“除數(shù)是兩位數(shù)除法”的教材比較分析

周麗嬌

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）頒布后，新教材于今年9月份全面鋪開使用。本文即運用內(nèi)容分析法，對課程改革之前本地區(qū)使用的義務(wù)教育六年制小學(xué)課本（以下統(tǒng)稱“大綱教材”）、人教版2003課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（以下統(tǒng)稱“實驗教材”）和人教版2013課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（以下統(tǒng)稱“課標(biāo)教材”）這三個版本的教材中有關(guān)“除數(shù)是兩位數(shù)除法”的內(nèi)容進(jìn)行比較分析，探析其編寫特點，以便能更好地解讀教材，厘清知識編排結(jié)構(gòu)，在梳理中明變革、知傳承，深化對教材的認(rèn)識，這樣才能更好地構(gòu)建自己的課堂教學(xué)。

“除數(shù)是兩位數(shù)除法”是小學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)除法的最后階段，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“一位數(shù)乘兩位數(shù)乘法”“除數(shù)是一位數(shù)除法”的基礎(chǔ)上編排的。

一、體例結(jié)構(gòu)上的變與不變

“除數(shù)是兩位數(shù)除法”課標(biāo)教材和實驗教材都安排在四年級上冊，主要內(nèi)容包括口算除法、筆算除法和商的變化規(guī)律，具體按“例題、想一想、做一做、練習(xí)、整理和復(fù)習(xí)”這五大體例來編排，不同的只是例題數(shù)和習(xí)題數(shù)。大綱教材則是將這一內(nèi)容安排在三年級下冊的第3單元，除了編排了除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算除法、除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法外，還編排了連除應(yīng)用題和連除的一些簡便計算。體例上是按“準(zhǔn)備題、例題、試一試、做一做、練習(xí)、復(fù)習(xí)”這六大塊來編排的。

就體例結(jié)構(gòu)而言，大綱教材比課標(biāo)、實驗教材多了“準(zhǔn)備題”和“試一試”，課標(biāo)、實驗教材比大綱教材多了4小題“想一想”，其他基本類同。

（一）關(guān)于準(zhǔn)備題

課標(biāo)、實驗教材沒有編排準(zhǔn)備題，而大綱教材則在每個例題前都編排了1～2題的準(zhǔn)備題。準(zhǔn)備題的編排重視學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，大多是以原有知識作為新課起點，起鋪墊作用。具體內(nèi)容見表1。

表1：大綱教材中“除數(shù)是兩位數(shù)除法”例題與準(zhǔn)備題

例題 準(zhǔn)備題

口

算

除

法 例1：

80里面有幾個10？

80里面有幾個20？

例2：

120÷30=□ 80÷2、60÷3（首位能整除的整十?dāng)?shù)、整百數(shù)除以一位數(shù)）

120÷6、240÷8（首位不能整除的整十?dāng)?shù)、整百數(shù)除以一位數(shù)）

目的是為了復(fù)習(xí)整十、整百數(shù)除以一位數(shù)的口算方法，為學(xué)習(xí)整十?dāng)?shù)除整十?dāng)?shù)、幾百幾十?dāng)?shù)做準(zhǔn)備

筆

算

除

法 例1：

90÷30=□

例2：

200÷60=□

……□

（除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算除法） （1）口算：

40÷20

320÷80 筆算除法試商是以口算除法為基礎(chǔ)的。此口算題是為例題教學(xué)做準(zhǔn)備

（2）（ ）里最大能填幾？

60×（ ）<200

50×（ ）<310 括號里最大能填幾是試商的思考方法，為學(xué)習(xí)筆算除法作鋪墊

例3：

96÷32=□

例4：

143÷41=□

……□

（“四舍”法試商） （1）（ ）里最大能填幾？

40×（ ）<92

20×（ ）<171 復(fù)習(xí)試商和除數(shù)是整十?dāng)?shù)除法的計算方法，為“四舍”法教學(xué)作鋪墊

（2）

例5：443÷58=

（“五入”法試商） （1）（ ）里最大能填幾？

30×（ ）<84

60×（ ）<478 復(fù)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)除法的試商方法和用“四舍”法取除數(shù)接近整十?dāng)?shù)的試商方法

