讓“錯(cuò)誤”閃亮數(shù)學(xué)課堂

丁靜

在課堂教學(xué)中，由于種種原因?qū)W生出現(xiàn)錯(cuò)誤是不可避免的.從某種意義上來(lái)說(shuō)錯(cuò)誤也是一種“資源”，教師如何正確看待和利用這一“資源”對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量有著積極的價(jià)值.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯(cuò)誤”.作為學(xué)生學(xué)習(xí)引導(dǎo)者的教師，不同的“錯(cuò)誤”觀將成就不同的課堂，教師對(duì)待學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤的態(tài)度，對(duì)今后學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和探究問(wèn)題的熱情都有較大的影響.以下是筆者在教學(xué)實(shí)踐中遇到的幾個(gè)實(shí)例.

一、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生自信的源動(dòng)點(diǎn)

學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、探索解題思路的過(guò)程中，常常因?yàn)檎J(rèn)知水平的限制或思維方向的偏差產(chǎn)生思維阻滯，此時(shí)如果簡(jiǎn)單地否定則既會(huì)扼殺學(xué)生的自信心又會(huì)浪費(fèi)教學(xué)過(guò)程中的生成性資源.但是如果通過(guò)老師的適當(dāng)引導(dǎo)，則常常能使學(xué)生突破定勢(shì)、激活思維，深入理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，找到解決問(wèn)題的路徑，收到豁然開(kāi)朗的效果.

例1：如圖，已知■=■=■，那么∠ABD=∠ACE嗎？

有一位學(xué)生上黑板解答如下：

解：∠ABD=∠ACE成立

∵■=■=■

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

即∠BAD=∠CAE

這位學(xué)生做完后，我要求他檢查好再回座位.于是他就認(rèn)真地檢查起來(lái)，突然他發(fā)現(xiàn)題目要證的是“∠ABD=∠ACE而非∠BAD=∠CAE”，“啊”了一下立即找黑板擦準(zhǔn)備擦去.此時(shí)我勸他等一下，同時(shí)引導(dǎo)他：剛才板書(shū)的對(duì)證明結(jié)論有用嗎？學(xué)生回答要證∠ABD=∠ACE就要證△ABD∽△ACE.我再加以引導(dǎo)：∠BAD和∠CAE是△ABD和△ACE的內(nèi)角嗎？于是學(xué)生發(fā)現(xiàn)已證的∠BAD=∠CAE可用，再?gòu)囊阎獥l件找到■=■可轉(zhuǎn)化為■=■，再利用兩對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等兩三角形相似證明結(jié)論.

學(xué)生在解題過(guò)程中，有時(shí)由于審題不清，考慮不周而產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，從認(rèn)知理論的觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)知識(shí)不能簡(jiǎn)單地由教師傳遞給學(xué)生，而應(yīng)該通過(guò)學(xué)生自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變建構(gòu)學(xué)生自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解.所以在學(xué)生犯錯(cuò)時(shí)老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力，從而增強(qiáng)自信心.

二、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生學(xué)習(xí)新知的切入點(diǎn)

例2：若x■，x■是方程x■-（k-2）x+（k■+3k+5）=0的兩實(shí)數(shù)根，求x■■+x■■的最大值.

學(xué)生解題時(shí)易犯錯(cuò)誤為：由x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■=-（k+5）■+19，故得x■■+x■■的最大值為19.

教師講評(píng)時(shí)，可不加評(píng)價(jià)地公布上述解法，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出自己的思路.教師評(píng)價(jià)著重在以下幾點(diǎn)：

1.概括解決方案：利用根與系數(shù)關(guān)系，運(yùn)用配方法.

2.解題過(guò)程偏差糾正：初中只研究實(shí)數(shù)根，判別試Δ≥0舉足輕重，不可掉以輕心.

3.正確解答（略）（答案：當(dāng)k=-4時(shí)，有最大值18）.

