巧妙搭“橋” 化動(dòng)為靜——關(guān)于2013年泉州市中考數(shù)學(xué)試題解答的商榷

◎福建省南安市金光中學(xué) 方明華

巧妙搭“橋” 化動(dòng)為靜
——關(guān)于2013年泉州市中考數(shù)學(xué)試題解答的商榷

◎福建省南安市金光中學(xué) 方明華

動(dòng)態(tài)幾何題題型新穎，既考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，又考查了多種運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的能力，試題綜合性強(qiáng).這就要求考生能夠嚴(yán)密細(xì)致地觀察問(wèn)題，理清解答思路，采用構(gòu)造法“搭橋引路，化動(dòng)為靜”，充分利用已知的條件去推導(dǎo)問(wèn)題和解決問(wèn)題。

中考數(shù)學(xué)；動(dòng)態(tài)幾何題；構(gòu)造法；答案修正

動(dòng)態(tài)幾何題題型新穎，在考查中往往能呈現(xiàn)出較高的區(qū)分度，因此成為中考命題中的重要題型，也受到中學(xué)師生的高度關(guān)注.這種題型所考查的往往是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)考查多種運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的能力，涉及的知識(shí)面廣，試題綜合性強(qiáng).所以在解答這一類的動(dòng)態(tài)幾何題時(shí)，要求考生能夠嚴(yán)密細(xì)致地從多個(gè)角度觀察問(wèn)題，充分利用已知的條件分析問(wèn)題，十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝茖?dǎo)和解決問(wèn)題，才能正確完整地寫出答案.現(xiàn)以2013年泉州市中考數(shù)學(xué)試題的第25題為例，談?wù)勥@個(gè)方面的一些見(jiàn)解.

一、理清思路，周密解答

（1）求∠ABC的大?。?/p>

（2）求點(diǎn) P 的坐標(biāo)，使∠APO=30°；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，平移直線BC，試探索：當(dāng)BC在不同位置時(shí)，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是否保持不變？若不變，指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有幾個(gè)？若改變，指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

本題的命題立意是，以平面坐標(biāo)為依托，考查幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。其考查的知識(shí)與能力的范圍橫跨整個(gè)初中學(xué)段，知識(shí)覆蓋面寬，方法包容性強(qiáng)，拓展輻射作用大.據(jù)統(tǒng)計(jì)，考生在這一題的平均得分為5.6分，獲得10分以上高分的人數(shù)很少。如何在解題中做到深入細(xì)致地觀察問(wèn)題與推導(dǎo)問(wèn)題，從而正確完整地解答問(wèn)題，以下是具體的分析解答步驟.

步驟一，第（1）小題求∠ABC大小.

本小題考查的是關(guān)于“方程與一次函數(shù)的關(guān)系”這一知識(shí)點(diǎn)的掌握運(yùn)用情況，其解答思路是先觀察角的位置，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用三角形的方法解決問(wèn)題，這里需要運(yùn)用直角三角形或特殊三角形的方法.

連接 AC（如圖二示），由 A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知，它們關(guān)于y軸對(duì)稱，由對(duì)稱性質(zhì)得AC＝BC，再運(yùn)用勾股定理求得AC＝BC＝4，由此判斷△ABC為等邊三角形，可得∠ABC=600，并為解答第（2）小題作鋪墊．

步驟二，第（2）小題求點(diǎn)P的坐標(biāo)，條件使∠APO=300．

首先觀察∠AOC的度數(shù)，利用“在圓中，直徑所對(duì)圓周角為直角”這一知識(shí)點(diǎn)，得出A、O、C三點(diǎn)共圓，因此通過(guò)構(gòu)造圓搭“橋”引路（如圖三示），得出弦AO所對(duì)圓心角為600，這就把解決本問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以AC為直徑的圓與直線BC的公共點(diǎn)問(wèn)題，即直線與圓的位置關(guān)系，可以看到有兩個(gè)點(diǎn)符合題目規(guī)定的條件.

步驟三，對(duì)于第（3）小題，是動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，主要是考查動(dòng)手操作能力和探索、分析、解決問(wèn)題的能力．

在動(dòng)直線BC上尋找符合條件的點(diǎn)P，可在第（2）小題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考，300的圓周角所對(duì)弧為AO，該弧所對(duì)的圓心角為600．因此，同樣可以通過(guò)以AO為弦構(gòu)造圓進(jìn)行搭橋，根據(jù)對(duì)稱性原理可知，這樣的圓有兩個(gè)（如圖四示），根據(jù)“同弧所對(duì)圓心角是圓周角的2倍”這一原理得出，符合條件的點(diǎn)P實(shí)際上是直線BC與兩圓的公共點(diǎn)，這也把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解決直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題。再通過(guò)動(dòng)手操作，運(yùn)動(dòng)直線BC，進(jìn)行分類討論，得出直線BC在不同位置時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)變化．不妨記兩圓為⊙Q，⊙Q′，點(diǎn)Q，Q′關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況有四種情況，即有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè).