（2）

例6：

283÷72=□（初商過大需調(diào)商） （1）在下面的○里填上>、<或=。

62×6○361

21×7○145

32×8○256

72×5○361

為調(diào)商計算做鋪墊。因本課的難點是出現(xiàn)初商過大時要調(diào)商

（2）289÷72 復(fù)習(xí)鞏固筆算除法的計算方法

例7：392÷48

（初商過小需調(diào)商）

（1）（ ）里最大能填幾？

58×（ ）<350

37×（ ）<154

49×（ ）<248

68×（ ）<492 為估商作鋪墊

（2）382÷48 復(fù)習(xí)筆算除法的計算方法，為教學(xué)例7做準(zhǔn)備

例8：

70÷14=□

例9：

209÷26=□

（除數(shù)個位是4，5，6的兩位數(shù)除法） 25×5

14×6

15×7

24×8

25×3

16×9 除數(shù)個位是4，5，6的兩位數(shù)除法，由于不接近整十?dāng)?shù)，用“四舍五入”法把除數(shù)看成接近整十?dāng)?shù)試商，調(diào)商次數(shù)較多，比較麻煩。用特殊的“口算試乘”法去試商可提高計算的正確率和速度。而準(zhǔn)備題是為本課的“口算試乘”作服務(wù)的

例10：

644÷28=□

例11：

3052÷42=□

（除數(shù)是兩位數(shù)除法的計算法則概括）

本課是法則的總結(jié)。除數(shù)是兩位數(shù)與除數(shù)是一位數(shù)的商的最高位的試商方法是完全相同的。準(zhǔn)備題是為例題法則總結(jié)作鋪墊

例12：

3594÷58=□

（驗算） 222÷37=6

6×37=□

315÷45=7endprint

7×45=□

14÷3=4……2

4×3○□=14 復(fù)習(xí)了整除與有余數(shù)除法中被除數(shù)、除數(shù)、商以及除數(shù)之間的關(guān)系，為例題驗算教學(xué)做準(zhǔn)備。例題教學(xué)中就可以讓學(xué)生根據(jù)以上關(guān)系自己列式驗算，為學(xué)生參與教學(xué)過程創(chuàng)造條件