可以看出，學(xué)生在解題過(guò)程中，有時(shí)由于概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤.所以教師在講評(píng)過(guò)程中，應(yīng)針對(duì)學(xué)生普遍存在的解完題目不復(fù)查的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，教育學(xué)生在經(jīng)歷一道數(shù)學(xué)題的苦思冥想得出答案后，還要更深層次地探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識(shí)和能力？驗(yàn)證解題結(jié)論是否正確合理，命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過(guò)程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善？本題有無(wú)其他解法或一題多解？眾多解法中哪一種最簡(jiǎn)捷？把本題的解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，能否得到更有益的普遍性結(jié)論，從而舉一反三，多題一解？……如此種種，便能對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證.避免結(jié)論荒唐，引為笑柄之說(shuō).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要重視邏輯演繹式的數(shù)學(xué)證明，還應(yīng)提高學(xué)生反思能力，使其真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并能重新構(gòu)建自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

三、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索點(diǎn)

教師在教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)問(wèn)題的表面現(xiàn)象，深入細(xì)致地考慮，努力培養(yǎng)自己思維的嚴(yán)密性，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.可以設(shè)計(jì)答案不唯一、有兩解或多解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果學(xué)生考慮不全面，思維不嚴(yán)謹(jǐn)，就容易出現(xiàn)漏解，進(jìn)入教師設(shè)置的“陷阱”中.

例3：如圖AC⊥BC，∠D=90°，AC=■，CD=■，BC=■，求AB.

課堂上我請(qǐng)一位學(xué)生回答如何求，這位學(xué)生很熟練地回答利用相似求解.于是我就讓她繼續(xù)講解，我來(lái)板書(shū).

當(dāng)學(xué)生回答至“△ACB～△CBD時(shí)，■=■”時(shí)，自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，沒(méi)有對(duì)應(yīng)，就立即改為：

“△ACB～△CDB時(shí)，■=■即■=■，∴AB=3.”

此時(shí)大家很滿意，我卻沒(méi)有讓這位學(xué)生坐下，而是引導(dǎo)她發(fā)現(xiàn)剛才錯(cuò)誤是由于沒(méi)對(duì)應(yīng)，能否確定現(xiàn)在肯定對(duì)應(yīng)？于是這位學(xué)生又仔細(xì)地檢查了一遍，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還有一種對(duì)應(yīng)，還可以用勾股定理直接求得AB的長(zhǎng)度，根本用不著大張旗鼓用相似的知識(shí)解決，這下大家才真正滿意了.

從學(xué)生犯錯(cuò)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，通過(guò)探索把新知和舊知融合，達(dá)到融會(huì)貫通的能力，不僅可以鞏固新學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，而且可以復(fù)習(xí)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生自主探索、自主發(fā)展的能力.

四、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生創(chuàng)造性思維的生長(zhǎng)點(diǎn)

弗賴登塔爾說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法就是實(shí)行‘再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生.”對(duì)待糾錯(cuò)這一學(xué)習(xí)過(guò)程，教師的態(tài)度也應(yīng)如此.

現(xiàn)代教育心理學(xué)指出：學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程不僅是一個(gè)接受知識(shí)的過(guò)程，而且是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程一方面是暴露學(xué)生產(chǎn)生各種問(wèn)題和矛盾的過(guò)程，另一方面是展示學(xué)生聰明才智、形成獨(dú)特個(gè)性與創(chuàng)新成果的過(guò)程.正因?yàn)槿绱?，新課程強(qiáng)調(diào)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn).數(shù)學(xué)新知的教學(xué)如此，鞏固練習(xí)形成技能的過(guò)程更應(yīng)如此.因此在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自己對(duì)自己的解題思路進(jìn)行認(rèn)真的回顧和分析，將錯(cuò)就錯(cuò)，利用學(xué)生解題中的“錯(cuò)誤”重新設(shè)計(jì)練習(xí)，讓學(xué)生明白為何出錯(cuò)，才能使學(xué)生避免重蹈覆轍.

例4：選擇題：若關(guān)于x的一元二次方程k■x■-（2k-1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（ ）

A.k≤■ B.k≤■且k≠0 C.k≥■ D.k≥■且k≠0

我發(fā)現(xiàn)有些粗心的同學(xué)選A.于是請(qǐng)大家討論：你認(rèn)為選A錯(cuò)在哪兒？同學(xué)們開(kāi)始討論起來(lái)，有的同學(xué)說(shuō)，剛才的同學(xué)沒(méi)考慮一元二次方程中k■≠0.我很滿意，并進(jìn)一步問(wèn)：能否改下條件讓答案選A？一聽(tīng)說(shuō)讓他們改編題目，同學(xué)們都很興奮，都立即思考起來(lái)，積極性非常高.最后同學(xué)們發(fā)現(xiàn)只要把題中的“一元二次”四個(gè)字去掉就成功了.根據(jù)錯(cuò)誤的答案改編題，練習(xí)方式新穎，學(xué)生非常感興趣，效果很好.

