從1到單位“1”，只是換了一個(gè)“馬甲”？

劉佳　嚴(yán)育洪

【“望”：病例觀察】

“分?jǐn)?shù)的意義”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)的內(nèi)容。教師出示例1——

師：請(qǐng)大家根據(jù)每幅圖的意思，用分?jǐn)?shù)表示每幅圖中的涂色部分。想一想每個(gè)分?jǐn)?shù)各表示什么？在小組內(nèi)交流。

師（小結(jié)）：一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或由許多物體組成的一個(gè)整體，都可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常我們把它叫作單位“1”。

坐在筆者旁邊的一個(gè)學(xué)生嘀咕了一句：“不能就說(shuō)1嗎？干嘛還加個(gè)引號(hào)加個(gè)‘單位？”

教師并未給學(xué)生質(zhì)疑的機(jī)會(huì)，依舊按照進(jìn)度揭示分?jǐn)?shù)的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)。

【“問(wèn)”：病歷記錄】

課后，筆者詢問(wèn)上課教師：“你覺(jué)得這節(jié)課難嗎？”

上課教師輕松地回答：“不難。因?yàn)閷W(xué)生之前已經(jīng)多次學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，這節(jié)課只是把分?jǐn)?shù)平均分的總數(shù)用單位‘1表示，然后用文字概括出分?jǐn)?shù)的意義。其他也沒(méi)什么新的內(nèi)容，學(xué)生感覺(jué)好像是一節(jié)復(fù)習(xí)課，例1中的那些圖都是學(xué)生以前學(xué)過(guò)的?！?/p>

筆者接著問(wèn)：“單位‘1與自然數(shù)1有區(qū)別么？單位‘1的1上為什么要加個(gè)引號(hào)？”

上課教師胸有成竹地答道：“單位‘1就是整體‘1，并不是真的指1個(gè)，所以要加上引號(hào)。分?jǐn)?shù)是分出來(lái)的數(shù)，單位‘1相當(dāng)于總數(shù)、份數(shù)、每份數(shù)中的總數(shù)?！?/p>

筆者最后問(wèn)：“單位‘1與整體‘1有區(qū)別么？單位‘1的‘單位一詞是否別有用意呢？”

上課教師對(duì)這個(gè)問(wèn)題感到奇怪也感到疑惑：“單位‘1與整體‘1應(yīng)該只是說(shuō)法不同吧？單位‘1只是一種名稱吧？”

筆者又找來(lái)那個(gè)課中嘀咕的學(xué)生問(wèn)道：“你現(xiàn)在知道為什么叫單位‘1了嗎？”

學(xué)生答道：“我是這樣想的，單位‘1就是1后面可以加上很多單位，例如1個(gè)餅、1個(gè)圓、1箱蘋果……”

……

【“切”：病理診治】

正如上述課例中那樣，雖然在小學(xué)階段分?jǐn)?shù)是學(xué)生最難理解的數(shù)，但對(duì)這節(jié)課，許多教師認(rèn)為并不難，只需要把以前教學(xué)的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”歸納一下，然后引進(jìn)單位“1”這個(gè)新名詞概括一下，抽象出分?jǐn)?shù)意義。然而，事實(shí)并非如此，課中和課后學(xué)生的困惑正是本課教學(xué)的難點(diǎn)。

從數(shù)系看，分?jǐn)?shù)是自然數(shù)系的第一次擴(kuò)充。雖然學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過(guò)了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，但他們對(duì)分?jǐn)?shù)的意義還是相當(dāng)模糊的，首當(dāng)其沖地表現(xiàn)為對(duì)單位“1”的理解。單位“1”絕非一個(gè)新名字那么簡(jiǎn)單，它直接牽涉到學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。在之后的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)之路上，學(xué)生會(huì)越來(lái)越發(fā)現(xiàn)單位“1”對(duì)解題的重要，或許學(xué)生可以根據(jù)教師教給的快捷方法找到單位“1”，但這更多的是一種機(jī)械學(xué)習(xí)。那么，單位“1”是否如上述教師和學(xué)生理解的那樣呢？

