一種簡化的區(qū)間B樣條小波雜交應力元

卿光輝，張春潮

（中國民航大學航空工程學院，天津 300300）

一種簡化的區(qū)間B樣條小波雜交應力元

卿光輝，張春潮

（中國民航大學航空工程學院，天津 300300）

結(jié)合雜交應力元理論，分別以2階、4階0尺度小波函數(shù)為基礎，構(gòu)造了一種對應于雜交應力元的簡單形函數(shù)。這種形函數(shù)不僅克服了區(qū)間網(wǎng)格數(shù)成2的指數(shù)級增加而導致未知量增加的困難，同時簡化了計算過程。為了驗證理論的正確性，分析了二維彈性板在承受均布載荷下中線位移和應力的情況。在相同網(wǎng)格數(shù)的情況下，4階小波尺度函數(shù)構(gòu)造的雜交應力元計算結(jié)果比2階的計算結(jié)果更加準確。

有限元；雜交應力元；小波函數(shù)；形函數(shù)

小波有限元繼承了傳統(tǒng)有限元法離散逼近的優(yōu)點，能有效處理復雜的邊界條件[1]。同時，由于小波函數(shù)擁有多分辨、多尺度特性，所以得到一種提高精度的細化算法，即小波有限元在不改變網(wǎng)格劃分的條件下提高其分辨率，使其可以在問題大梯度處、小梯度處分別采用高階單元和低階單元，從而提高分析精度和分析效率[2]。

雜交單元應力場和應變場都是獨立假設的，所以可作為獨立的變量來求解，而不像位移法那樣求解單元的應力依賴于求解位移的導數(shù)。因此，基于雜交單元方法，不但應力精度更高，而且還具有數(shù)值穩(wěn)定性好的優(yōu)點[3]。傳統(tǒng)位移法等參元所遇到解的自鎖問題對雜交單元來說是不存在的，或容易解決。雜交單元靈活地構(gòu)造和選配單元應力場，對于確保裂紋前沿等奇異性問題和復合材料界面問題的可靠性非常重要[4]。

由于小波函數(shù)在數(shù)學計算上的復雜性，目前只在科研和工程上廣泛應用，但可以預見，隨著研究的不斷深入，小波雜交元將會成為有限元一個強有力的分支，未來有可能具有與普通的位移元方法一樣廣泛的工程應用前景。

文獻[5]中采用小波單元時，在區(qū)域內(nèi)以n×n（n= 2j+m-2，j＞jO，jO為保證至少有一個內(nèi)部小波的最小尺度）的形式劃分網(wǎng)格，這樣的網(wǎng)格劃分具有一定的局限性。特別是所用的樣條小波函數(shù)的階數(shù)較大時，網(wǎng)格將會成2的指數(shù)級增加，毫無疑問，對于一般的問題，這樣處理會給數(shù)值計算帶來困難。

本文在不影響計算結(jié)果精度的情況下，對小波插值函數(shù)進行了簡化。即通過直接使用某一區(qū)間段上的樣條小波尺度函數(shù)，結(jié)合雜交應力元理論的推導方法，按照形函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造了一種簡單的形函數(shù)。這種處理方法克服了網(wǎng)格數(shù)成2的指數(shù)級增加而導致未知量增加的困難，并使得計算更加方便、快捷。

1 雜交應力元

首先，在單元內(nèi)部假設獨立的應力場

其中：P={σ1…σM}為應力矩陣；σi為假設的應力模式；βi為對應的應力參數(shù)。位移場

根據(jù)（H-R）廣義變分原理[6]，可獲得應力參數(shù)和節(jié)點位移之間的關系為

因此，矩陣形式的控制方程為

其中

為單元剛度矩陣；fe為等效節(jié)點載荷；G為杠桿矩陣；H為單元柔度矩陣，其相應的表達式為

其中

為柔度矩陣；E為彈性模量；μ為泊松比。

根據(jù)一般有限元的方法，可以求得未知節(jié)點位移ae。然后由式（2）求得單元位移場，并由式（1）和式（3）求得單元應力場[6]為

2 小波單元的構(gòu)造

以下由B樣條小波函數(shù)的尺度函數(shù)構(gòu)造滿足形函數(shù)條件的小波插值函數(shù)，并在此基礎上構(gòu)造出求解平面問題的小波雜交應力單元。

