定軸轉(zhuǎn)動中打擊中心位置分析

單會會　史　博　麻曉敏　陶宗明

(陸軍軍官學(xué)院基礎(chǔ)部物理教研室，安徽合肥　230031)

定軸轉(zhuǎn)動中打擊中心位置分析

單會會史博麻曉敏陶宗明

(陸軍軍官學(xué)院基礎(chǔ)部物理教研室，安徽合肥230031)

摘要剛體定軸轉(zhuǎn)動的打擊中心是一個很重要的力學(xué)概念，但在很多《大學(xué)物理》教材中都沒有介紹．本文以一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿繞端點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動為例，首先從動力學(xué)的角度，分析剛體的受力和力矩，根據(jù)動力學(xué)方程，分別計算出打擊中心位置；然后從運(yùn)動學(xué)角度出發(fā)，以轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)的切向速度和切向加速度等于零為條件，再分別尋找打擊中心的位置．計算結(jié)果表明：上述4種方法得出的剛體打擊中心位置是相同的．最后簡介剛體打擊中心在體育運(yùn)動、日常生活中一些應(yīng)用．

關(guān)鍵詞剛體；定軸轉(zhuǎn)動；打擊中心

ANALYSIS OF THE CENTER OF PERCUSSION OF RIGID BODY ROTATION ABOUT A FIXED AXIS

Shan Huihui Shi Bo Ma Xiaomin Tao Zongming

(section of physics t&R，Department of basic sciences，Army officer AcAdemy，hefei，Anhui 230031)

Abstract the center of percussion of rigid body rotating About a fixed Axis is An importAnt mechAnicAl concept，but it is not introduced inmany“collAgephysics”books．inthispaper，we take a thin uniform rod rotating Around a fixed end as an example．firstly we calculAte the center of percussion of the rod from the force's and torque's dynAmicAl equAtion respectively；then we seArch the center of percussion of the rod from Kinematical condition thAt the tangential speed And tangential Acceleration of the rod's fixed point o are zero．thecomputingresults indicAte thAt the enter of percussion of the rod Are sAmefromAbovefourmethods．finAlly it is introduced thAt some Applications of center of percussion in sports and daily life．

Keywordsrigidbody；rotAtionAboutafixedAxis；centerofpercussion

1問題的引入

當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，如果受到外力打擊，一般都會在支點(diǎn)處產(chǎn)生較大的附加力，這種力在實際應(yīng)用中往往危害很大．比如使用錘子敲打夯擊中，打擊瞬間，被打擊物要對緊握錘柄的手產(chǎn)生較強(qiáng)的反作用力．若操作不當(dāng)，會使人感受到手臂發(fā)麻，嚴(yán)重時會使虎口震裂．但是，當(dāng)外力作用在剛體上某個特殊位置時，剛體達(dá)到動平衡，這時附加壓力可以部分地消除．這個外力作用的特殊位置，就是剛體的打擊中心[1]．因此尋找剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的打擊中心有利于減少在打擊時所帶來的危害．

本文以特殊的剛體—一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿為例(其他形狀的剛體僅轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)心位置不同而已[2])來進(jìn)行分析．圖1所示為一均勻細(xì)桿，長為L，質(zhì)量為m，其一端可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，桿子的質(zhì)心位置為C點(diǎn)，顯然質(zhì)心位于桿子的中心處．設(shè)一外力大小為F，方向垂直細(xì)桿，作用點(diǎn)距離O 點(diǎn)為b．當(dāng)作用點(diǎn)為一特殊位置時，即剛體的打擊中心，不管外力是否為恒力，其大小如何，持續(xù)時間多長，O 點(diǎn)在垂直于支點(diǎn)與質(zhì)心的連線的方向(如圖1所示的水平方向)受到的約束力N 恒為零．下面從動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)兩個角度來尋找剛體的打擊中心位置．

圖1　均勻細(xì)桿的定軸轉(zhuǎn)動

2動力學(xué)分析

從力和力矩的角度，分析定軸轉(zhuǎn)動剛體的打擊中心位置．有兩種分析方法：

一種是假設(shè)轉(zhuǎn)軸處在水平方向有附加力，根據(jù)動力學(xué)方程算出它的表達(dá)式，然后令這個水平方向上的附加力為零，得出打擊中心的位置；另一種是假設(shè)轉(zhuǎn)軸處在水平方向沒有附加力，再根據(jù)動力學(xué)方程算出打擊中心的位置．具體如下：