例13：

9568÷46=□

（商中間有0的除法） （1）648÷6

817÷4 除數(shù)是一位數(shù)除法中商中間有0的除法學(xué)生已學(xué)過，為例題教學(xué)作鋪墊

（2）判斷下面各題的商是幾位數(shù)。

判斷商是幾位數(shù)，由此可推出除數(shù)是兩位數(shù)除法的估商位數(shù)的估商方法，為例題教學(xué)做準(zhǔn)備

例14：

7920÷33

（商末尾有0的除法） 5040÷8

7200÷6

450÷5 復(fù)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)，商末尾有0的除法

備注：例15、例16連除應(yīng)用題，例17連除的簡算略

數(shù)學(xué)是邏輯性很強、系統(tǒng)性嚴(yán)密的學(xué)科，每個知識節(jié)點間都是前后連貫緊密聯(lián)系的。即舊知是新知學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，新知又是舊知的順應(yīng)、組合和發(fā)展。從上表中可看出大綱教材中的“準(zhǔn)備題”都是根據(jù)知識間的聯(lián)系、組合而轉(zhuǎn)換、遷移過來的。筆者認(rèn)為，這些準(zhǔn)備題既可為學(xué)生的自學(xué)、探究學(xué)習(xí)提供樣板，在自學(xué)、探究學(xué)習(xí)中使學(xué)生的遷移意識、遷移能力得到培養(yǎng)，又可為年輕教師的課堂教學(xué)提供“腳手架”。小學(xué)數(shù)學(xué)教科書是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本載體，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中具有不可替代作用，而尤以新教師更甚，新教師相對來說對教材的解讀能力、開發(fā)能力比較薄弱。如大綱教材中的“例6：283÷72=□（初商過大需調(diào)商）”，準(zhǔn)備題“（1）在下面的○里填上>、<或=”就是為調(diào)商計算作鋪墊的；在準(zhǔn)備題“（2）289÷72”中，學(xué)生計算并說說計算的思考過程后，教師可直接把被除數(shù)289改成286，可設(shè)計提問：你們準(zhǔn)備商幾？（因為剛在例4學(xué)習(xí)了“四舍”法試商，學(xué)生一般會說商4）。算一算發(fā)現(xiàn)了什么問題，怎么改——這樣的過程叫“調(diào)商”。又如例13商中間有0的除法，準(zhǔn)備題（1）復(fù)習(xí)了除數(shù)是一位數(shù)除法中商中間有0的除法，準(zhǔn)備題（2）在學(xué)生判斷商是幾位數(shù)的練習(xí)后，此時教師只要引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：看被除數(shù)的前兩位大于（或等于）除數(shù)，商的位數(shù)比被除數(shù)的位數(shù)少1位；如果前兩位小于除數(shù)，商的位數(shù)比被除數(shù)的位數(shù)少2位，這就是“除數(shù)是兩位數(shù)除法”的估商位數(shù)方法。最后引入例題教學(xué)。如此種種教師都可充分利用準(zhǔn)備題中的“例子”來引導(dǎo)學(xué)生尋找知識生長點，讓學(xué)生順著這個生長點進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)，在探究過程中使學(xué)生了解知識的來龍去脈，有利于認(rèn)識構(gòu)建。同時，于新教師而言，編排中教學(xué)方法的滲透，方式上的由淺入深、循序漸進(jìn)，從具體到抽象，都有利于新教師在新課教學(xué)時有所遵循，從而少走彎路。

（二）關(guān)于試一試、練一練

在每個例題后，大綱教材安排了“試一試”“練一練”?！霸囈辉嚒鳖愅谡n標(biāo)、實驗教材中的“做一做”，形式單一，多為基礎(chǔ)練習(xí)。而“練一練”是在“試一試”基礎(chǔ)上的提升，內(nèi)容相對來說較豐富，個中習(xí)題都是圍繞著本節(jié)課的例題編排、服務(wù)的。如例5學(xué)習(xí)“443÷58（“五入”法試商）”在2小題“試一試”后編排了“練一練”，“練一練”中的5道習(xí)題都是圍繞著例5內(nèi)容，分別是（1）先說說下面各題的除數(shù)可以看作多少試商，再進(jìn)行計算；（2）（ ）里最大能填幾？；（3）（4）是用豎式計算有12小題；（5）算用結(jié)合。這5道習(xí)題重點是鞏固試商方法，并能正確地進(jìn)行計算，但每題的要求又有所側(cè)重。

大綱教材這種體例編排優(yōu)點外顯。“除數(shù)是兩位數(shù)除法”是比較復(fù)雜的計算知識，學(xué)生在理解算理、算法的基礎(chǔ)上得花費一定的時間和精力——得有適量的練習(xí)來掌握計算方法、拓寬計算思路和提高學(xué)生的計算技能，而后才能正確、熟練、靈活地計算。教材按“準(zhǔn)備題→例題→試一試→練一練”的順序編排，結(jié)構(gòu)清晰而完整，練習(xí)適量。這樣的編排方式給了學(xué)生一個完整“自學(xué)單”，學(xué)生可完全借助已掌握的知識技能來對新知的學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的影響，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。

（三）關(guān)于想一想

課標(biāo)教材和實驗教材在口算除法例題教學(xué)后都安排了相應(yīng)的除法估算，即“想一想：83÷20≈，80÷19≈，122÷30≈，120÷28≈”，這樣編排的目的是為估商、試商做準(zhǔn)備的。這在大綱教材中是沒有的。

