我們?nèi)绾芜M(jìn)行概念教學(xué)？
——關(guān)于《中學(xué)數(shù)學(xué)》中概念教學(xué)的美文欣賞與網(wǎng)絡(luò)研討紀(jì)實(shí)

☉江蘇省無錫市河埒中學(xué)　姜鴻雁

☉江蘇省泰州市教研室錢德春

☉江蘇省南京市六合區(qū)橫梁中學(xué)諸士金

我們?nèi)绾芜M(jìn)行概念教學(xué)？
——關(guān)于《中學(xué)數(shù)學(xué)》中概念教學(xué)的美文欣賞與網(wǎng)絡(luò)研討紀(jì)實(shí)

☉江蘇省無錫市河埒中學(xué)姜鴻雁

☉江蘇省泰州市教研室錢德春

☉江蘇省南京市六合區(qū)橫梁中學(xué)諸士金

編者按：2014年11月18日晚，在本刊編輯部和江蘇鳳凰數(shù)學(xué)網(wǎng)共同策劃下，在鳳凰數(shù)學(xué)11號(hào)群，由多位專家和名師以《中學(xué)數(shù)學(xué)》初中數(shù)學(xué)的三篇文章為引子，就如何進(jìn)行概念教學(xué)，進(jìn)行了深入探討，引人深思.本文呈現(xiàn)這次活動(dòng)的背景和探討實(shí)錄，期待大家深入思考，明確概念教學(xué)的方向.

活動(dòng)策劃：《中學(xué)數(shù)學(xué)》編輯部、鳳凰數(shù)學(xué)網(wǎng)

研討時(shí)間：2014年11月18日20∶00—21∶30

網(wǎng)絡(luò)主持：姜鴻雁（江蘇省無錫市河埒中學(xué)，鳳凰數(shù)學(xué)網(wǎng)）

主講嘉賓：錢德春（江蘇省泰州市教研室）

特邀嘉賓：諸士金（江蘇省南京市六合區(qū)橫梁中學(xué)）

王甫森（山東省諸城市密州路學(xué)校）

朱宸材（江蘇省無錫市金星中學(xué)）

印冬建（江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)）

周詠梅（江蘇省鹽城中學(xué)）

主力平臺(tái)：鳳凰數(shù)學(xué)11號(hào)群（論文1）：QQ：150319582

研討主題：數(shù)學(xué)概念的價(jià)值

以江蘇省特級(jí)教師卜以樓老師在《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）上發(fā)表的文章（2013年第11期《基于“三個(gè)理解”下“圓周角”的教學(xué)預(yù)設(shè)》、2014年第1期《對(duì)“基于‘三個(gè)理解’下‘圓周角’的教學(xué)預(yù)設(shè)”的兩點(diǎn)補(bǔ)述》、2014年第6期《“三個(gè)理解”是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石》）為引子，從數(shù)學(xué)概念的價(jià)值（數(shù)學(xué)價(jià)值、教學(xué)價(jià)值、學(xué)習(xí)價(jià)值）的角度，結(jié)合具體案例研討如何在教學(xué)中凸顯概念的必要性、合理性、生成性、發(fā)展性.

網(wǎng)絡(luò)研討紀(jì)實(shí)

無錫姜鴻雁：眾所周知，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的細(xì)胞，是一章或一節(jié)的起始.這注定了概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要的地位.如何進(jìn)行概念教學(xué)值得思考，今天我們就關(guān)于概念的教學(xué)一起進(jìn)行研討、交流.

山東煙臺(tái)聶小倩：概念是人為抽象事實(shí).

南通印冬建：概念可能因界定的嚴(yán)密與否，在教學(xué)中應(yīng)有所區(qū)別.

南京諸士金：此處的概念教學(xué)應(yīng)該不只是我們常說的某一知識(shí)的具體概念.

無錫姜鴻雁：在備課時(shí)，對(duì)一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念應(yīng)該作出怎樣的思考？對(duì)教學(xué)作出怎樣的預(yù)設(shè)？江蘇省特級(jí)教師卜以樓在《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）2013年第1期《基于“三個(gè)理解”下“圓周角”的教學(xué)預(yù)設(shè)》中作了深刻的剖析，值得我們學(xué)習(xí).

南通印冬建：教師“吃透”概念是教學(xué)的起點(diǎn)，用卜以樓教師在《“三個(gè)理解”是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石》中的話說：數(shù)學(xué)教師要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在理解數(shù)學(xué)上下功夫.

