喂，定義域呢？

紀宏偉

定義域是函數(shù)的“靈魂”，是研究函數(shù)的基礎.舉凡函數(shù)解析式、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)圖象等，無不以定義域為前提加以討論.可以說，凡是研究與函數(shù)有關(guān)的問題，都必須考慮函數(shù)的定義域，其重要地位由此可見一斑.在解題過程中若忽視定義域這個重要條件，將導致錯誤.現(xiàn)就忽視定義域情形作一剖析，以饗讀者.

1.求函數(shù)解析式

例1 已知f（x）=|x|，x∈[-1，1]，求y=f（x+1）+1的解析式.

錯解 顯然，y=f（x+1）+1=|x+1|+1，x∈[-1，1].

剖析 上述錯誤在于將y=f（x）的定義域搬用到y(tǒng)=f（x+1）+1上，事實上，應用代換原理，y=f（x+1）+1中的x的取值范圍是-1≤x+1≤1即-2≤x≤0，

所以y=f（x+1）+1=|x+1|+1

=-x，-2≤x≤-1，

x+2，-1

2.求函數(shù)的值域或最值

例2 已知f（x）=3x-2，x∈[2，4]，求y=[f -1（x）]2-[f -1（x2）]的值域.

錯解 y=log23x+2log3x+2

，因x∈[2，4]，所以f（x）=3x-2∈[1，9]，即f -1（x）的定義域為[1，9]，從而y的定義域為[1，9]，于是y=log23x+2log3x+2∈[2，10].

剖析 函數(shù)的值域是函數(shù)在定義域上的象集，因此求值域時，函數(shù)的定義域是必須要考慮到的.以上錯解的原因是沒有注意定義域?qū)瘮?shù)值域的影響.在本題中，兩函數(shù)復合后定義域發(fā)生了變化，由f -1（x）的定義域為[1，9]得1≤x2≤9，從而y的定義域為[1，3]，故可求得y的值域是[2，5].

例3 求函數(shù)f（x）=3-2sin2x·tanx的最值.

錯解 f（x）=3-2×2sinxcosx·sinxcosx=3-4sin2x=1+2cos2x.因-1≤cos2x≤1，所以-1≤1+2cos2x≤3，即f（x）min=-1，f（x）max=3.

剖析 在對函數(shù)式進行化簡變形中，必須以不改變定義域為條件，上述錯誤的原因在于忽視了在解題過程中函數(shù)的定義域發(fā)生了變化，導致了三角函數(shù)式的變形為非等價變形，使得最小值的原象不在定義域中.易知f（x）的定義域

為{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，故2x≠π+2kπ，所以-1

3.求三角函數(shù)的周期

例4 求函數(shù)y=4sinx（1-tan2x）secx（1+tan2x）的最小正周期.

錯解 由萬能公式cosx=

1-tan2x21+tan2x2，

將原式化為y=4sinxcosxcos2x=sin4x，

故所求最小正周期為T=π2.

剖析 在解題過程中，忽視了定義域的改變.只有在x≠kπ+π2（k∈Z）的條件下，以上化簡才屬于等價變形.在x≠kπ+π2（k∈Z）的條件下作出y=sin4x的簡圖，不難得到最小正周期

是π.在化簡三角函數(shù)解析式后，千萬莫忘了由原解析式確定定義域，以使得問題正確獲解.

4.對函數(shù)奇偶性的判斷

例5 已知函數(shù)f（x2-3）=lg

x2x2-6，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性.

錯解 設t=x2-3，則x2=t+3，

所以f（t）=lnt+3t-3，即f（x）=lnx+3x-3.

因為f（-x）=ln-x+3-x-3=lnx-3x+3=-f（x），

所以f（x）是奇函數(shù).

剖析 定義域呢？判斷函數(shù)奇偶性，首當其沖的就是要考慮定義域.以上錯解的原因是轉(zhuǎn)換不等價，沒有考慮函數(shù)的定義域.事實上，因

x2x2-6>0，所以x2>6，即t=x2-3>3，所以f（x）=lnx+3x-3定義域不關(guān)于原點對稱，是非奇非偶函數(shù).

5.有關(guān)單調(diào)性問題

例6 已知函數(shù)f（x）=log3（x2-ax+3a）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）.

A.（-∞，4] B.（-4，4]

C.（-∞，4）∪[2，+∞）D.[-4，2）

錯解 只要使x2-ax+3a在[2，+∞）上遞增即可，故a2≤2，選A.

剖析 [2，+∞）首先應是定義域的子集，以上解法忽視了函數(shù)定義域，導致解題失誤. x2-ax+3a>0在[2，+∞）上恒成立，故除滿足a2≤2外，還需要滿足4-2a+3a>0，所以-4

忽視定義域，苦果吃不盡.由以上例題可以看出，對函數(shù)定義域不夠重視，將可能導致在解決有關(guān)問題時出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，因忽視定義域而致誤真可謂屢見不鮮.因此，必須深刻領會定義域在解決有關(guān)函數(shù)問題中的約束作用，在研究函數(shù)問題時樹立起“定義域優(yōu)先”的觀點，確立定義域的思維優(yōu)勢，這樣才能有效防止錯誤的發(fā)生.希望能在教學中引起足夠的重視.