分析問題的三種方法

趙文龍

學(xué)生面對(duì)新題時(shí)，因?yàn)槟吧恢绾稳胧?，平時(shí)所學(xué)知識(shí)、思想、方法無法使用，所以就認(rèn)為題目“難”，無法解答.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是不會(huì)分析問題，也就是不能正確選擇解題方法.下面以2013年安徽省高考數(shù)學(xué)題為例，介紹分析問題的三種方法，從而幫助學(xué)生提高分析問題和解決問題的能力.

1.聯(lián)想法

有的題目表面上是以一塊知識(shí)呈現(xiàn)，但要解決問題則需要另一塊知識(shí)，能否將知識(shí)順利切換是關(guān)鍵.聯(lián)想法解題策略就是根據(jù)題目有關(guān)特征，聯(lián)想到相關(guān)知識(shí)，應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題.

例1 （2013年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第8題）函數(shù)y=f（x）的圖象如圖1所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n（n≥2）個(gè)不同的數(shù) x1，x2，…，xn，使得f（x1）x1=f（x2）x2=…=f（xn）xn，則n的取值范圍是（ ）.

A.{3，4} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{2，3}

分析 由條件f（x1）x1=f（x2）x2=…=f（xn）xn的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到直線斜率公式，利用解析幾何和數(shù)形結(jié)合解決問題.

解 函數(shù)圖象上存在n個(gè)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率相等，即n為過原點(diǎn)的直線與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖2可得n的取值為2，3，4，故選B.

2.轉(zhuǎn)換法

轉(zhuǎn)換法是根據(jù)題目條件中某個(gè)條件所具有的性質(zhì)，將該條件轉(zhuǎn)換到其它與之有關(guān)的知識(shí)上，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸，從而打開解題思路.

例2 （2013年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第13題）已知直線y=a交拋物線y=x2于A，B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得 ∠ACB為直角，則a的取值范圍為 ______ .

分析1 從結(jié)論來看，要求a的取值范圍，無從入手.以條件∠ACB為直角為切入點(diǎn)，由此可以得到AC⊥BC，從而有

AC·BC=0 （或kAC·kBC=-1），那么就需要點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo).

解法1 易知a>0，設(shè)C（t，t2），由已知可令A(yù)（a，a），B（-a，a），則AC=（t-a，t2-a），BC=（t+a，t2-a）.因?yàn)锳C·BC=0，所以t2-a+t4-2at2+a2=0，可得（t2-a）（t2+1-a）=0.因?yàn)橛深}易知t2≠a，所以t2=a-1≥0，故a∈[1，+∞）.

分析2 以條件∠ACB為直角為切入點(diǎn)，由此性質(zhì)聯(lián)想到以|AB|為直徑的圓，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將問題化歸為圓與拋物線相交.

解法2 設(shè)直線y=a與y軸交于點(diǎn)M，拋物線y=x2上要存在C點(diǎn)，只要以|AB|為直徑的圓與拋物線y=x2有交點(diǎn)即可，也就是使|AM|≤|MO|，即a≤a（a>0），故a∈[1，+∞）.

3.逆推法

結(jié)論就是解一道題最終獲得的答案，有時(shí)它對(duì)解題目標(biāo)或解題方向有暗示作用，利用好結(jié)論的隱含信息及所學(xué)知識(shí)，從結(jié)論出發(fā)，做逆向分析探究，可以順利求解問題.

例3 （2013年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第14題）如圖3，互不相同的點(diǎn)A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等.設(shè)OAn=an.若a1=1，a2=2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是 ______.

分析 從題目要求結(jié)論和所提供的

條件特點(diǎn)可知，若要求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，則需要求出數(shù)列{an}的遞推公式（利用數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式是常用的方法），以梯形 AnBnBn+1An+1面積均相等為切入點(diǎn)，求出數(shù)列{an}的遞推公式.

解 設(shè)AnBn=cn，△OAnBn邊AnBn上高為hn，因?yàn)樗蠥nBn相互平行，且OAn=an，所以an-1an=cn-1cn=hn-1hn，則cn-1=an-1ancn，hn-1=an-1anhn，同理cn+1=an+1ancn，hn+1=an-1anhn.梯形An-1Bn-1BnAn的面積為12（cn-1+cn）（hn-hn-1）=12（an-1ancn+cn）（hn-an-1anhn），梯形AnBnBn+1An+1的面積為12（cn+cn+1）（hn+1-hn）=12（cn+an-1ancn）（

an-1anhn-hn）.由兩梯形的面積相等可得

12（an-1ancn+cn）（hn-an-1anhn）=12（cn+an+1ancn）（an+1anhn-hn），1-a2n-1a2n=a2n+1a2n-1，

2a2n=a2n-1+a2n+1.所以數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為a21=1，公差為a22-a21=22-1=3的等差數(shù)列，所以a2n=1+（n-1）×3=3n-2（an>2），所以an=3n-2.