帶干擾的多險種復合負二項風險模型的破產概率

魏 靜， 葛世剛， 劉海生， 倉定幫

(華北科技學院 基礎部 河北 三河 065201)

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帶干擾的多險種復合負二項風險模型的破產概率

魏 靜， 葛世剛， 劉海生， 倉定幫

(華北科技學院 基礎部 河北 三河 065201)

考慮到投保集體的非同質性，建立了保費收取和賠付為負二項過程、干擾為標準Wiener過程的多險種隨機風險模型，通過分析盈余過程的性質，得到終極破產概率公式和破產概率上界的Lundberg不等式.

多險種； 干擾； 負二項過程； 破產概率

0 引言

經典的風險模型及其推廣[1-3]只考慮了單一險種的破產問題，但在實際的保險實務中，險種往往不是單一的，隨著風險經營規(guī)模的不斷擴大及風險經營險種的多樣化,建立多險種風險模型比單一險種更加符合客觀實際.近年來，有學者研究了多險種風險模型的破產概率.文獻[4]將經典風險模型推廣為雙險種負二項風險模型,考慮保費收取次數服從參數為pi的負二項分布且與理賠過程相互獨立,得到了推廣后模型的破產概率.文獻[5]建立了帶干擾的雙險種Poisson風險模型，并在理賠額服從指數分布下研究了破產概率的具體表達式.文獻[6]研究了帶干擾的多險種二項風險模型，通過分析盈余過程的性質，得到了破產概率的表達式及Lundberg上界.文獻[7]針對帶干擾的雙險種風險模型，分析了險種間的相關性對調節(jié)系數的影響.

考慮到在實際的經營風險中，保費收取次數的期望和方差不一定相等，本文建立了保費收取次數和理賠次數均服從負二項分布、干擾為標準Wiener運動的多險種隨機風險模型，通過分析盈余過程的性質，得到終極破產概率公式和破產概率上界的Lundberg不等式，推廣了文獻[4-8]的結論.

1 干擾影響下的多險種風險模型

由定義1可知，負二項分布的方差大于期望.考慮到在保險實務中，投保集體存在一定的非同質性，比如對于疾病保險來說，身體不好的人需要賠付的次數會多，而對于身體健壯的人，理賠則很少，這就會導致理賠次數的方差大于期望.鑒于此，本文考慮投保次數和理賠次數均服從負二項分布，建立帶干擾的多險種風險模型，

(1)

Yki為第k類保單第i次的理賠額，i=1,2,…，k=1,2,…,n，

(2)

2 盈利過程{S(t),t≥0}的性質

引理1盈利過程{S(t),t≥0}具有平穩(wěn)獨立增量.

證明由負二項過程和Wiener過程的平穩(wěn)獨立增量性及模型的獨立性假設即可得證.

引理2

3 破產概率

定理1對于盈利過程{S(t),t≥0}，存在函數g(r)，使得E(exp(-rS(t)))=exp(tg(r))，并且方程g(r)=0在(0,r),r>0上存在唯一正解R∈(0,r)，稱R為調節(jié)系數.

證明

其中MXk(-r)=E(exp(-rXk))為第k類保單的保費{Xki}的拉普拉斯變換，MYk(r)=E(exp(rYk))為第k類保單的理賠額{Yki}的矩母函數.

定理2本文所建立的多險種隨機風險模型(1)的最終破產概率為

證明對于t>0和r>0，有

E[exp(-rU(t))]=exp(-ru)E[exp(-rS(t))]，

取r=R，則E[exp(-RU(t))]=exp(-Ru)exp(tg(R))=exp(-Ru)，由條件期望公式可得

(3)

對于給定的T

U(t)=U(T)+U(t)-U(T)=U(T)+S(t)-S(T)，

而{S(t)}具有平穩(wěn)獨立增量，所以U(t)=U(t)+S(t-T),

,

下證(3)式右端第二項為0，令

(4)

由切比雪夫不等式，得

當t→∞時，(4)式→0.

推論1隨機風險模型(1)的終極破產概率上界滿足Lundberg不等式ψ(u)

4 結論

本文對經典風險模型進行了如下推廣：

1) 本文的模型考慮了n個相互獨立的險種，更具一般性；

2) 考慮到實際保險業(yè)務中，保費收取次數的期望和方差不一定相等，引入更加符合實際的負二項過程；

3) 在市場經濟的大環(huán)境下，考慮到各種市場因素的影響，加入了干擾條件；

4) 通過對盈余過程性質的分析，得出了破產概率的表達式和Lundberg上界，所得結論與經典風險模型一致，證明了結果的正確性.

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(責任編輯：王海科)

Ruin Probability for Negative Binomial Multi-type Insurance Risk Model with Interference

WEI Jing， GE Shi-gang， LIU Hai-sheng， CANG Ding-bang

(DepartmentofBasicCourse,NorthChinaInstituteofScienceandTechnology,Sanhe065201,China)

Considering the non-homogeneity of the policyholders, a multi-type insurance risk model, disturbed by standard Wiener movement, was established with the premium frequency and the claim frequency being negative binomial stochastic series. Through analyzing the properties of the surplus process, the ultimate ruin probability and the Lundberg inequality formula of upper bound for ruin probability were obtained.

multi-type insurance； interference； negative binomial process； ruin probability

2015-01-12

河北省高等學?？茖W研究計劃項目，編號Z2014032；華北科技學院重點學科資助項目，編號HKXJZD201402；中央高校基本科研業(yè)務費項目，編號3142013025, 3142013023, 3142014039, 3142014127.

魏靜 (1980-)，女，河北邢臺人，講師，碩士，主要從事保險精算研究，E-mail：weijing_jcb@ncist.edu.cn．

魏靜，葛世剛，劉海生，等.帶干擾的多險種復合負二項風險模型的破產概率[J].鄭州大學學報：理學版，2015,47(2)：33-36.

O211.6

A

1671-6841(2015)02-0033-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.02.007