利用學(xué)生錯(cuò)誤資源提高數(shù)學(xué)教學(xué)效益

◎福建省上杭縣明強(qiáng)中學(xué) 范景山

利用學(xué)生錯(cuò)誤資源提高數(shù)學(xué)教學(xué)效益

◎福建省上杭縣明強(qiáng)中學(xué) 范景山

學(xué)生在掌握前人經(jīng)驗(yàn)、探求新知的過程中，難免會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤．而他們也正是在教師的精心指導(dǎo)下，在不斷的糾錯(cuò)過程中漸漸成長、成熟，最終走向成功的．因此，作為數(shù)學(xué)教師，在自己平時(shí)的教學(xué)過程中要善于捕捉學(xué)生的錯(cuò)誤信息，并把該信息當(dāng)作一種教學(xué)資源，追根溯源，找出錯(cuò)誤原因，及時(shí)地幫助學(xué)生從錯(cuò)誤的漩渦中跳出來，開展有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)．

學(xué)生錯(cuò)誤資源；有效；數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

眾所周知，人對事物的認(rèn)識是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，是一個(gè)從無知到有知，從知之不多到知之較多，從膚淺到深刻的不斷提升的過程.學(xué)生對知識的掌握也是同樣的道理.數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，抽象性、科學(xué)性和應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的主要特點(diǎn).學(xué)生的知識學(xué)習(xí)，就是掌握前人的經(jīng)驗(yàn)，把人類共同的精神財(cái)富變?yōu)樽约旱木褙?cái)富.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的建構(gòu)學(xué)說認(rèn)為：“數(shù)學(xué)知識不能從一個(gè)人遷移到另一個(gè)人，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識必須基于個(gè)人對經(jīng)驗(yàn)的操作、交流，通過反省來主動(dòng)建構(gòu).”然而，學(xué)生在掌握前人經(jīng)驗(yàn)、探求新知的過程中，難免會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤.而他們也正是在教師的精心指導(dǎo)下，在不斷的糾錯(cuò)過程中漸漸成長、成熟，最終走向成功的.因此，作為教師，在自己平時(shí)的教學(xué)過程中如何捕捉學(xué)生的錯(cuò)誤信息？如何把該信息當(dāng)作一種教學(xué)資源，及時(shí)地幫助學(xué)生從錯(cuò)誤的漩渦中跳出來，開展有效的課堂教學(xué)？都是非常值得我們關(guān)注與思考的問題.

一、實(shí)驗(yàn)舉證，捕捉錯(cuò)誤信息

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的錯(cuò)誤認(rèn)識和應(yīng)用往往來自于對該知識的不求甚解，其結(jié)果必然與真理存在偏差.因此，要幫助學(xué)生找出這些偏差，關(guān)鍵要幫助他們理解概念、定義、定理及公式等的來龍去脈.

【案例1】高中數(shù)學(xué)必修4第113頁A組第4題：平面上三個(gè)力F1、F2、F3作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，F(xiàn)1=N，F(xiàn)1和F2的夾角為45°，求：（1）F3的大??；（2）F3與F1夾角的大小.

當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)這種錯(cuò)誤時(shí)，教師要有耐心.首先，你可提問學(xué)生：“這種做法對嗎？如果對，請說出其依據(jù)是什么；如果錯(cuò)，請說出其錯(cuò)誤的原因.”這種提問的方式，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)地去的思考和觀察.

我們可以給學(xué)生做這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將一個(gè)10克的砝碼掛在兩個(gè)相同的彈簧秤的秤鉤上，使兩彈簧秤之間的夾角為120°（它們與鉛直線的夾角均為60°），當(dāng)砝碼處于平衡狀態(tài)時(shí)，讓學(xué)生們觀察，彈簧秤的指數(shù)是否均為5克？通過觀察，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)彈簧秤的指數(shù)均為10克.

可見，實(shí)驗(yàn)與觀察并舉是發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的一個(gè)直觀而有效的檢驗(yàn)手段.

【案例2】學(xué)生在開始學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式時(shí)，往往會(huì)記成cos（α-β）=cosα-cosβ.為了幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)此類錯(cuò)誤，教師可通過設(shè)問的方式引導(dǎo)他們采用賦值檢驗(yàn)法.如α=90°，β=45°時(shí)，等號左邊的值為，而右邊的值為.顯然，這時(shí)cos（α-β）=cosα-cosβ是不成立的.進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，自己已將公式記錯(cuò)了.