2.1 插值函數(shù)的選擇

0尺度2階和4階樣條小波尺度函數(shù)的表達式分別如下[2]

2.2 二維四節(jié)點2階樣條小波單元

自然坐標系中二維四節(jié)點單元如圖1所示。

圖1 自然坐標系中二維四節(jié)點單元Fig.1 2-D four-node element of natural coordinates

在文獻[6-7]中，是以矩陣的形式假設位移模式。但在這里，采用以下形式假設單元中任一點的橫向位移模式[8]為

其中，a1、a2、a3、a4為待定系數(shù)。當ξ=-1，η=-1時，u= u1=a4；當ξ=1，η=-1時，u=u2=a2；當ξ=1，η=1時，u=u3=a1；當ξ=-1，η=1時，u=u4=a3。

于是可得

因此，式（12）可寫成

同理可得單元內(nèi)任一點縱向位移v，其形式與式（12）相同。因此，小波形函數(shù)為

將式（13）代入式（2），可求得二維四節(jié)點小波單元的位移場

其中：ue為單元位移場

為單元節(jié)點位移列陣

為小波插值函數(shù)。

2.3 二維四節(jié)點4階樣條小波單元

采用與2階樣條小波相似的方法，假設單元中任一點的橫向位移為

同理，可以求出式（17）中的系數(shù)

所以可得到其形函數(shù)為

3 應用實例

算例1 如圖2和圖3所示，二維空間中有一兩端固支正方形彈性平面體，厚度t=0.1 m，長度L=1 m，彈性模量E=3×104Pa（本文的彈性模量與參考文獻相比做了變化，但只會影響位移的數(shù)量級，計算誤差時沒有影響，即E的階數(shù)變小使變形圖的變形更明顯），泊松比μ=0.16，在其面內(nèi)承受y方向的均布載荷q=1×105N/m[2]。

圖2 承受面內(nèi)均布載荷作用的兩邊固支板（30×30）Fig.2 Both sides of fixed plate under uniformly distributed loads（30×30）

在以下的數(shù)值對比中，取模型中有代表性的點進行比較分析，即取中線（沿x方向）上節(jié)點的位移v與中線（沿y方向）上節(jié)點的應力σx與對應的理論解[9]比較，同時用ANSYS軟件分別建立30×30和20×20網(wǎng)格有限元模型分析計算。最后分別計算誤差，如表1和表2所示。其變形圖如4所示。

圖4 網(wǎng)格劃分Fig.4 Grid division

表1 用BSWI20插值的位移v和應力σx計算結(jié)果及其與理論解的誤差Tab.1 Result and error of displacement v and stress σxfor BSWI20 interpolation

表2 用BSWI40插值的位移v和應力σx計算結(jié)果及其與理論解的誤差Tab.2 Result and error of displacement v and stress σxfor BSWI40 interpolation

通過分析表1和表2可以注意到，位移和應力的誤差均在允許范圍之內(nèi)。所以本文構(gòu)造的簡化小波雜交應力元是正確的，并且在劃分較少網(wǎng)格情況下本文的算法更加精確，特別是用4階樣條小波函數(shù)所得結(jié)果。觀察ANSYS所得應力結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在正負應力交替的地方，誤差突然變大，說明在此節(jié)點位置有一定的奇異性，而傳統(tǒng)有限元在網(wǎng)格劃分較少的情況下不能準確地將這一變化刻畫出來，本文算法可以較為真實地反映此處應力變化情況。同時還可看出，位移求解精度很高，而應力求解結(jié)果與理論解相比誤差較大，其原因在于由位移結(jié)果所產(chǎn)生的應力是通過式（1）和式（3）微分運算得到的。

算例2 將算例1所建立的模型用不同的網(wǎng)格數(shù)進行分析，比較在劃分不同網(wǎng)格的情況下，最大位移計算結(jié)果與理論結(jié)果的誤差百分比。本例沒有對最大應力進行比較，因為應力是采用位移結(jié)果且通過式（1）和式（3）微分運算得到的，所以只用位移的精度來說明此方法的正確性。最大位移v的比較結(jié)果如表3和表4所示（其中理論解：最大位移v=-2.281 4）。