應(yīng)該說，估算能力是計算能力的重要組成部分。在日常學(xué)習(xí)、生活中，處處有計算，也處處離不開估算。從某種意義上說，估算的應(yīng)用已大大超過精確計算。教給學(xué)生常用的估算方法，培養(yǎng)學(xué)生估算意識、估算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一項重要任務(wù)。大綱教材中估算是作為“選學(xué)內(nèi)容”，當(dāng)下的課標(biāo)教材和剛過去的實驗教材都是作為重要的“必學(xué)內(nèi)容”呈現(xiàn)，適時穿插在各個知識節(jié)點中。如本單元在編排了口算除法后馬上安排了除法估算，其意義顯而易見。

（四）關(guān)于連除應(yīng)用題

實驗教材連除、連乘應(yīng)用題集中編排在三年級下冊第八單元《解決問題》中，在“除數(shù)是兩位數(shù)除法”之前。如下圖所示：

該版本教材立足于情境創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生在生動活潑的內(nèi)容及生活實際問題中自主收集、理解數(shù)學(xué)信息，尋找解決問題的方法。課標(biāo)教材由于3～6年級下冊還未面世，具體如何編排不得而知。大綱教材則是將這一內(nèi)容編排在“除數(shù)是兩位數(shù)除法”之后，共安排了2個例題，介紹了兩種解答方法。教材中主要借助線段圖幫助學(xué)生理解連除應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系。

就教材編排順序來說，筆者認(rèn)為還是大綱教材比較合理。關(guān)于問題解決，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中第一學(xué)段的教學(xué)目標(biāo)：“能在教師的指導(dǎo)下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)和提出簡單的數(shù)學(xué)問題……知道同一問題可以有不同的解決的辦法?！边B除問題很明顯就有兩種解決辦法，如上圖的“做一做”可以先從“能裝幾盒”入手解決問題，也可以先解決“一箱裝多少個杯子”，這完全取決于學(xué)生觀察思考的角度。但如果編排在“除數(shù)是兩位數(shù)除法”之前，很明顯對于“一箱能裝多少個杯子——960÷48”這一策略，學(xué)生在計算上會受到阻礙。曾記得筆者在上個學(xué)期教學(xué)這類問題時很多學(xué)生想到了這種策略，筆者看著學(xué)生那種“心有余而力不足”的神情也只能表示無奈。endprint

二、內(nèi)容數(shù)量上的變與不變

筆者就這三套教材在這一單元中所涉及的例題數(shù)、習(xí)題數(shù)（包括純計算題數(shù)、算用結(jié)合題數(shù)、其他類型習(xí)題數(shù)）等方面進(jìn)行了實證分析（具體圖示如下），其中不包括連除應(yīng)用題和連除簡算。

由上圖可知，近二十年來教材中關(guān)乎“除數(shù)是兩位數(shù)除法”的編排線索，其中蘊含著教材建設(shè)中一些規(guī)律性的東西，也不乏一些經(jīng)驗教訓(xùn)。最明顯的編排規(guī)律就是除了算用結(jié)合外，大綱教材、實驗教材、課標(biāo)教材不管是在例題、計算題和其他習(xí)題在數(shù)量分布上均呈“U形”發(fā)展態(tài)勢。

培養(yǎng)小學(xué)生的計算能力應(yīng)該是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。但在課改初期幾乎直接顛覆了傳統(tǒng)小學(xué)計算教學(xué)的方法和地位，大肆開展情境教學(xué)、問題教學(xué)，把解決問題作為計算教學(xué)的自然組成部分。最終卻弄巧成拙，學(xué)生過多地游離在情境之中，反而影響了計算目標(biāo)達(dá)成。片面追求算法多樣化也影響了學(xué)生計算技能的掌握，而計算能力的削弱勢必影響學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)。任何時候，計算都是需要通過一定量的練習(xí)模仿和針對性訓(xùn)練，才能形成必要的計算技能。很欣慰，我們看到了課標(biāo)教材的理性回歸。