抓住學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的一些可利用的“錯(cuò)誤”重新設(shè)計(jì)教學(xué)，重新設(shè)計(jì)練習(xí)，不但可以鍛煉教師處理課堂教學(xué)突發(fā)事件的能力，提高教師的教育機(jī)智，還可以使犯“錯(cuò)誤”學(xué)生的自尊心得到保護(hù)，在課堂教學(xué)中營(yíng)造出一種和諧、寬容、民主的教學(xué)氛圍.從而提高學(xué)生的參與程度，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，可謂一舉兩得.

在數(shù)學(xué)實(shí)踐中學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤是美麗的，教師應(yīng)用資源的眼光看待錯(cuò)誤，鼓勵(lì)學(xué)生的每一次成功，哪怕是“錯(cuò)誤”中的成功因素，使學(xué)生充分感受到探索數(shù)學(xué)知識(shí)的樂(lè)趣，自然而然地將身心融入特有的感情氛圍中，并輔以策略處理，在糾錯(cuò)、改錯(cuò)中感悟道理，領(lǐng)悟方法，發(fā)展思維，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.讓動(dòng)態(tài)生成的“錯(cuò)誤”成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)亮點(diǎn)，讓其閃現(xiàn)創(chuàng)新的火花，發(fā)揮應(yīng)有的價(jià)值，讓“錯(cuò)誤”因此美麗起來(lái)，讓錯(cuò)誤閃亮數(shù)學(xué)課堂.endprint

在課堂教學(xué)中，由于種種原因?qū)W生出現(xiàn)錯(cuò)誤是不可避免的.從某種意義上來(lái)說(shuō)錯(cuò)誤也是一種“資源”，教師如何正確看待和利用這一“資源”對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量有著積極的價(jià)值.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯(cuò)誤”.作為學(xué)生學(xué)習(xí)引導(dǎo)者的教師，不同的“錯(cuò)誤”觀將成就不同的課堂，教師對(duì)待學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤的態(tài)度，對(duì)今后學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和探究問(wèn)題的熱情都有較大的影響.以下是筆者在教學(xué)實(shí)踐中遇到的幾個(gè)實(shí)例.

一、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生自信的源動(dòng)點(diǎn)

學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、探索解題思路的過(guò)程中，常常因?yàn)檎J(rèn)知水平的限制或思維方向的偏差產(chǎn)生思維阻滯，此時(shí)如果簡(jiǎn)單地否定則既會(huì)扼殺學(xué)生的自信心又會(huì)浪費(fèi)教學(xué)過(guò)程中的生成性資源.但是如果通過(guò)老師的適當(dāng)引導(dǎo)，則常常能使學(xué)生突破定勢(shì)、激活思維，深入理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，找到解決問(wèn)題的路徑，收到豁然開(kāi)朗的效果.

例1：如圖，已知■=■=■，那么∠ABD=∠ACE嗎？

有一位學(xué)生上黑板解答如下：

解：∠ABD=∠ACE成立

∵■=■=■

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

即∠BAD=∠CAE

這位學(xué)生做完后，我要求他檢查好再回座位.于是他就認(rèn)真地檢查起來(lái)，突然他發(fā)現(xiàn)題目要證的是“∠ABD=∠ACE而非∠BAD=∠CAE”，“啊”了一下立即找黑板擦準(zhǔn)備擦去.此時(shí)我勸他等一下，同時(shí)引導(dǎo)他：剛才板書(shū)的對(duì)證明結(jié)論有用嗎？學(xué)生回答要證∠ABD=∠ACE就要證△ABD∽△ACE.我再加以引導(dǎo)：∠BAD和∠CAE是△ABD和△ACE的內(nèi)角嗎？于是學(xué)生發(fā)現(xiàn)已證的∠BAD=∠CAE可用，再?gòu)囊阎獥l件找到■=■可轉(zhuǎn)化為■=■，再利用兩對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等兩三角形相似證明結(jié)論.

學(xué)生在解題過(guò)程中，有時(shí)由于審題不清，考慮不周而產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，從認(rèn)知理論的觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)知識(shí)不能簡(jiǎn)單地由教師傳遞給學(xué)生，而應(yīng)該通過(guò)學(xué)生自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變建構(gòu)學(xué)生自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解.所以在學(xué)生犯錯(cuò)時(shí)老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力，從而增強(qiáng)自信心.