在教學(xué)中，教師大都能在“多個(gè)物體組成的整體”中發(fā)現(xiàn)單位“1”與自然數(shù)1的區(qū)別：一個(gè)整體的“1”是單位“1”，而整體中的每一個(gè)物體的1就是自然數(shù)1；許多教師還能這樣來(lái)區(qū)分：用于等分時(shí)的“1”是單位“1”，用于數(shù)數(shù)時(shí)的1是自然數(shù)1。例如：把一個(gè)蘋果平均分成4份，這時(shí)的1個(gè)蘋果的“1”是單位“1”，而在數(shù)有幾個(gè)蘋果時(shí)的“1”是自然數(shù)1；把5個(gè)蘋果平均分成5份，這時(shí)的5個(gè)蘋果作為一個(gè)整體的“1”是單位“1”，而5個(gè)蘋果中的1個(gè)蘋果（分得的結(jié)果）的“1”是自然數(shù)1。

根據(jù)教材所示的分?jǐn)?shù)份數(shù)定義，教師具有“分?jǐn)?shù)是分出來(lái)的數(shù)”的認(rèn)識(shí)，由“分”就會(huì)想到總數(shù)、份數(shù)、每份數(shù)，那么單位“1”是否如上述上課教師所認(rèn)為的那樣等同于總數(shù)呢？

華羅庚說(shuō)：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量?！睂?duì)度量維度的研究，可以大大豐富學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。度量（對(duì)小學(xué)生而言，可能用“測(cè)量”更有感覺(jué)）需要一個(gè)單位，也就是度量需要有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)?！掇o海》中對(duì)“單位”一詞解釋為：量度中作為記數(shù)單元所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)量。引用于分?jǐn)?shù)，這個(gè)“度量”單位（實(shí)際上是計(jì)數(shù)時(shí)的參照標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)小學(xué)生而言，“度量”這種說(shuō)法要比“計(jì)數(shù)”更直觀形象）就是單位“1”。由于用單位“1”度量時(shí)，有時(shí)能整次數(shù)量完，這時(shí)可以用整數(shù)記錄次數(shù)，有時(shí)就不能整次數(shù)量完，有剩余現(xiàn)象，這時(shí)就需要把剩余部分，再用另一種新的較小度量單位來(lái)進(jìn)行度量和計(jì)數(shù)，這種與原來(lái)的計(jì)數(shù)既有區(qū)別、又有聯(lián)系的新的計(jì)數(shù)方法就是分?jǐn)?shù)（這一思路與以前教材曾編排“用米尺測(cè)量黑板長(zhǎng)度最后剩下的一段不夠1米來(lái)引出分?jǐn)?shù)”基本相同）。這段論述可以幫助我們認(rèn)清單位“1”的真實(shí)面目：

一是單位“1”與自然數(shù)1既有聯(lián)系又有區(qū)別。單位“1”中的“1”是與其他事物比較時(shí)的一種表示方法，為了與自然數(shù)1相區(qū)別，故加上了引號(hào)（在教學(xué)中，教師可以借助語(yǔ)文中引號(hào)“表示特定的稱謂”這一作用幫助學(xué)生理解）。上述課例，教師所揭示的“一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或由許多物體組成的一個(gè)整體，都可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常我們把它叫作單位‘1”，這種照本宣科無(wú)法讓學(xué)生看到單位“1”與自然數(shù)1的區(qū)別。

二是單位“1”與整體“1”既有聯(lián)系又有區(qū)別。如上述課例那樣，許多教師常常把單位“1”看作整體“1”的數(shù)學(xué)專用術(shù)語(yǔ)，甚至認(rèn)為整體“1”只指由多個(gè)物體組成的一個(gè)整體。對(duì)此，我們可以思考這樣的問(wèn)題：如果僅僅作為一個(gè)整體，何必要單位？只有在計(jì)數(shù)時(shí)才需要考慮單位。也就是說(shuō)單位“1”指向的是計(jì)數(shù)，而整體“1”更多指向于這個(gè)數(shù)本身，更多體現(xiàn)的是一種獨(dú)立的意義，而不指向于計(jì)量或計(jì)數(shù)的性質(zhì)，即較少體現(xiàn)出與其他數(shù)的關(guān)系。換一句話說(shuō)，就是1個(gè)物體獨(dú)立存在的時(shí)候，它更多的是可以看作1個(gè)整體（整體“1”），而不是單位“1”；只有當(dāng)它跟多個(gè)物體1，需要計(jì)數(shù)時(shí)才需要“單位”。從“度量”上看，因?yàn)槎攘繂挝皇强梢匀我獯_定的，所以單位“1”就不一定只是一個(gè)單個(gè)物體，它也可以是多個(gè)物體組成的一個(gè)整體，或是一個(gè)單個(gè)物體的一個(gè)部分。由此可見(jiàn)，上述上課教師所認(rèn)為的單位“1”等同于總數(shù)的想法并不正確。