（一）例題上的變與不變

筆者對這三套教材中有關(guān)“除數(shù)是兩位數(shù)除法的筆算”的部分例題進(jìn)行整理，具體內(nèi)容見表2。

表2 “除數(shù)是兩位數(shù)除法的筆算”部分例題

大綱教材 實驗教材 課標(biāo)教材

例1：90÷30（除數(shù)是整十?dāng)?shù)、整除）

例2：200÷60（除數(shù)是整十?dāng)?shù)、被除數(shù)的前兩位不夠除，要看前三位）

例3：96÷32

（“四舍”法試商、整除）

例4：143÷41（“四舍”法試商、有余數(shù)）

例5：443÷58（“五入”法試商、有余數(shù)）

例6：283÷72（初商過大需調(diào)商）

例7：392÷48（初商過小需調(diào)商）

例8：70÷14（除數(shù)個位是4，5，6的兩位數(shù)除法）

例9：209÷26（除數(shù)個位是4，5，6的兩位數(shù)除法，有余數(shù)除法）

例10：644÷28

例11：3052÷42

（除數(shù)是兩位數(shù)除法的法則）

例12：3594÷58（驗算）

例13：9568÷46

（商中間有0的除法）

例14：7920÷33（商末尾有0的除法） 例1：92÷30

（除數(shù)是整十?dāng)?shù)、有余數(shù)）

140÷30（除數(shù)整十?dāng)?shù)，被除數(shù)的前兩位不夠除，要看前三位）

例2：84÷21

196÷39（“四舍五入”法試商）

例3：140÷26（除數(shù)個位是4，5，6的兩位數(shù)除法，有余數(shù)除法）

例4：576÷18（商是兩位數(shù)）

930÷31（商的個位寫0的問題）

例5：商的變化規(guī)律

例1：92÷30（除數(shù)是整十?dāng)?shù)、有余數(shù)）

例2：178÷30（除數(shù)整十?dāng)?shù)，被除數(shù)前兩位不夠除，看前三位）

例3：84÷21 、430÷62（“四舍”法試商）

例4：197÷28（“五入”法試商、有余數(shù)）

例5：240÷26（靈活試商）

例6：612÷18（商是兩位數(shù)）

例7：940÷31（商的個位寫0的問題

例8：商的變化規(guī)律

例9：780÷30（商的變化規(guī)律的應(yīng)用）

例10：840÷50（商的變化規(guī)律的應(yīng)用）

由表2可知，就筆算除法這部分知識大綱教材安排了14個例題，實驗教材安排了5個例題，課標(biāo)教材安排了10個例題。從例題設(shè)置上我們可知大綱教材“邁的步子較小”，如“四舍五入”法試商就有5個例題，有“四舍”法試商整除→有余數(shù)→“五入”法試商→“四舍”后初商過大需調(diào)商→“五入”后初商過小需調(diào)商，這樣“小步驟、多循環(huán)”的編排方式，有利于一些接受能力較差的學(xué)生學(xué)習(xí)。實驗教材“邁的步子較大”，從大綱教材的14個例題直接減少到5個例題，留給學(xué)生更大的探索和思考空間。這種“沖鋒式”的挺進(jìn)，其教訓(xùn)也是深刻的：例題數(shù)減少、配備習(xí)題量縮減、課時數(shù)遞減，直接削弱了學(xué)生的計算能力，也影響了學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)力。筆者曾就“使用實驗教材的學(xué)生計算能力狀況”走訪了多所初中、高中。初、高中教師對使用實驗教材的學(xué)生計算準(zhǔn)確率低的情況也深感困惑，這困惑跟教材的設(shè)置顯然是有一定關(guān)系的。再看，課標(biāo)教材“邁的步子較理性”。課標(biāo)教材改變了例題的設(shè)置，并配置了一定量的練習(xí)且增設(shè)了課時數(shù)，還根據(jù)教學(xué)實際需要增設(shè)了一些例題，如在例8學(xué)習(xí)了“商的變化規(guī)律”后增編了2個例題的規(guī)律運用，讓學(xué)生意識到利用商不變規(guī)律不僅可以使口算簡便，還可以使筆算簡便。這些措施都凸顯了教材編排上注重教學(xué)重難點層層落實的理性回歸，有助于減緩教學(xué)的坡度，降低教學(xué)的難度，逐步培養(yǎng)、提升學(xué)生的計算能力。