二、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生學(xué)習(xí)新知的切入點(diǎn)

例2：若x■，x■是方程x■-（k-2）x+（k■+3k+5）=0的兩實(shí)數(shù)根，求x■■+x■■的最大值.

學(xué)生解題時(shí)易犯錯(cuò)誤為：由x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■=-（k+5）■+19，故得x■■+x■■的最大值為19.

教師講評(píng)時(shí)，可不加評(píng)價(jià)地公布上述解法，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出自己的思路.教師評(píng)價(jià)著重在以下幾點(diǎn)：

1.概括解決方案：利用根與系數(shù)關(guān)系，運(yùn)用配方法.

2.解題過(guò)程偏差糾正：初中只研究實(shí)數(shù)根，判別試Δ≥0舉足輕重，不可掉以輕心.

3.正確解答（略）（答案：當(dāng)k=-4時(shí)，有最大值18）.

可以看出，學(xué)生在解題過(guò)程中，有時(shí)由于概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤.所以教師在講評(píng)過(guò)程中，應(yīng)針對(duì)學(xué)生普遍存在的解完題目不復(fù)查的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，教育學(xué)生在經(jīng)歷一道數(shù)學(xué)題的苦思冥想得出答案后，還要更深層次地探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識(shí)和能力？驗(yàn)證解題結(jié)論是否正確合理，命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過(guò)程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善？本題有無(wú)其他解法或一題多解？眾多解法中哪一種最簡(jiǎn)捷？把本題的解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，能否得到更有益的普遍性結(jié)論，從而舉一反三，多題一解？……如此種種，便能對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證.避免結(jié)論荒唐，引為笑柄之說(shuō).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要重視邏輯演繹式的數(shù)學(xué)證明，還應(yīng)提高學(xué)生反思能力，使其真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并能重新構(gòu)建自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

三、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索點(diǎn)

教師在教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)問(wèn)題的表面現(xiàn)象，深入細(xì)致地考慮，努力培養(yǎng)自己思維的嚴(yán)密性，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.可以設(shè)計(jì)答案不唯一、有兩解或多解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果學(xué)生考慮不全面，思維不嚴(yán)謹(jǐn)，就容易出現(xiàn)漏解，進(jìn)入教師設(shè)置的“陷阱”中.

例3：如圖AC⊥BC，∠D=90°，AC=■，CD=■，BC=■，求AB.

課堂上我請(qǐng)一位學(xué)生回答如何求，這位學(xué)生很熟練地回答利用相似求解.于是我就讓她繼續(xù)講解，我來(lái)板書(shū).

當(dāng)學(xué)生回答至“△ACB～△CBD時(shí)，■=■”時(shí)，自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，沒(méi)有對(duì)應(yīng)，就立即改為：

“△ACB～△CDB時(shí)，■=■即■=■，∴AB=3.”

此時(shí)大家很滿意，我卻沒(méi)有讓這位學(xué)生坐下，而是引導(dǎo)她發(fā)現(xiàn)剛才錯(cuò)誤是由于沒(méi)對(duì)應(yīng)，能否確定現(xiàn)在肯定對(duì)應(yīng)？于是這位學(xué)生又仔細(xì)地檢查了一遍，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還有一種對(duì)應(yīng)，還可以用勾股定理直接求得AB的長(zhǎng)度，根本用不著大張旗鼓用相似的知識(shí)解決，這下大家才真正滿意了.

從學(xué)生犯錯(cuò)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，通過(guò)探索把新知和舊知融合，達(dá)到融會(huì)貫通的能力，不僅可以鞏固新學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，而且可以復(fù)習(xí)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生自主探索、自主發(fā)展的能力.

四、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生創(chuàng)造性思維的生長(zhǎng)點(diǎn)

弗賴登塔爾說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法就是實(shí)行‘再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生.”對(duì)待糾錯(cuò)這一學(xué)習(xí)過(guò)程，教師的態(tài)度也應(yīng)如此.

現(xiàn)代教育心理學(xué)指出：學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程不僅是一個(gè)接受知識(shí)的過(guò)程，而且是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程一方面是暴露學(xué)生產(chǎn)生各種問(wèn)題和矛盾的過(guò)程，另一方面是展示學(xué)生聰明才智、形成獨(dú)特個(gè)性與創(chuàng)新成果的過(guò)程.正因?yàn)槿绱?，新課程強(qiáng)調(diào)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn).數(shù)學(xué)新知的教學(xué)如此，鞏固練習(xí)形成技能的過(guò)程更應(yīng)如此.因此在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自己對(duì)自己的解題思路進(jìn)行認(rèn)真的回顧和分析，將錯(cuò)就錯(cuò)，利用學(xué)生解題中的“錯(cuò)誤”重新設(shè)計(jì)練習(xí)，讓學(xué)生明白為何出錯(cuò)，才能使學(xué)生避免重蹈覆轍.

