“計(jì)算”如何變教為學(xué)

計(jì)算教學(xué)在現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)課程中通常包括筆算、口算、簡(jiǎn)算和估算。其中的筆算、口算和簡(jiǎn)算是以計(jì)算準(zhǔn)確為目的，在此基礎(chǔ)上計(jì)算方法有所差異。而估算是在實(shí)際情境中以達(dá)成計(jì)算者主觀意愿為目的的計(jì)算，因此具有“情境之中、無(wú)須準(zhǔn)確、追求簡(jiǎn)捷、達(dá)成意愿”的特征。[1]下面重點(diǎn)談一談在“變教為學(xué)”的背景下，筆算教學(xué)中學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)。

筆算這一說(shuō)法是相對(duì)于歷史上數(shù)學(xué)課程中的珠算和心算而言的，也就是現(xiàn)在所說(shuō)的“豎式”計(jì)算。傳統(tǒng)的豎式教學(xué)往往追求的是“又對(duì)又快”，因此采用的教學(xué)方法是講解和示范。學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是傾聽(tīng)、模仿和練習(xí)。這樣的教法和學(xué)法在某種程度上是可以達(dá)到“又對(duì)又快”的目的，但是缺失了學(xué)生的主動(dòng)思考和不同方法之間的融會(huì)貫通，也缺失了學(xué)生之間不同方法的表達(dá)和交流?！白兘虨閷W(xué)”期望計(jì)算的教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)的學(xué)習(xí)過(guò)程。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程至少應(yīng)包括如下三個(gè)環(huán)節(jié)。

第一是對(duì)多種算法的探索和交流。事實(shí)上，在歷史上筆算豎式的寫(xiě)法是多種多樣的，[2]以三位數(shù)乘兩位數(shù)“125×12”為例，如果從右向左的順序可以寫(xiě)為：

如果是從左向右的方向則可以寫(xiě)為：

除了豎式之外，還可以運(yùn)用“算式重組”的方法，[3]把“125×12”改變?yōu)椤埃?25×4）×3=500×3”或者“125×（10+2）=125×10+125×2”等形式進(jìn)行計(jì)算。為了讓每一個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷對(duì)多樣化計(jì)算方法的探索和交流，這一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)任務(wù)可以設(shè)計(jì)為“用盡可能多的方法計(jì)算125×12，并向同伴講解你的方法?！保瑢W(xué)生依據(jù)這樣的任務(wù)，借助自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，就可以開(kāi)展探索與交流的學(xué)習(xí)活動(dòng)了。

第二是對(duì)不同方法的理解與比較。理解算法的有效方法是用其他方式重新表述計(jì)算過(guò)程。比如可以給學(xué)生布置這樣的任務(wù)：“在算式□×□=1500的方格中填寫(xiě)恰當(dāng)?shù)臄?shù)，使得乘積等于1500?！睂W(xué)生在填寫(xiě)的過(guò)程中就會(huì)發(fā)現(xiàn)諸如“125×12=500×3”這樣的算法的合理性，并且發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著的乘法“積不變”的規(guī)律，即“如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大的倍數(shù)，與另一個(gè)因數(shù)縮小的倍數(shù)相同，那么乘法的積不變”。

再比如，還可以利用長(zhǎng)方形面積的問(wèn)題幫助理解。給學(xué)生布置這樣的任務(wù)：“用不同的方法求出下面長(zhǎng)方形ABCD的面積。”

學(xué)生在不同方法的對(duì)比中，自然就會(huì)發(fā)現(xiàn)“（100+25）×12=100×12+25×12”的合理性。

在充分理解各種計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，就可以引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)不同方法的比較，這樣的比較一方面是觀察不同方法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，另一方面是分析每一種方法的優(yōu)勢(shì)與不足。需要注意的是，比較的結(jié)論應(yīng)當(dāng)是開(kāi)放的，學(xué)生的結(jié)論只要是能自圓其說(shuō)的，就應(yīng)當(dāng)認(rèn)為是正確的，是需要被尊重的。切忌給出“某種方法好，其他方法壞”的結(jié)論。因?yàn)榉椒ǖ膬r(jià)值判斷是主觀性的，是因人而異的。