方法一，設(shè)作用在桿子轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)沿水平方向的附加力為N．由剛體的轉(zhuǎn)動定律得

(1)

對桿子質(zhì)心，設(shè)其切向加速度為ac，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理可得，

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)解得

(3)

方法二，若桿子在轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)水平方向不受力，對質(zhì)心C而言，可由外力矩算出其產(chǎn)生的切向加速度，同時也可由外力計算其產(chǎn)生的切向加速度.在桿子轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)不受水平力的情況下，質(zhì)心的切向加速度滿足

(4)

(5)

3運(yùn)動學(xué)分析

在地面上建立一個絕對坐標(biāo)系，再以桿子質(zhì)心為原點(diǎn)建立一個相對坐標(biāo)系——質(zhì)心坐標(biāo)系.假設(shè)轉(zhuǎn)軸處在水平方向沒有附加力，轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)原來是靜止的，經(jīng)過外力打擊后，O點(diǎn)絕對速度和絕對加速度情況應(yīng)該仍為零.以O(shè)點(diǎn)的絕對速度和絕對加速度情況等于零為條件，尋找打擊中心的位置[3].具體有如下兩種方法：

方法三，通過O點(diǎn)的絕對速度來計算.設(shè)外力F的作用時間為Δt，由定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理得

(6)

可得質(zhì)心的速度，即質(zhì)心坐標(biāo)系的牽連速度為

(7)

方向與外力F同向.

在質(zhì)心坐標(biāo)系中，桿子繞質(zhì)心C點(diǎn)轉(zhuǎn)動，由剛體定軸角動量定理得桿子的相對角速度ω2為

(8)

得

(9)

則O點(diǎn)的絕對速度為

(10)

方法四，通過O點(diǎn)的絕對切向加速度來計算.由質(zhì)心運(yùn)動定理可得質(zhì)心C處的切向加速度，即質(zhì)心坐標(biāo)系的相對切向加速度為

(11)

方向與外力F方向相同，沿著切線方向.

在質(zhì)心坐標(biāo)系中，桿子繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律為

(12)

則，O點(diǎn)的絕對切向加速度為

(13)

以上4種方法分析過程不同，但得出的桿子打擊中心位置卻是相同的.

4應(yīng)用

剛體定軸轉(zhuǎn)動時的打擊中心，在體育運(yùn)動、日常生活中都有著廣泛的應(yīng)用.在有擊球的體育項目中，如使用羽毛球拍、乒乓球拍、棒球棒時，當(dāng)球擊中器械的打擊中心時，可使握器械的手腕受到反作用力沖擊而致痛或受傷的幾率減小到最低限度.且當(dāng)運(yùn)動員扣球或踢球時，若使其上下肢屈曲成一定的角度，恰巧讓打擊中心在腕部或踝部，踢球或扣球時其肩關(guān)節(jié)或髓關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)反力最小，乃至等于零，有助于有效避免該關(guān)節(jié)處產(chǎn)生運(yùn)動損傷，這在體育技術(shù)的運(yùn)動中有重要意義[4].

同樣，在日常生活中，無論是使用錘子敲打夯擊[5]、鋤頭鋤地、斧頭劈柴還是刀剁骨頭，都要找一個打擊中心，這樣握手的地方震感最低，感覺最舒服，也最不容易磨出泡.

參考文獻(xiàn)

[1]趙強(qiáng),劉丹東. 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動細(xì)桿在軸處不受力的條件[J].物理與工程,2002,12(4): 15,19.

[2]周瑞雪. 對幾種不常見剛體轉(zhuǎn)動慣量的研究[J].物理與工程, 2012, 22(5): 19-21,29.

[3]趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程力學(xué)[M].2版. 北京:高等教育出版社,2004:157-159.

[4]楊潔,鄭建岳. 人體上下肢中心在體育實踐中應(yīng)用的理論研究[J].浙江師大學(xué)報自然科學(xué)版,1996,19(1):68-71.

[5]譚青,張芙蓉. 錘式破碎機(jī)銷軸沖擊實驗研究[J].礦冶工程,2000,20(1):36-37.

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通訊作者：陶宗明，男，教授，主要從事物理教學(xué)和激光雷達(dá)大氣探測研究．zmtao@aiofm.ac.cn

作者簡介：單會會，女，講師，主要從事物理教學(xué)和激光雷達(dá)大氣探測研究．shanhuihui0517@sina.com

收稿日期：2014-08-21