泰州錢德春：關(guān)于概念教學(xué)的“三個(gè)理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，對(duì)概念教學(xué)起著引領(lǐng)作用.看了江蘇省特級(jí)教師卜以樓老師在《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）上發(fā)表的關(guān)于概念教學(xué)的數(shù)篇文章，很有感觸.我想：概念從價(jià)值觀角度體現(xiàn)三個(gè)方面：數(shù)學(xué)價(jià)值、教學(xué)價(jià)值和學(xué)習(xí)價(jià)值，這與“三個(gè)理解”異曲同工.這就聯(lián)想到概念教學(xué)要凸顯四性：必要性、合理性、生成性、發(fā)展性.

南通印冬建：“必要“是對(duì)于學(xué)生的認(rèn)知需求而言，“合理”是對(duì)于教學(xué)時(shí)機(jī)而言，“生成”是對(duì)于獲得方式而言，“發(fā)展”是對(duì)于后續(xù)應(yīng)用而言.不知是否可以這樣理解？

泰州錢德春：首先從必要性上談三個(gè)價(jià)值（或三個(gè)理解）.卜以樓老師在《基于“三個(gè)理解”下“圓周角”的教學(xué)預(yù)設(shè)》《對(duì)“基于‘三個(gè)理解’下‘圓周角’的教學(xué)預(yù)設(shè)”的兩點(diǎn)補(bǔ)述》兩篇文章中均以圓周角的教學(xué)為例闡述了從“三個(gè)理解”的角度對(duì)概念教學(xué)進(jìn)行預(yù)設(shè)，我也想談?wù)勱P(guān)于“圓周角”的一則教學(xué)故事（見《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）2014年第8期中的文章《重組、“補(bǔ)白”、拓展》）.2013年江蘇省初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽中，幾何部分是以“圓周角”為課題的.泰州選手王瑞華老師在說課環(huán)節(jié)出現(xiàn)了意外：準(zhǔn)備好的PPT突然打不開，結(jié)果只好“空口說白話”，然而他的“說”卻引得全場(chǎng)一片掌聲（甚至一位評(píng)委對(duì)我說：不是因?yàn)槲覀冃值芨星樯?，真的是因?yàn)檫@位選手“說”的確實(shí)棒，連我們自己市的選手都沒得這個(gè)高分）.

南京諸士金：是的，當(dāng)時(shí)我在場(chǎng)，印象很深，王老師將對(duì)“圓周角”的理解說的很精彩，沒有PPT作輔助，但很清晰地將理解概念和生成過程表述得很清楚.結(jié)合他的“說”，讓觀眾更進(jìn)一步理解他的設(shè)計(jì)意圖.王老師的教學(xué)設(shè)計(jì)與卜以樓老師文章中的理解、朱桂鳳老師在《落實(shí)真正的“過程化”：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)使然》（見《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）2013年第1期）提及的概念教學(xué)認(rèn)識(shí)比較貼切.

泰州錢德春：其實(shí)他也就是真實(shí)呈現(xiàn)了備課、上課的過程和感受.關(guān)于圓周角的教學(xué)：教材安排與常規(guī)教學(xué)都是沿著“概念—定理—應(yīng)用”的線索展開的，一般的學(xué)生可能只是習(xí)慣性地跟著老師轉(zhuǎn)，少有自己的思考與思維.如果我是學(xué)生，一定會(huì)產(chǎn)生疑問：為什么要研究圓周角？與我有關(guān)嗎？我們來看王老師在引入圓周角概念時(shí)是怎么設(shè)計(jì)的.他從圓心角∠AOB出發(fā)——把O羽化為C，分在圓內(nèi)、圓外、圓上三種情況將C（O）在平面內(nèi)移動(dòng).并將活動(dòng)分為兩個(gè)過程.第一個(gè)過程是學(xué)生的自主操作：學(xué)生自己在紙上畫圖并測(cè)量∠ACB的大小，觀察角有何變化；第二個(gè)過程是教師的畫板演示：拖住點(diǎn)O（C）移動(dòng)，提醒學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)有何現(xiàn)象.學(xué)生在操作、觀察、交流后發(fā)現(xiàn)當(dāng)C在圓內(nèi)和圓外時(shí)，∠ACB的大小在變化；當(dāng)C在圓周上時(shí)∠ACB的大小不變.學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論很奇特——變化中的不變，具有濃烈的數(shù)學(xué)味兒（即數(shù)學(xué)價(jià)值），進(jìn)而產(chǎn)生好奇：這是什么角？為什么有這樣的特點(diǎn)？有必要研究.學(xué)生此時(shí)產(chǎn)生了強(qiáng)烈的認(rèn)知沖動(dòng).這里有兩點(diǎn)要說明.一是理解數(shù)學(xué)：“變中的不變”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，凸顯了數(shù)學(xué)本質(zhì)；二是理解學(xué)生：學(xué)生已有什么？需要什么？學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了圓心角，教者從圓心角出發(fā)，通過一“量”一“動(dòng)”發(fā)現(xiàn)“變中不變”的結(jié)論，從而激發(fā)了學(xué)生探究新知的興趣與沖動(dòng)，進(jìn)而在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上建構(gòu)新知，充分體現(xiàn)了真正意義上的教學(xué)價(jià)值.

