數(shù)學問題的設計與學生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)①

林永暉

（永春縣教育局，福建泉州 362600）

數(shù)學問題的設計與學生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)①

林永暉

（永春縣教育局，福建泉州 362600）

設計新穎且具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。在數(shù)學教學中，根據(jù)學生的認識水平、教材內容、課型要求，通過設計趣味型問題、開放型問題、互逆型問題、迷惑型問題、聯(lián)想型問題、探索型問題、應用型問題、延展型問題等，讓學生去思考、探索，在思維活動中進行創(chuàng)新，多方面培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。

數(shù)學問題;創(chuàng)新思維;能力培養(yǎng)

創(chuàng)新依賴于具有創(chuàng)造力的人才，人才依賴于教育。為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，必須設置適當?shù)膯栴}，讓學生去思考、探索，在思維活動中得以創(chuàng)新。在數(shù)學課堂教學中，應根據(jù)學生的認識水平以及教學內容設計有針對性的數(shù)學問題［1］，通過問題的解決達到培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力的目的。

1 利用趣味型問題，激發(fā)學生自主學習興趣

案例（1） 學習《圓的定義》時，提出:車輪為什么要做成圓形的?能做成三角形、方形、橢圓形嗎?使學生感到自然、必要和富有趣味，而且引起學生積極思考，自己找到答案:圓上各點到圓心的距離都相等，可以使車輛在阻力比較小的情況下平穩(wěn)地運動。

2 利用開放型問題，培養(yǎng)學生求異思維能力

適當開放題目的條件或結論，為學生提供自主探索與創(chuàng)新的空間，有利于學生活躍思維，展示創(chuàng)新意識和能力。求異思維就是尋求變異、不墨守成規(guī)的一種思維活動。在教學過程中，教師要鼓勵學生大膽猜想，通過變換思維角度使解題過程更加簡潔、解題方法更佳。通過問題解決的不同方法以及設計一些有針對性的變式問題，從多個維度培養(yǎng)學生探索問題的能力，通過問題的解決達到培養(yǎng)學生求異創(chuàng)新思維能力的目的。

圖1

案例（2） 如圖1，PA、PB切⊙O于A、B，則可以得到哪些結論?

（PA=PB，OP⊥AB，∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP ，AC=BC……）

題目只給出條件，學生通過探索不但使問題得到解決，同時拓展了思維，求異思維能力也得到提高。

圖2

案例（3） 如圖2，在△PMQ和△PNQ中，PQ平分∠MPN，為了使這兩個三角形全等，你認為應當添加一個什么條件:___________。

學生的解答哪些是成立的?哪些是不成立的?這就要求我們緊扣全等三角形的判定方法，引導學生自主探究，通過辨析起到事半功倍的作用。

3 利用互逆型問題，培養(yǎng)學生逆向思維能力

逆向思維就是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。在教學過程中，除了對學生進行適當?shù)恼蛩季S訓練外，還應當設計一些逆向性問題，讓學生學會從問題的不同方向探究解決方法，利用逆向思維與正向思維的相互發(fā)展與促進，達到培養(yǎng)學生逆向思維能力的目的。

案例（4） 順次連結四邊形ABCD各邊的中點得到的四邊形（也稱四邊形ABCD的中點四邊形）是平行四邊形。證明上述命題后，可進行如下的變式:

變式一:平行四邊形、矩形、菱形、正方形的中點四邊形是什么特殊四邊形?

變式二:當四邊形ABCD必須滿足什么條件時，它的中點四邊形是平行四邊形、菱形、矩形、正方形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

其中，變式二就是迫使學生要進行逆向探求，通過上述問題的解決使學生的逆向思維能力得到提高。

4 利用迷惑型問題，培養(yǎng)學生批判思維能力

中學生敢于對書本上的知識或成人的意見提出質疑，是因為他們思考問題時受條條框框的束縛較小，可他們的批判性見解經(jīng)常是片面的，有時甚至是錯誤的。教師有必要適時地設計迷惑性較強的問題，讓學生展開爭論，使他們的批判性思維趨于成熟、準確。

案例（5） 關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列命題正確的是（ ）:

A．若b=0，則兩根互為相反數(shù)。 B．若a=c，則兩根互為倒數(shù)。

C．若 ac＞0，則兩根同號。 D．若 ac＜0，則兩根異號。

對這道題上當受騙的學生很多，教師應及時引導學生進行辯論，幫助學生找出產(chǎn)生錯誤的原因，使他們的批判性思維趨于全面和正確。

5 利用聯(lián)想型問題，培養(yǎng)學生聯(lián)想思維能力

將不同事物聯(lián)系起來進行思考，是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的一種重要方式。在數(shù)學思維活動中，比較常見的聯(lián)想思維有類比聯(lián)想、數(shù)形聯(lián)想、反向聯(lián)想和化歸聯(lián)想等。教師在教學設計時，可以根據(jù)授課內容設計聯(lián)想型問題，靈活地運用這些方法。