表3 2階小波函數(shù)在不同網(wǎng)格數(shù)下的最大位移vTab.3 Maximum displacement v of 2-order wavelet function in different grid numbers

表4 4階小波函數(shù)在不同網(wǎng)格數(shù)下的最大位移vTab.4 Maximum displacement v of 4-order wavelet function in different grid numbers

從表3和表4可以看出，兩種小波尺度函數(shù)構(gòu)造的插值函數(shù)都能使計算結(jié)果非常精確，說明此種簡化的小波雜交應力元的構(gòu)造是正確的。

由表3和表4比較，隨著劃分網(wǎng)格數(shù)的增加，由兩種小波雜交應力元所計算的最大位移結(jié)果與理論解的誤差呈逐漸減小趨勢。而且在相同網(wǎng)格數(shù)的情況下，4階小波尺度函數(shù)構(gòu)造的雜交應力元計算結(jié)果比2階的計算結(jié)果更加準確，說明高階樣條小波的尺度函數(shù)作為插值函數(shù)與雜交應力元結(jié)合具有優(yōu)越性。

4 結(jié)語

本文為區(qū)間B樣條小波有限元提出了一種簡化的位移模式，即將矩陣形式換成了函數(shù)運算，并與雜交應力元結(jié)合，構(gòu)建了簡化的小波雜交應力元。最后，通過對二維彈性方形板應力和位移的計算結(jié)果進行分析，驗證了該小波雜交應力元的正確性和優(yōu)越性?？梢缘贸?，階次高的區(qū)間小波用較少的網(wǎng)格就能得到理想結(jié)果，節(jié)省單位剛度矩陣形成、方程求解、網(wǎng)格劃分的計算時間。網(wǎng)格數(shù)目越大，計算結(jié)果越精確。

[1]SWELDENSW.Wavelets：what next[J].IEEE，Proceeding of the IEEE，1996，4：680-685.

[2]何正嘉，陳雪峰.小波有限元理論及其工程應用[M].北京：科學出版社.2006.

[3]卞學鐄.雜交應力有限元法的研究進展[J].力學進展，2001（3）：344-349.

[4]吳長春，黃茂光.雜交有限元進展[J].自然科學進展，1999（12）：3-10.

[5]劉艷紅，商中新.區(qū)間B樣條小波雜交應力元分析及其應用[J].中國民航大學學報，2013，31（2）：75-79.

[6]PIAN D P CHEN.On the suppression of zero energy deformation modes[J].Int J Numer Methods Engng，1973，19（12）：1741-1752.

[7]譚德坤，孫 輝，付雪峰.基于小波有限元的平面問題求解方法[J].河北工程大學學報（自然科學版），2008（3）:106-109，112.

[8]韓建剛.小波有限元理論及其在結(jié)構(gòu)工程中的應用[D].西安：西安建筑科技大學，2003.

[9]TIMOSHENKO S P，GOODIER J N.Theory of Elasticity[M].3rd ed.New York:McGraw-Hill Press，1970.

（責任編輯：楊媛媛）

Simplified interval B-spline wavelet on interval hybrid stress element

QING Guang-hui，ZHANG Chun-chao
（College of Aeronautical Engineering，CAUC，Tianjin 300300，China）

Combining with the hybrid stress finite element theory，based on 2-order/4-order 0 scale wavelet functions，a type of shape function is presented and the process of computer is reduced.The shape function can overcome the difficulty of unknown number increase exponentially with 2 to the power of n.In order to verify the correctness of current formulation，the median displacement and stress of 2-D elastic rectangular plate under uniformly distributed load is analyzed with different meshes.With the same mesh，the results of 4-order wavelet function are more accurate than that of 2-order wavelet function.

finite element；hybrid stress element；wavelet function；shape function

O343.1

：A

：1674－5590（2015）06－0050－05

2014-12-15；

：2015-01-04

：國家自然科學基金項目（60979001）

卿光輝（1968—），男，湖南新化人，教授，博士，研究方向為結(jié)構(gòu)力學.