（二）練習(xí)上的變與不變

1.習(xí)題數(shù)

筆者曾就大綱教材、實驗教材、課標(biāo)教材中純計算（口算、筆算）部分進(jìn)行了統(tǒng)計，大綱教材有134道習(xí)題699小題，實驗教材有30道習(xí)題136小題，課標(biāo)教材有62道習(xí)題493小題。其中大綱教材例題前的“準(zhǔn)備題”有16道習(xí)題43小題，例題后的“練一練”有43道習(xí)題234小題，剔除這兩項后剩下有75道習(xí)題422小題，這數(shù)據(jù)表面上看與課標(biāo)教材的493小題很接近。但由表2的比較中可知，大綱教材的例11～14是兩位數(shù)除四位數(shù)，課標(biāo)教材是兩位數(shù)除三位數(shù)，從這點上分析，課標(biāo)教材的習(xí)題數(shù)比大綱教材還要豐厚。

2.習(xí)題形式

課標(biāo)教材上練習(xí)形式多樣。如例1、例2教學(xué)后安排的“練習(xí)十三”安排了12個習(xí)題。這些習(xí)題都非常注重學(xué)生估商、調(diào)商、試商能力的培養(yǎng)，如第1題“（ ）里最大能填幾？”這是試商的思考方法，為估商作鋪墊；第2題“說出各題的商是幾，應(yīng)該寫在什么位置”和第4題“先想一想各題的商的位置，再計算”，練習(xí)重點是鞏固試商方法，并能正確計算；第10題“在○里填上‘>‘<或‘=‘”，是為調(diào)商計算作鋪墊。如此種種不作一一舉隅。筆者認(rèn)為這一編排形式體現(xiàn)了口算、估算、筆算、簡算“四位一體”的自然圓融，提升了學(xué)生計算的靈活性。

3.習(xí)題內(nèi)容

課標(biāo)教材習(xí)題內(nèi)容豐厚而精致，這是筆者對三個版本教材比較后得出的最大的感受。“除數(shù)是兩位數(shù)除法”的試商方法很多，除了教材例題上介紹的“四舍五入”法試商外，還有很經(jīng)典的“同頭無除商八、九”“除數(shù)折半商四、五”“高位試、低位調(diào)”等。這些都在課標(biāo)教材的習(xí)題編排上作出了很好的詮釋。

以下便是課標(biāo)教材“練習(xí)十四“的第10題、第18題，體現(xiàn)了“同頭無除商八、九”。

以下是“練習(xí)十五”的第4題，體現(xiàn)了“除數(shù)折半商四、五”。

以下是“練習(xí)十八”的第10題，可用“高位試、低位調(diào)”的試商方法去思考。

如第2小題的“3□9÷36”， 高位3與什么數(shù)相乘，積大于等于30而小于40，再根據(jù)低位上的數(shù)與商相乘的積來填方框里的數(shù)。筆者認(rèn)為，課標(biāo)教材這些充實的學(xué)習(xí)材料突出了培養(yǎng)學(xué)生“四能”的引導(dǎo)過程，也培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力！

教材的改變顯然是順應(yīng)了現(xiàn)代教育的需要，教無定法，貴在得法，通過對三個時期、三個版本教材的解讀、比較、分析，筆者也從中得悟：善讀善悟，在止于至善！此乃教學(xué)一道！

（浙江省臨海市大洋小學(xué) 317000）endprint