第三是對(duì)計(jì)算方法的提升與應(yīng)用。計(jì)算方法通常是操作性的，比如運(yùn)用乘法“積不變”的規(guī)律將“125×12”改變?yōu)椤?00×3”，這樣的方法可以敘述為“將因數(shù)125擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，再將因數(shù)12縮小4倍”。如果將這樣的方法看作對(duì)算式“125×12”的解構(gòu)與重構(gòu)，也就是分解之后重新組合，那么這樣的想法就有了更廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)中許多問(wèn)題的解決都需要采用類(lèi)似于此的方法。

比如，推導(dǎo)平行四邊形的面積公式，通常就是將平行四邊形分解后，重新組合為一個(gè)面積相等的長(zhǎng)方形。[4]再比如，將假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)也是分解后重新組合成新的形式。比如，要將假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)，首先就需要將分子10分解為3的倍數(shù)9與1的和，而后重新組合為3，即：

這樣的方法在中學(xué)乃至大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到，比如許多時(shí)候需要對(duì)諸如的代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，所采用的方法與前面假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)的方法是一樣的，即在分子中分解出分母的因式，而后重新組合。具體過(guò)程為：

===X+1+

像上面這樣，將一個(gè)具體的操作方法提升為一種想法，而后將這種想法應(yīng)用到更加廣泛的解決問(wèn)題之中，無(wú)疑對(duì)于建立知識(shí)與方法之間的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力會(huì)有所裨益。這樣的設(shè)計(jì)可以用下面的表格清晰地呈現(xiàn)出來(lái)。

三位數(shù)乘兩位數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)習(xí)目標(biāo) 經(jīng)歷對(duì)“125×12”多種筆算方法的探尋過(guò)程；對(duì)不同方法的比較過(guò)程以及對(duì)算法的應(yīng)用過(guò)程。

子目標(biāo) 探索多樣算法 經(jīng)歷方法比較 聯(lián)想應(yīng)用方法 反思總結(jié)學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù) 你能用多少種方法寫(xiě)出“125×12”的計(jì)算過(guò)程？先獨(dú)立思考，再與同伴交流。 你認(rèn)為每一種方法的優(yōu)點(diǎn)是什么？不足之處是什么？把自己的想法說(shuō)給同伴聽(tīng)。 你認(rèn)為哪一種方法最好？舉一個(gè)你自己熟悉的例子說(shuō)明這個(gè)方法的好處。 總結(jié)出“三位數(shù)乘兩位數(shù)”與“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算方法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。把你的總結(jié)寫(xiě)出來(lái)。

學(xué)習(xí)活動(dòng) 回憶兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法；思考、書(shū)寫(xiě)、表達(dá)、傾聽(tīng)不同計(jì)算方法。 比較的思考過(guò)程；傾聽(tīng)和表達(dá)不同的價(jià)值判斷。 聯(lián)想的思考過(guò)程。 歸納與概括的思考過(guò)程；用書(shū)面語(yǔ)言表達(dá)想法的過(guò)程。

計(jì)算實(shí)質(zhì)上不是知識(shí)的學(xué)習(xí)，而是學(xué)生利用自身經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探索的過(guò)程。對(duì)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的探索實(shí)質(zhì)上是對(duì)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”所獲得的經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用和拓展，因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展自主與合作的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)

[1]郜舒竹，王海嬌. 教科書(shū)中的“大約”與估算[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2012（11）

[2] 郜舒竹. 回眸歷史看豎式[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2013（6）

[3] 郜舒竹， 鄭麗麗. 估算方法知多少[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2012（10）

[4] 郜舒竹. 由此及彼，探索規(guī)律[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2013（12）

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）