【案例3】學(xué)生在開始學(xué)習(xí)等差數(shù)列｛an｝的性質(zhì)時(shí)，往往會(huì)記成am+an=am+n（m，n∈N*）.為了幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)此類錯(cuò)誤，教師可通過設(shè)問的方式引導(dǎo)他們也采用賦值法，即特值檢驗(yàn)法.如對任意一個(gè)非零的常數(shù)列，將其代入檢驗(yàn)后，上式均不成立.進(jìn)而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，自己已將公式記錯(cuò)了.

二、追根溯源，找出錯(cuò)誤原因

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤后，作為教師，首先應(yīng)該鼓勵(lì)他們：“你們已經(jīng)進(jìn)步了，因?yàn)檎_的認(rèn)識往往是從發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤開始的.”

其次，教師再激勵(lì)學(xué)生：“當(dāng)一個(gè)人認(rèn)識錯(cuò)誤后，更需要很好地改正錯(cuò)誤，而要徹底地改正，又更需要找到犯錯(cuò)的根本原因.你們說，是嗎？”學(xué)生們異口同聲：“是！”

師：“那么，案例1的第（1）小題中的錯(cuò)誤解答F3=，到底錯(cuò)在哪里？為什么不能像‘?dāng)?shù)的加法’一樣去做加法運(yùn)算呢？”學(xué)生無言以對.

師：向量的定義是什么？

生：向量是既有大小又有方向的量.

師：數(shù)與向量有何區(qū)別？

生：數(shù)是只有大小的量.

師：因此，向量的加法能等同于數(shù)的加法嗎？

教師通過這樣的循循善誘，終于讓學(xué)生明白了剛才的錯(cuò)誤所在.

分析發(fā)現(xiàn)，剛才的錯(cuò)誤正是暴露了學(xué)生對“向量加法”的錯(cuò)誤理解，其錯(cuò)誤在于將“向量加法”與“數(shù)的加法”混為一談，其根源在于對“向量”的理解等同于對“數(shù)”的理解.

再看案例2中的錯(cuò)誤cos（α-β）=cosα-cosβ和案例3中的錯(cuò)誤am+an=am+n（m，n∈N*），通過分析也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生沒有掌握公式的來龍去脈，進(jìn)而無法對公式進(jìn)行實(shí)質(zhì)性的理解，導(dǎo)致對公式的記憶顯得膚淺毛糙、不求甚解，學(xué)習(xí)跟著感覺走.

三、探尋秘方，對癥下藥

當(dāng)學(xué)生找到了錯(cuò)誤根源后，教師應(yīng)該趁熱打鐵，提出一些啟發(fā)性的問題，想辦法打開學(xué)生的思維大門，讓學(xué)生主動(dòng)地去尋求解決問題的有效途徑.

再回過頭來看，案例1中F3=F1+F2=F1+F2的錯(cuò)誤應(yīng)改為

師：F1+F2=？

學(xué)生頓時(shí)恍然大悟，并爭相著回答：F1+F2=

可見，教師適時(shí)適度的啟發(fā)誘導(dǎo)是打開學(xué)生思維大門的催化劑.

接著，我繼續(xù)開展與學(xué)生互動(dòng)的教學(xué).

師：如果按原來的錯(cuò)誤解法去做，那么題中的條件“向量F1和F2的夾角為45°”又有何意義呢？

聽了這一提問后，學(xué)生們對式子F1+F2=F1+ F2的錯(cuò)誤有了更為深刻的認(rèn)識.

師：向量的模的公式a=？，進(jìn)而提出F3與F1、F2關(guān)系如何？

生：a=a2，且F1+F2=-F3.

師：如何利用這兩個(gè)等式去求F3呢？

聽了這樣的啟發(fā)之后，學(xué)生們頓時(shí)豁然開朗.

再看案例1中的第（2）小題？

師：如圖所示，設(shè)力F1和F3的夾角為θ，則.顯然，分母的值容易算，但分子的值又該如何去算呢？順著學(xué)生的這種錯(cuò)誤思路，指出此法行不通.