例4：選擇題：若關(guān)于x的一元二次方程k■x■-（2k-1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（ ）

A.k≤■ B.k≤■且k≠0 C.k≥■ D.k≥■且k≠0

我發(fā)現(xiàn)有些粗心的同學(xué)選A.于是請(qǐng)大家討論：你認(rèn)為選A錯(cuò)在哪兒？同學(xué)們開(kāi)始討論起來(lái)，有的同學(xué)說(shuō)，剛才的同學(xué)沒(méi)考慮一元二次方程中k■≠0.我很滿意，并進(jìn)一步問(wèn)：能否改下條件讓答案選A？一聽(tīng)說(shuō)讓他們改編題目，同學(xué)們都很興奮，都立即思考起來(lái)，積極性非常高.最后同學(xué)們發(fā)現(xiàn)只要把題中的“一元二次”四個(gè)字去掉就成功了.根據(jù)錯(cuò)誤的答案改編題，練習(xí)方式新穎，學(xué)生非常感興趣，效果很好.

抓住學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的一些可利用的“錯(cuò)誤”重新設(shè)計(jì)教學(xué)，重新設(shè)計(jì)練習(xí)，不但可以鍛煉教師處理課堂教學(xué)突發(fā)事件的能力，提高教師的教育機(jī)智，還可以使犯“錯(cuò)誤”學(xué)生的自尊心得到保護(hù)，在課堂教學(xué)中營(yíng)造出一種和諧、寬容、民主的教學(xué)氛圍.從而提高學(xué)生的參與程度，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，可謂一舉兩得.

在數(shù)學(xué)實(shí)踐中學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤是美麗的，教師應(yīng)用資源的眼光看待錯(cuò)誤，鼓勵(lì)學(xué)生的每一次成功，哪怕是“錯(cuò)誤”中的成功因素，使學(xué)生充分感受到探索數(shù)學(xué)知識(shí)的樂(lè)趣，自然而然地將身心融入特有的感情氛圍中，并輔以策略處理，在糾錯(cuò)、改錯(cuò)中感悟道理，領(lǐng)悟方法，發(fā)展思維，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.讓動(dòng)態(tài)生成的“錯(cuò)誤”成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)亮點(diǎn)，讓其閃現(xiàn)創(chuàng)新的火花，發(fā)揮應(yīng)有的價(jià)值，讓“錯(cuò)誤”因此美麗起來(lái)，讓錯(cuò)誤閃亮數(shù)學(xué)課堂.endprint

在課堂教學(xué)中，由于種種原因?qū)W生出現(xiàn)錯(cuò)誤是不可避免的.從某種意義上來(lái)說(shuō)錯(cuò)誤也是一種“資源”，教師如何正確看待和利用這一“資源”對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量有著積極的價(jià)值.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯(cuò)誤”.作為學(xué)生學(xué)習(xí)引導(dǎo)者的教師，不同的“錯(cuò)誤”觀將成就不同的課堂，教師對(duì)待學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤的態(tài)度，對(duì)今后學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和探究問(wèn)題的熱情都有較大的影響.以下是筆者在教學(xué)實(shí)踐中遇到的幾個(gè)實(shí)例.

一、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生自信的源動(dòng)點(diǎn)

學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、探索解題思路的過(guò)程中，常常因?yàn)檎J(rèn)知水平的限制或思維方向的偏差產(chǎn)生思維阻滯，此時(shí)如果簡(jiǎn)單地否定則既會(huì)扼殺學(xué)生的自信心又會(huì)浪費(fèi)教學(xué)過(guò)程中的生成性資源.但是如果通過(guò)老師的適當(dāng)引導(dǎo)，則常常能使學(xué)生突破定勢(shì)、激活思維，深入理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，找到解決問(wèn)題的路徑，收到豁然開(kāi)朗的效果.