上述課例中，學(xué)生望文生義，雖然把單位“1”的“單位”錯(cuò)誤理解成了單位名稱，但反映出學(xué)生普遍有著學(xué)習(xí)的警覺(jué)性和知識(shí)的敏感性。單位“1”的如此深意，該怎樣讓五年級(jí)的學(xué)生有所感覺(jué)，從而解開心中的疙瘩呢？對(duì)此，原《福建教育》數(shù)學(xué)編輯鐘建林建議：第一，讓學(xué)生知道這里學(xué)習(xí)的“1”，跟原來(lái)的自然數(shù)1是有區(qū)別的，因?yàn)檫@里的“1”，常常是將特定的對(duì)象看作整體，當(dāng)作1個(gè)部分。這些特定的對(duì)象，可以是1塊餅、1個(gè)長(zhǎng)方形，也可以是5個(gè)人、6個(gè)圓，還可以是半個(gè)蘋果；第二，這樣的整體，有時(shí)不只1個(gè)，可能會(huì)有好幾個(gè)；第三，自然數(shù)1，一般具有絕對(duì)性，而單位“1”常常具有相對(duì)性。endprint

以上三點(diǎn)（特別是后兩點(diǎn)）的達(dá)成并非一日之功。在具體教學(xué)中，教師可以分三步來(lái)幫助學(xué)生理解——

第一步：用米尺測(cè)量黑板長(zhǎng)度。此時(shí)1米看作“1個(gè)單位”（也就是單位“1”），量了3個(gè)整次數(shù)，那么就得到3個(gè)單位“1”，也就是3個(gè)1米，記作3米，剩下的不夠1米，如果把1米這個(gè)單位“1”平均分成10份，剩下的正好是其中的3份，那么就得到了一個(gè)新的數(shù)（個(gè)單位“1”），也就是個(gè)1米，記作米?，F(xiàn)在的教材呈現(xiàn)的只是最后一段把單位“1”進(jìn)行“分”的過(guò)程，不重視用單位“1”進(jìn)行“量”的過(guò)程，于是讓人感覺(jué)到似乎“分?jǐn)?shù)是分出來(lái)的數(shù)”。

第二步：將連續(xù)量換成離散量。有6個(gè)蘋果，如果分別用1個(gè)蘋果、2個(gè)蘋果、3個(gè)蘋果看作單位“1”去“度量”（借用上述活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，計(jì)數(shù)的形象化理解），那么6個(gè)蘋果就會(huì)有這樣的6個(gè)單位“1”、3個(gè)單位“1”、2個(gè)單位“1”。用不同的單位“1”去計(jì)數(shù)，會(huì)產(chǎn)生不同結(jié)果。前一活動(dòng)中，單位“1”的量正好對(duì)應(yīng)著一個(gè)長(zhǎng)度單位，而這一活動(dòng)中，單位“1”的量沒(méi)有一個(gè)特定的單位名稱相匹配（這也就是學(xué)生理解此類單位“1”的難點(diǎn)）。

