(gè)幾何類似圖形，使得證明更加簡單和漂亮，定理的準(zhǔn)確性立見.所有的這些，都說明了構(gòu)圖法對幫助證明的重要性.

2幾個(gè)不等式的構(gòu)圖說明

高中數(shù)學(xué)選修模塊45《不等式選講》中的不等式主要有：基本不等式，絕對值不等式，平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，貝努利不等式.中學(xué)階段很多不等式的證明可以利用構(gòu)圖法來理解，下面列舉幾個(gè)不等式的構(gòu)圖.

2.1不等式a+b2≥ab（a，b為正數(shù)）的構(gòu)圖

不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)a+b2不小于它們的幾何平均數(shù)ab，即a+b2≥ab（a，b為正數(shù)），教材中一般構(gòu)造如下的幾何圖形來加強(qiáng)理解.

圖1圖2如圖1所示，在正方形ABCD中，有S△ABC+S△AFM-S矩形ABEF≥0，即a2+b2≥a·b，所以a+b2≥ab.基本不等式的另一種構(gòu)圖，如圖2所示，把半徑不等的兩圓水平放置，且都與直線AB相切，兩圓外切，有OF=a+b2，OE=a-b2.在直角三角形OEF中，利用勾股定理可知EF=ab，因?yàn)镺F>EF，所以a+b2≥ab.圖1～2都說明了不等式a+b2≥ab的幾何意義，并且能直觀地感知當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)“=”成立.

2.2不等式2aba+b

如圖3所示，M為圓A外一點(diǎn)，MA與圓A分別相交于P、Q兩點(diǎn)，MG，MR分別為圓A的切線和割線，PM=a，QM=b，a>b>0，則有HM

2.3不等式xr-1>r（x-1）的構(gòu)圖

當(dāng)n為正整數(shù)，x>-1時(shí)，（1+x）n≥1+nx成立，稱為貝努利不等式（Bernoulli inequality），其證明方法通常有數(shù)學(xué)歸納法和利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮.但形如xr-1>r（x-1）的不等式，不能采用類似于證明貝努利不等式的方法進(jìn)行證明，可采用構(gòu)圖法幫助證明.構(gòu)造如圖4所示的圖形，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=xr-1和y=r（x-1）的圖象，函數(shù)y=xr-1為經(jīng)過（1，0）點(diǎn)的凸函數(shù)，函數(shù)y=r（x-1）的圖象是斜率為r，經(jīng)過點(diǎn)（1，0）的直線，且直線y=r（x-1）與y=xr-1的圖象相切，切點(diǎn)為（1，0）.因此，當(dāng)r>1，x>0，x≠1時(shí)，不等式xr-1>r（x-1）恒成立.

2.4不等式ab

構(gòu)圖來幫助證明分布在數(shù)學(xué)中的各個(gè)方面，如代數(shù)，幾何，三角，微積分和動態(tài)幾何，不等式，數(shù)列，排列、組合等等.數(shù)學(xué)上許多的定理和概念，都可以用優(yōu)美、簡潔的圖形來表示.老師們應(yīng)該在平時(shí)教學(xué)中多注意總結(jié)，設(shè)計(jì)更多的圖來幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識，學(xué)好數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)變得更為直觀.