例1：如圖，已知■=■=■，那么∠ABD=∠ACE嗎？

有一位學(xué)生上黑板解答如下：

解：∠ABD=∠ACE成立

∵■=■=■

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

即∠BAD=∠CAE

這位學(xué)生做完后，我要求他檢查好再回座位.于是他就認(rèn)真地檢查起來(lái)，突然他發(fā)現(xiàn)題目要證的是“∠ABD=∠ACE而非∠BAD=∠CAE”，“啊”了一下立即找黑板擦準(zhǔn)備擦去.此時(shí)我勸他等一下，同時(shí)引導(dǎo)他：剛才板書(shū)的對(duì)證明結(jié)論有用嗎？學(xué)生回答要證∠ABD=∠ACE就要證△ABD∽△ACE.我再加以引導(dǎo)：∠BAD和∠CAE是△ABD和△ACE的內(nèi)角嗎？于是學(xué)生發(fā)現(xiàn)已證的∠BAD=∠CAE可用，再?gòu)囊阎獥l件找到■=■可轉(zhuǎn)化為■=■，再利用兩對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等兩三角形相似證明結(jié)論.

學(xué)生在解題過(guò)程中，有時(shí)由于審題不清，考慮不周而產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，從認(rèn)知理論的觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)知識(shí)不能簡(jiǎn)單地由教師傳遞給學(xué)生，而應(yīng)該通過(guò)學(xué)生自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變建構(gòu)學(xué)生自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解.所以在學(xué)生犯錯(cuò)時(shí)老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力，從而增強(qiáng)自信心.

二、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生學(xué)習(xí)新知的切入點(diǎn)

例2：若x■，x■是方程x■-（k-2）x+（k■+3k+5）=0的兩實(shí)數(shù)根，求x■■+x■■的最大值.

學(xué)生解題時(shí)易犯錯(cuò)誤為：由x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■=-（k+5）■+19，故得x■■+x■■的最大值為19.

教師講評(píng)時(shí)，可不加評(píng)價(jià)地公布上述解法，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出自己的思路.教師評(píng)價(jià)著重在以下幾點(diǎn)：

1.概括解決方案：利用根與系數(shù)關(guān)系，運(yùn)用配方法.

2.解題過(guò)程偏差糾正：初中只研究實(shí)數(shù)根，判別試Δ≥0舉足輕重，不可掉以輕心.

3.正確解答（略）（答案：當(dāng)k=-4時(shí)，有最大值18）.

可以看出，學(xué)生在解題過(guò)程中，有時(shí)由于概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤.所以教師在講評(píng)過(guò)程中，應(yīng)針對(duì)學(xué)生普遍存在的解完題目不復(fù)查的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，教育學(xué)生在經(jīng)歷一道數(shù)學(xué)題的苦思冥想得出答案后，還要更深層次地探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識(shí)和能力？驗(yàn)證解題結(jié)論是否正確合理，命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過(guò)程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善？本題有無(wú)其他解法或一題多解？眾多解法中哪一種最簡(jiǎn)捷？把本題的解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，能否得到更有益的普遍性結(jié)論，從而舉一反三，多題一解？……如此種種，便能對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證.避免結(jié)論荒唐，引為笑柄之說(shuō).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要重視邏輯演繹式的數(shù)學(xué)證明，還應(yīng)提高學(xué)生反思能力，使其真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并能重新構(gòu)建自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

三、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索點(diǎn)

教師在教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)問(wèn)題的表面現(xiàn)象，深入細(xì)致地考慮，努力培養(yǎng)自己思維的嚴(yán)密性，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.可以設(shè)計(jì)答案不唯一、有兩解或多解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果學(xué)生考慮不全面，思維不嚴(yán)謹(jǐn)，就容易出現(xiàn)漏解，進(jìn)入教師設(shè)置的“陷阱”中.

例3：如圖AC⊥BC，∠D=90°，AC=■，CD=■，BC=■，求AB.

課堂上我請(qǐng)一位學(xué)生回答如何求，這位學(xué)生很熟練地回答利用相似求解.于是我就讓她繼續(xù)講解，我來(lái)板書(shū).

當(dāng)學(xué)生回答至“△ACB～△CBD時(shí)，■=■”時(shí)，自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，沒(méi)有對(duì)應(yīng)，就立即改為：

“△ACB～△CDB時(shí)，■=■即■=■，∴AB=3.”