至此，有了前面的鋪墊過(guò)程，學(xué)生清晰地看到了用單位“1”去“量”的過(guò)程，也就能大體明白：在分?jǐn)?shù)意義中，把單位“1”平均分是因?yàn)椴粔颉傲俊保骄殖蓭追菔怯杀容^量決定的。這里，學(xué)生除了感覺(jué)到“分”的過(guò)程，也能感覺(jué)到“量”的過(guò)程，還能隱約感覺(jué)到“比”的過(guò)程。這樣，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義才能理解得更深刻。例如對(duì)，除了套用教材所寫的分?jǐn)?shù)意義：“把7個(gè)蘋果看作單位‘1。表示把單位‘1平均分成7份，表示這樣的6份?！睂W(xué)生還可能會(huì)這樣理解：“表示用7個(gè)蘋果組成的單位‘1去度量6個(gè)蘋果所得到的新的數(shù)?！?/p>

第三步：為教材再打一個(gè)“補(bǔ)丁”，彌補(bǔ)現(xiàn)有教材只出現(xiàn)把一個(gè)物體以及幾個(gè)物體組成的整體看作單位“1”。教師提供如下圖的例子進(jìn)行對(duì)比：“同樣是半個(gè)蘋果，為什么表示的結(jié)果卻不一樣？”（因?yàn)榈谝环鶊D把一個(gè)蘋果看作單位“1”，第二幅圖把半個(gè)蘋果看作單位“1”）讓學(xué)生明白單位“1”也可以是一個(gè)單個(gè)物體的一個(gè)部分（以后的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)遇到有些題目的解答可以根據(jù)分?jǐn)?shù)比的定義，確定其中某一部分量為標(biāo)準(zhǔn)——單位“1”，其他的量再與它進(jìn)行比較，從中找出不同量之間的關(guān)系，最終確定相關(guān)量的大?。?/p>

（） （1）

如此教學(xué)“插曲”，學(xué)生對(duì)單位“1”的比較標(biāo)準(zhǔn)會(huì)有深刻的印象。當(dāng)然，我們不能急于求成，要允許學(xué)生有不嚴(yán)密的理解。

分?jǐn)?shù)的不同定義，也會(huì)幫助學(xué)生更好地理解單位“1”。張奠宙教授認(rèn)為，分?jǐn)?shù)定義按人們認(rèn)識(shí)發(fā)展的順序，一般有份數(shù)定義、商定義、比定義、公理化定義四種情況（小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)涉及前三種）。教材所示的分?jǐn)?shù)意義屬于份數(shù)定義，是從分?jǐn)?shù)的“面積模型”（用一個(gè)物體或圖形的面積表示部分與整體之間的關(guān)系）和“集合模型”（用集合中的“子集—全集”來(lái)表示分?jǐn)?shù)）的維度來(lái)引入分?jǐn)?shù)的。用份數(shù)定義引入分?jǐn)?shù)是非常自然的，因此，教材把分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義作為教學(xué)起點(diǎn)，但是不宜過(guò)分強(qiáng)調(diào)，教師應(yīng)幫助學(xué)生向更抽象的分?jǐn)?shù)定義遷移。連接上述“三步曲”的教學(xué)滲透，我們還可以在一年后“比的意義”教學(xué)之前再續(xù)前緣，通過(guò)如下教學(xué)活動(dòng)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的比定義的感知——

教師出示一條線段，提問(wèn)：你會(huì)表示出這條線段的嗎？

學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，“分”出：

生1：1號(hào)線段有2號(hào)線段的3份那么長(zhǎng)，所以1號(hào)線段有2號(hào)線段的那么長(zhǎng)。

教師根據(jù)生1的回答在1號(hào)線段與2號(hào)線段之間連上虛線來(lái)幫助學(xué)生理解。

生2：我把2號(hào)線段看作單位“1”，去“度量”1號(hào)這條比較短的線段，結(jié)果得到。

教師根據(jù)生2的回答借助多媒體演示用2號(hào)線段去量1號(hào)線段來(lái)幫助學(xué)生理解。

師：如果我擦去2號(hào)線段，1號(hào)線段的這3份還能表示嗎？

生：不能。沒(méi)有了2號(hào)線段，的“5”不見(jiàn)了。

師：不僅能表示出2號(hào)線段平均分的結(jié)果，也能表示出1號(hào)線段和2號(hào)線段這兩個(gè)量之間的關(guān)系。請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎家幌?，我們能否?號(hào)線段看作單位“1”呢？