案例（6） 如果下列方程:x2+（2m－1）x+m2=0，4x2+4mx+（m2+m）=0，x2+（2m－3）x+m2=0至少有一個方程有實根，求m的值。

此題正面解答相當復雜，可引導學生聯(lián)想它的反面——三個方程都無實根，問題便迎刃而解。

圖3

案例（7） 如圖3，已知AD為△ABC的角平分線，求證:AB·AC=AD2+DB·DC。

對這道題學生常感不知所措，但當引導學生聯(lián)想到“相交弦定理”時，問題便迎刃而解。“它山之石，可以攻玉?！痹O計聯(lián)想型問題可以讓學生開闊思維，考慮問題更全面。

6 利用探索型問題，培養(yǎng)學生探索思維能力

數(shù)學問題的解決其核心特征就是探索性。通過設計探索性問題，讓學生在探索中發(fā)現(xiàn)結論，體驗“觀察、猜想、抽象、概括、歸納、證實”這一思維過程。

案例（8） 如圖4，若P為等腰ΔABC底邊BC上的動點，求證:P到兩腰的距離之和為定值。

變式一:當P在BC延長線上運動時，P到兩腰的距離之和有什么關系?

變式二:當P在等腰ΔABC所在平面上運動時，P到兩腰的距離之和有什么關系?

變式三:能否把上述結論推廣到任意三角形?

圖4

上述問題的解決，需要學生經(jīng)歷觀察、猜測、類比和歸納這一“發(fā)現(xiàn)”過程，通過問題的解決，使學生形成良好的認知結構，構建數(shù)學知識網(wǎng)絡。

案例（9） 如圖5，在平面上，平行四邊形ABCD的頂點A、B、C、D到直線m的距離分別為a，b，c，d。1）求證:a+c=b+d;2）若把直線m向上平行移動，1）中的結論將怎樣變化?證明之。

直線m向上平行移動過程中，1）中的結論依然成立。把“運動”思想滲透到數(shù)學內容之中，讓學生在運動中探究問題的本質。

圖5

7 利用應用型問題，培養(yǎng)學生應用思維能力

數(shù)學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，設計應用型問題，給學生營造一種生動的現(xiàn)實環(huán)境和實際需求，讓他們利用所學知識解決生活中遇到的數(shù)學問題，并自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律和概括數(shù)學模型。

案例（10） 把“作△ABC的內切圓”的問題改為:“有一塊△ABC木板，今要截出一個最大的圓形材料，應怎樣截取?”

對這道題目，學生帶著懸念學習，探究意識很濃。設計數(shù)學問題，要盡量選擇學生熟悉的情境作為背景，讓學生了解數(shù)學在實際生活中有著廣泛的應用，達到強化學生學習動機的目的，在探索實際問題中培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新素質。

案例（11） 把長40米、寬30米的矩形場設計成花園，要求:花壇所占面積為場地面積的一半，整個場地成軸對稱和中心對稱圖形。畫出圖形，寫出方案，列出方程并計算出有關數(shù)據(jù)。

因所提供的結論與學生所構造的解答之間沒有必然唯一確定的聯(lián)系，學生解答這樣的問題不僅需要具有一定的數(shù)學推理能力，更需要具有分析問題和解決問題的能力。

8 利用延展型問題，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力

延展型問題是指能夠進行變化、延伸和拓展的問題。對例習題加以延伸和拓展，不僅能使學生鞏固基礎知識，而且能提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)發(fā)散創(chuàng)新思維。

案例（12） 如圖6，⊙O1與⊙O2的半徑分別為R、r，⊙O1與⊙O2外切于點M，過M的直線分別交⊙O1、⊙O2于A、B．你能得到什么結論?

拓展一:如圖7，過點M的另一條直線交⊙O1、⊙O2于C、D，你能得到什么結論?

拓展二:如圖8，⊙O1與⊙O2內切于點N，上述結論有什么變化?

上述問題串有利于激發(fā)學生的學習積極性，誘導學生產(chǎn)生解決問題的欲望，通過問題的解決發(fā)現(xiàn)它們的一般性規(guī)律，對培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力起到良好的促進作用。設計新穎且具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，教師通過設計恰當?shù)臄?shù)學問題，能夠讓學生在解題過程中提高自身的創(chuàng)新思維能力［2］。

［1］李為．初中數(shù)學課堂問題設計例談［J］．中學數(shù)學教學參考，2014（8）:19－21．

［2］謝雅禮．論數(shù)學開放性問題的教學價值［J］．福建基礎教育研究，2011（11）:79－81．

（責任校對 游星雅）

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A

1674－5884（2015）07－0017－03

10．13582/j．cnki．1674 － 5884．2015．07．006

20141203

林永暉（1964－），男，福建永春人，中學一級教師，主要從事教育管理研究。