此時(shí)大家很滿意，我卻沒(méi)有讓這位學(xué)生坐下，而是引導(dǎo)她發(fā)現(xiàn)剛才錯(cuò)誤是由于沒(méi)對(duì)應(yīng)，能否確定現(xiàn)在肯定對(duì)應(yīng)？于是這位學(xué)生又仔細(xì)地檢查了一遍，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還有一種對(duì)應(yīng)，還可以用勾股定理直接求得AB的長(zhǎng)度，根本用不著大張旗鼓用相似的知識(shí)解決，這下大家才真正滿意了.

從學(xué)生犯錯(cuò)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，通過(guò)探索把新知和舊知融合，達(dá)到融會(huì)貫通的能力，不僅可以鞏固新學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，而且可以復(fù)習(xí)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生自主探索、自主發(fā)展的能力.

四、讓“錯(cuò)誤”成為學(xué)生創(chuàng)造性思維的生長(zhǎng)點(diǎn)

弗賴登塔爾說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法就是實(shí)行‘再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生.”對(duì)待糾錯(cuò)這一學(xué)習(xí)過(guò)程，教師的態(tài)度也應(yīng)如此.

現(xiàn)代教育心理學(xué)指出：學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程不僅是一個(gè)接受知識(shí)的過(guò)程，而且是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程一方面是暴露學(xué)生產(chǎn)生各種問(wèn)題和矛盾的過(guò)程，另一方面是展示學(xué)生聰明才智、形成獨(dú)特個(gè)性與創(chuàng)新成果的過(guò)程.正因?yàn)槿绱?，新課程強(qiáng)調(diào)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn).數(shù)學(xué)新知的教學(xué)如此，鞏固練習(xí)形成技能的過(guò)程更應(yīng)如此.因此在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自己對(duì)自己的解題思路進(jìn)行認(rèn)真的回顧和分析，將錯(cuò)就錯(cuò)，利用學(xué)生解題中的“錯(cuò)誤”重新設(shè)計(jì)練習(xí)，讓學(xué)生明白為何出錯(cuò)，才能使學(xué)生避免重蹈覆轍.

例4：選擇題：若關(guān)于x的一元二次方程k■x■-（2k-1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（ ）

A.k≤■ B.k≤■且k≠0 C.k≥■ D.k≥■且k≠0

我發(fā)現(xiàn)有些粗心的同學(xué)選A.于是請(qǐng)大家討論：你認(rèn)為選A錯(cuò)在哪兒？同學(xué)們開(kāi)始討論起來(lái)，有的同學(xué)說(shuō)，剛才的同學(xué)沒(méi)考慮一元二次方程中k■≠0.我很滿意，并進(jìn)一步問(wèn)：能否改下條件讓答案選A？一聽(tīng)說(shuō)讓他們改編題目，同學(xué)們都很興奮，都立即思考起來(lái)，積極性非常高.最后同學(xué)們發(fā)現(xiàn)只要把題中的“一元二次”四個(gè)字去掉就成功了.根據(jù)錯(cuò)誤的答案改編題，練習(xí)方式新穎，學(xué)生非常感興趣，效果很好.

抓住學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的一些可利用的“錯(cuò)誤”重新設(shè)計(jì)教學(xué)，重新設(shè)計(jì)練習(xí)，不但可以鍛煉教師處理課堂教學(xué)突發(fā)事件的能力，提高教師的教育機(jī)智，還可以使犯“錯(cuò)誤”學(xué)生的自尊心得到保護(hù)，在課堂教學(xué)中營(yíng)造出一種和諧、寬容、民主的教學(xué)氛圍.從而提高學(xué)生的參與程度，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，可謂一舉兩得.

在數(shù)學(xué)實(shí)踐中學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤是美麗的，教師應(yīng)用資源的眼光看待錯(cuò)誤，鼓勵(lì)學(xué)生的每一次成功，哪怕是“錯(cuò)誤”中的成功因素，使學(xué)生充分感受到探索數(shù)學(xué)知識(shí)的樂(lè)趣，自然而然地將身心融入特有的感情氛圍中，并輔以策略處理，在糾錯(cuò)、改錯(cuò)中感悟道理，領(lǐng)悟方法，發(fā)展思維，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.讓動(dòng)態(tài)生成的“錯(cuò)誤”成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)亮點(diǎn)，讓其閃現(xiàn)創(chuàng)新的火花，發(fā)揮應(yīng)有的價(jià)值，讓“錯(cuò)誤”因此美麗起來(lái)，讓錯(cuò)誤閃亮數(shù)學(xué)課堂.endprint