這里，命題者提供本小題的參考答案中，有三處答案值得商榷，應(yīng)加以修正.

第①處，如下列所示

第①處修正理由：假如點(diǎn) 在⊙Q，⊙Q′這兩個(gè)圓被軸截成的兩段劣弧中（如圖五示），則只能使∠APO=150°；假如點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)O重合時(shí)，則∠APO不存在.

所以答案應(yīng)修正為：

第②、③處，如下列所示：

數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第6頁(yè)（共8頁(yè)）

第②處的修正理由：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)O重合時(shí)，∠APO不存在，則使∠APO=30°的點(diǎn)P只有兩個(gè)．

所以答案應(yīng)修正為：“直線BC過(guò)⊙Q與⊙Q′的一個(gè)交點(diǎn)，同時(shí)與兩圓都相交”的部分應(yīng)屬于第2種類；

第③處的修正理由：當(dāng)直線同時(shí)與⊙Q、⊙Q′都相交且不過(guò)兩圓交點(diǎn)時(shí)，將出現(xiàn)兩種情形：

一是當(dāng)直線BC同時(shí)與兩圓都相交且與弦AO不相交時(shí)，則點(diǎn)P有4個(gè)；

二是當(dāng)直線BC與兩圓都相交且與弦AO相交，且不過(guò)兩圓的交點(diǎn)時(shí)，從理論上講應(yīng)有四個(gè)交點(diǎn)，其中與劣弧AO相交的兩個(gè)點(diǎn)P，使得∠APO=150°，不符合題意，所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)也只有2個(gè)．

所以答案應(yīng)修正為：

“Ⅳ）有4個(gè)：直線BC同時(shí)與兩圓都相交且與弦AO不相交”；

第二種情形應(yīng)屬于第2類．

通過(guò)以上的分析可以看出，本題在參考答案的制作過(guò)程中，由于忽略了直線BC與圓的公共點(diǎn)P所形成的角不存在，或在劣弧AO上所形成的∠APO=150°不合題意，導(dǎo)致答案表述不嚴(yán)密.

二、搭橋引路，化動(dòng)為靜

依據(jù)辯證法原理，動(dòng)與靜存在著相互對(duì)立又相互依存的關(guān)系，動(dòng)依賴靜而存在.本題是一道典型的幾何動(dòng)態(tài)綜合問(wèn)題，一方面，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)；另一方面，直線又在平面上平移.運(yùn)用構(gòu)造法是解決本題問(wèn)題的關(guān)鍵，即根據(jù)題設(shè)條件和問(wèn)題的特殊性，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式，搭橋引路，化動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，并借助它們認(rèn)識(shí)并解決原先的問(wèn)題.構(gòu)造法具有多種形式，應(yīng)用范圍廣，具有靈活性與技巧性，是重要的數(shù)學(xué)解題方法之一.本題在解題過(guò)程中所運(yùn)用的是構(gòu)造圖形法，通過(guò)構(gòu)造圓搭起動(dòng)與靜的“橋梁“，即以∠APO=30°為前提，構(gòu)造以AO為弦的圓，目的是通過(guò)構(gòu)造圓這一圖形直觀地揭示已知與未知的關(guān)系，確定論證點(diǎn)P的位置，使證題的思路豁然開(kāi)朗，就如“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”.

本題所體現(xiàn)的考查目標(biāo)，給了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重要啟示：教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，能充分利用已知條件進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)，從中發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)論的聯(lián)系，為問(wèn)題的解決創(chuàng)造條件.在解題教學(xué)中，應(yīng)選取具有代表性的好問(wèn)題，充分挖掘題目所蘊(yùn)含的思想價(jià)值，給予學(xué)生自主學(xué)習(xí)與合作探究的時(shí)空，引導(dǎo)學(xué)生審清題意，理清思路，完整解答，通過(guò)典型問(wèn)題這一把“鑰匙”開(kāi)一類“鎖”，使學(xué)生“做一題、通一類、會(huì)一片”，不斷提高學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維、創(chuàng)新思維和想象能力.

（責(zé)任編輯：王欽敏）