生：那該怎么辦？

師：F1和F2的合力是F3′，它與力F3構(gòu)成怎樣的關(guān)系？

生：互為相反向量.

師：換過一種思路，我們能否利用F3′與F1的夾角π-θ來考慮？cos（π-θ）=?

師：這樣看來，應(yīng)該另尋一條出路.由于F1+F2=F3′，因此我們可以得到F2=F3′-F1，于是有F22=（F3′-F1）2，即

師再問：F3·′F1=？

生：F3′·F1=F3′·F1·co（sπ-θ）.

師：至此，同學(xué)們能求出θ了嗎？

生（異口同聲）：能！

作為教師，我們這時(shí)就應(yīng)及時(shí)地對他們的回答給予積極鼓勵(lì)，讓他們真正體驗(yàn)到“在快樂中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中快樂”.

四、變式訓(xùn)練，夯實(shí)知識根基

所謂數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，即是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對概念、性質(zhì)、定理、公式以及問題進(jìn)行不同程度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)設(shè)計(jì)方法.它是優(yōu)化課堂教學(xué)的重要手段，在訓(xùn)練中能有效改善學(xué)生的解題現(xiàn)狀，利用轉(zhuǎn)化發(fā)散學(xué)生思維，增強(qiáng)學(xué)生分析、解題能力.

比如，在掌握了案例1后，我們可進(jìn)行下面的變式訓(xùn)練：

變式1.已知F1=1，F(xiàn)2=2，F(xiàn)1和F2的夾角為60°，以F1和F2為鄰邊作平行四邊形，求此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條的長度.

師：接下來又怎樣計(jì)算F2F1呢？

師：接下來，如何利用已知條件F1和F2的大小（即的大?。┘捌鋳A角60°計(jì)算呢？

觀察學(xué)生的神情，看似有點(diǎn)遺忘，教師因勢利導(dǎo)，再加以啟發(fā).

通過這樣的一番啟發(fā)之后，學(xué)生們頓時(shí)豁然開朗，爭相著回答.這時(shí)，教師可以叫學(xué)生到黑板上板演.很快，學(xué)生就做出來了：

至此，問題得到了圓滿的解答.

下面就可以讓學(xué)生練習(xí)變式2與變式3.

經(jīng)過以上變式訓(xùn)練之后，教師可以幫助學(xué)生總結(jié)一下：“這些題目的解法有什么共同之處？均采用了什么公式？對我們今后的解題能帶來什么啟發(fā)與思考？”

五、反思錯(cuò)誤，培養(yǎng)優(yōu)良學(xué)習(xí)品質(zhì)

古人云：“學(xué)而不思則罔.”這也就是人們常說的“鐵不用就會(huì)生銹，水不流就會(huì)發(fā)臭，人的智慧不用就會(huì)枯竭”.思考可以使人對知識理解得更深刻，思考可以使學(xué)的東西更扎實(shí)，未來社會(huì)最需要的就是善于思考、敢于創(chuàng)新的人.

而反思就是對自己經(jīng)歷過的思想、心理感受及行為的體驗(yàn)和思考，它是一種更能促進(jìn)自身發(fā)展的思考.愛迪生說過，如果一個(gè)人在學(xué)習(xí)中有了反思的習(xí)慣，那么他必將是成功的學(xué)習(xí)者.

比如，在幫助學(xué)生解答完案例1時(shí)，教師可以采用反問的方式，總結(jié)一下學(xué)生所犯過的錯(cuò)誤.

師：在案例1中，你們?yōu)槭裁磿?huì)出現(xiàn)F1+F2=F1+ F2的錯(cuò)誤呢？

師：那應(yīng)該怎么用呢？

……

其實(shí)，教師巧妙的設(shè)問教學(xué)（尤其是反問）可以很好地培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)會(huì)反思”這種優(yōu)良的學(xué)習(xí)品質(zhì).

用心對待教育和教學(xué)，用心對待學(xué)生，我們就會(huì)把學(xué)生的錯(cuò)誤當(dāng)作一種可開發(fā)和利用的寶貴的教學(xué)資源.只有這樣，我們的教育和教學(xué)才會(huì)有效而生動(dòng)，才會(huì)富有強(qiáng)大的感召力和永恒的生命力！

（責(zé)任編輯：王欽敏）