非線性Volterra積分方程組的一個(gè)高階數(shù)值格式

王自強(qiáng)， 曹俊英

(貴州民族大學(xué) 理學(xué)院 貴州 貴陽 550025)

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非線性Volterra積分方程組的一個(gè)高階數(shù)值格式

王自強(qiáng)， 曹俊英

(貴州民族大學(xué) 理學(xué)院 貴州 貴陽 550025)

對非線性Volterra積分方程組構(gòu)造了一個(gè)高階數(shù)值格式.借助經(jīng)典block-by-block方法，構(gòu)造了一個(gè)所謂的修正block-by-block方法.方法除第1,2層外,每一步的解層與層之間都不需要耦合求解，并且保存了block-by-block方法好的收斂性.對此格式的收斂性進(jìn)行了嚴(yán)格的分析，證明數(shù)值解逼近精確解的階數(shù)是4階.

非線性Volterra積分方程組； 高階格式； 收斂性分析

0 引言

近年來，積分方程和非線性方程已經(jīng)成為研究熱點(diǎn)[1-2].考慮非線性Volterra積分方程組

(1)

其中,u(x)=(u1(x),u2(x),…,un(x))T,g(x)=(g1(x),g2(x),…,gn(x))T,κ(x,s,u(s))=(κi,j(x,s,uj(s)))n×n.

關(guān)于式(1)的數(shù)值方法，學(xué)者們已經(jīng)做了大量的研究.文[3]對積分方程提出了一種所謂的乘積型積分技巧，這是block-by-block思想的雛形.文[4]對非線性Volterra積分方程首次提出block-by-block方法.文[5]給出了求解線性Volterra積分方程一個(gè)通用的block-by-block方法.文[6]利用block-by-block方法求解了非線性Volterra積分方程組.文[7]利用block-by-block方法求解了非線性二維Volterra積分方程.文[8]把block-by-block方法應(yīng)用到求解分?jǐn)?shù)階常微分方程問題中.文[9]證明了文[8]中的算法的收斂階至少是3階.文[10]提出了一種修正的block-by-block方法，并應(yīng)用修正的block-by-block方法求解了非線性Volterra積分方程.本文利用文[10]修正的block-by-block方法求解非線性Volterra積分方程組，得到了一個(gè)高階格式，可以單獨(dú)來解未知量.這個(gè)方法的優(yōu)勢在于除了第1層和第2層外，其余的未知量不需要耦合求解，最后給出了收斂性分析.

1 高階格式的構(gòu)造

把式(1)寫成分量形式的非線性Volterra積分方程組

(2)

其中，式(2)中的κi(x,s,u1(s),…,un(s))定義為

(3)

文[11]證明了式(2)存在唯一解的充要條件，因此假定方程組(2)有唯一解.下面推導(dǎo)高階格式：將區(qū)間[0,T]分成2N個(gè)等分的子區(qū)間，其中h=T/2N, 設(shè)xj=jh,j=0,1,…,2N.式(2)在點(diǎn)xj上的數(shù)值解記為Ui,j.開始計(jì)算最初兩步的解，首先確定ui(x),i=1,2,…,n，在x1上的值.利用式(3), 則得

(4)

在積分區(qū)間[0,x1]上，對式(4)用Simpson公式進(jìn)行近似求解,

(5)

下面利用二次Lagrange插值來逼近半點(diǎn)項(xiàng)，

(6)

將式(6)代入式(5), 則得

κi,j(x1,x1,Uj,1)]，

(7)

其中,Uj,0=gj(x0). 注意到，用式(7)計(jì)算Ui,1需要Ui,2的值.

相似地，計(jì)算ui(x),i=1,2,…,n,在x2上的值，利用式(3), 得

(8)

在積分區(qū)間[0,x2]上，對式(8)用Simpson公式進(jìn)行近似求解,

(9)

如上所述，在式(7)和(9)中,最初兩步的解Ui,1和Ui,2是耦合的.因此，必須同時(shí)解出.