生：可以。我用1號(hào)線段作為單位“1”去度量2號(hào)線段的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)2號(hào)線段有一個(gè)1號(hào)線段那么長(zhǎng)，還多了1號(hào)線段長(zhǎng)度的，合起來(lái)是1。

……

其實(shí)，從度量維度研究分?jǐn)?shù)，既有“分”的過(guò)程，也有“比”的過(guò)程（比較量與標(biāo)準(zhǔn)量的比較），也就暗藏著分?jǐn)?shù)比的定義。在分?jǐn)?shù)意義的“轉(zhuǎn)移”中，學(xué)生對(duì)單位“1”的認(rèn)識(shí)也會(huì)發(fā)生一定的“轉(zhuǎn)移”。上述教學(xué)，教師有意添加對(duì)象，強(qiáng)化了“比”，幫助學(xué)生從分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義中一個(gè)對(duì)象的“總分關(guān)系”中走出來(lái)，看到了分?jǐn)?shù)還可以表示兩個(gè)對(duì)象的“彼此關(guān)系”，知道了單位“1”不僅可以是“這一個(gè)”，還可以是“那一個(gè)”，體會(huì)到了單位“1”的相對(duì)性，消除了學(xué)生可能存在的“標(biāo)準(zhǔn)量總是大于比較量”“分?jǐn)?shù)總小于1”等誤解。

綜上所述，從自然數(shù)1到單位“1”，不只是換了一個(gè)“馬甲”那么簡(jiǎn)單，其中有很多教學(xué)的文章可做。

（江蘇省宜興市環(huán)科園實(shí)驗(yàn)小學(xué) 214200

（江蘇省無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 214101）

編后語(yǔ)：“概念“既是數(shù)學(xué)教學(xué)本身的教學(xué)內(nèi)容之一，同時(shí)，其也是后續(xù)相關(guān)內(nèi)容教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要支架。在實(shí)際教學(xué)中，為了便于學(xué)生理解，教師往往需要對(duì)此概念作出通俗或簡(jiǎn)約化的表述。從學(xué)理層面看，盡管有些表述不那么科學(xué)和嚴(yán)謹(jǐn)，但這樣做，有時(shí)似乎對(duì)學(xué)生理解當(dāng)時(shí)的教學(xué)問(wèn)題確有幫助。但用一種不那么嚴(yán)謹(jǐn)甚至錯(cuò)誤的概念表述作為教學(xué)支架，不免讓人產(chǎn)生兩個(gè)疑問(wèn)：一是其合理性何在？二也是更為重要的，數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)思維的過(guò)程性，在過(guò)程性中培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)教學(xué)的題中應(yīng)有之義。不少教師尚未對(duì)這一問(wèn)題引起足夠的重視，其從一個(gè)側(cè)面也反映了自身本體性知識(shí)儲(chǔ)備或理解的不足，在一定程度上，也制約著自身專業(yè)成長(zhǎng)的后續(xù)發(fā)展和教學(xué)水平的進(jìn)一步提高。近年來(lái)，這一問(wèn)題開始引起了部分專家和教師的關(guān)注。嚴(yán)育洪老師團(tuán)隊(duì)就此類問(wèn)題進(jìn)行了專項(xiàng)教學(xué)研討，通過(guò)對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”一課的教學(xué)分析，提出了“從自然數(shù)1到單位‘1，不只是換了一個(gè)‘馬甲那么簡(jiǎn)單，其中有很多教學(xué)的文章可做”的論題。當(dāng)然，本文在審稿過(guò)程中，對(duì)于文中表述的一些相關(guān)問(wèn)題也產(chǎn)生了不同的意見(jiàn)。諸如“單位‘1是否可以作為‘度量單位”以及“用單位‘1作為幾個(gè)蘋果組成的整體去‘度量其他不同數(shù)量的蘋果這個(gè)說(shuō)法是否妥當(dāng)”等？（為謹(jǐn)慎起見(jiàn)，在文中嚴(yán)老師也特意對(duì)“度量”的表述作了補(bǔ)充）對(duì)此，嚴(yán)育洪老師本人和本刊熱枕期待大家就類似問(wèn)題展開討論。endprint