現(xiàn)在，構(gòu)造下一步的格式.假設(shè)已經(jīng)構(gòu)造出Ui,j,i=1,2,…,n,j=0,1,…,2m,希望逼近ui(x2m+1),ui(x2m+2)按照同一個(gè)思路，有

(10)

在積分區(qū)間[0,x1],[x2k-1,x2k+1]上，對式(10)用Simpson公式進(jìn)行近似求解,

κi,j(x2m+1,x2k+1,Uj,2k+1)].

(11)

將式(6)代入(11), 即得

4κi,j(x2m+1,x2k,Uj,2k)+κi,j(x2m+1,x2k+1,Uj,2k+1)].

(12)

為了計(jì)算ui(x2m+2),i=1,2,…,n,使用下面的逼近，

(13)

在區(qū)間[x2k,x2k+2]上， 對式(13)用Simpson公式進(jìn)行近似求解，得

4κi,j(x2m+2,x2k+1,Uj,2k+1)+κi,j(x2m+2,x2k+2,Uj,2k+2)].

(14)

注1在標(biāo)準(zhǔn)的block-by-block中，如ui(x2m+1)不是用式(10)，而是用下面的離散形式來逼近,

(15)

式(15)中最后一個(gè)積分是用點(diǎn)x2m,x2m+1,x2m+2上的二元二次插值來逼近的.因此，得到一個(gè)關(guān)于Ui,2m+1和Ui,2m+2的耦合系統(tǒng).顯然，對于所有的m=1,2,…,N-1,要想得到Ui,2m+1和Ui,2m+2,解式(10)比解耦合系統(tǒng)更加容易.

接下來，將給出上述格式(7), (9)和(12), (14)的收斂性分析.

2 收斂性分析

設(shè)κi,j(x,s,v)關(guān)于第3個(gè)變量滿足Lipschitz條件：即存在一個(gè)常數(shù)L, 使得

定理1由方程(2)所給出問題的數(shù)值格式(7) , (9)和(12), (14)是收斂的，且收斂階為4階.

證明記εi,j=Ui,j-ui(xj),i=1,2,…,n,j=0,1,…,2N,有

(16)

同樣地，由式(12),得

(17)

定理1證畢.

3 數(shù)值算例

應(yīng)用本文提出的算法求解n=2時(shí)的非線性Volterra積分方程組.

例1考慮非線性Volterra積分方程組

它的精確解為u1(x)=cosx,u2(x)=sinx.

表1 最大誤差隨步長h的變化與收斂階Tab.1 Maximum errors and decay rate with different h

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A High Order Scheme for the Numerical Solution of the System of Nonlinear Volterra Integral Equations

WANG Zi-qiang, CAO Jun-ying

(CollegeofScience,GuizhouMinzuUniversity,Guiyang550025,China)

A general technique was presented to construct high order scheme for the numerical solution of the system of nonlinear Volterra integral equations. A so-called block-by-block approach was constructed based on the classical block-by-block method.The unknown solutions at each block step, with exception in the first two, was decoupling in the approach and preserved the good convergence property of the block-by-block schemes. The convergence of the scheme was rigorously established. The numerical solution was proved to converge at the exact solution with order 4.

system of nonlinear Volterra integral equations; high order scheme; convergence analysis

2014-09-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)2012CB025904，11426074；貴州省科學(xué)技術(shù)項(xiàng)目，編號(hào)[2014]2098，[2013]2144；貴州省教育廳項(xiàng)目，編號(hào)[2013]405.

王自強(qiáng)(1981-)，男，河南禹州人，副教授，主要從事科學(xué)計(jì)算和復(fù)合材料的多尺度分析研究，E-mail: wangzq@lsec.cc.ac.cn；通訊作者：曹俊英(1981-)，女，河南鹿邑人，教授, 主要從事微分方程數(shù)值解研究,E-mail:caojunying1000@126.com.

O241.82

A

1671-6841(2015)01-0001-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.001

期刊基本參數(shù)：CN41-1338/N*1962*q*A4*128*zh*P*￥10.00*1 100*26*2015-03