無錫姜鴻雁：王老師的教學(xué)過程體現(xiàn)了“理解數(shù)學(xué)”“理解學(xué)生”.

南京諸士金：學(xué)生已有了圓心角的知識(shí)及探究經(jīng)驗(yàn)，從固定的圓心O到移動(dòng)的點(diǎn)C，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C在圓內(nèi)、圓上時(shí)∠ACB的大小變化，點(diǎn)C在圓上時(shí)∠ACB的大小不變，學(xué)生在操作、觀察、發(fā)現(xiàn)中對(duì)圓周角的由來和概念有了初步的感知：（1）圓周角不同于圓心角；（2）圓周角可能和圓心角有關(guān)系；（3）圓周角好像不止一個(gè)，它們有什么關(guān)系？由此，學(xué)生的思維自然地發(fā)展.

無錫朱宸材：解讀概念的來龍去脈比對(duì)概念本身的解讀更為重要，讓學(xué)生理解為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)概念其實(shí)更重要.

鹽城周詠梅：新概念大多是基于已有認(rèn)知的，因此概念教學(xué)時(shí)多以已有知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)為生長(zhǎng)點(diǎn).

諸城王甫森：順應(yīng)認(rèn)知規(guī)律，理解數(shù)學(xué)概念.

泰州錢德春：經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)點(diǎn)是一個(gè)方面，更重要的是從“變中的不變”，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)的價(jià)值，覺得學(xué)習(xí)圓周角“有用”——必要性，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

無錫朱宸材：從自主發(fā)現(xiàn)過程中讓學(xué)生很自然地產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生對(duì)概念學(xué)習(xí)的興趣和熱情.有些課堂“意外”反而成就了經(jīng)典的教學(xué)案例.雖然沒有親歷王老師那節(jié)課，但我很佩服王老師的教學(xué)智慧.

泰州錢德春：關(guān)于概念，教材的安排與常規(guī)教學(xué)都是遵循“概念形成—概念內(nèi)化—概念運(yùn)用”這樣的路徑.這里我想到了“一元二次方程”的概念教學(xué).南通教科研中心主任、江蘇省特級(jí)教師符永平先生創(chuàng)造性地開發(fā)了章頭圖教學(xué)，很有新意.

南京諸士金：是的，符特的這節(jié)課我也觀摩過，是他推出一系列課型中的經(jīng)典課.

泰州錢德春：下面呈現(xiàn)符老師這節(jié)課的精彩片斷.

（在通過問題情境引導(dǎo)學(xué)生列出方程2x2-25=0、x2-x=0、x2+4x-7=0后）

師：你知道這節(jié)課的標(biāo)題嗎？

生1：一元二次方程.

生2：好像問題很多.

師：就這3個(gè)方程，剛才那位同學(xué)說的對(duì)嗎？

生2：對(duì).

師：如果讓你來編寫教材，應(yīng)該怎樣編寫？

生3：先研究定義，再研究解法，最后是應(yīng)用.

師：為什么要這樣編寫？

生4：學(xué)習(xí)方程時(shí)基本上都是這三部分.

師：看來同學(xué)們都能編寫教材，那我們第一步來研究定義，你們學(xué)過哪些方程？

生5：一元一次方程、二元一次方程.

師出示填空：上述_______________，這樣的方程叫做一元二次方程.

生6：含1個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的指數(shù)是2的等式.

師：僅僅是等式？

生6：方程.

師：指數(shù)？都是2？

生7：最高次數(shù)……

從這個(gè)教學(xué)片斷可以看出：教師把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自己定課的標(biāo)題，這是一種積極的心理暗示，學(xué)生感受到教師的信任，從而主動(dòng)地思考：一是回憶已有的經(jīng)驗(yàn)，二是分析3個(gè)方程的特征，進(jìn)而作出判斷.接著，教者讓學(xué)生當(dāng)小主編，“編寫教材”，學(xué)生仍然根據(jù)已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，說出“定義、解法、應(yīng)用”三部分，這里教師不留痕跡地引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法建構(gòu)了知識(shí)體系，同時(shí)得出了研究方程的一般過程與方法.然后根據(jù)一般過程研究定義，教者提問“你學(xué)過哪些方程”，再出示“一元二次方程的定義”的填空.前者引導(dǎo)學(xué)生思考的方向，實(shí)際上起到一個(gè)先行組織者的作用，在此基礎(chǔ)上抽象出3個(gè)方程的共同的本質(zhì)屬性，聯(lián)系學(xué)過的方程的定義方法，學(xué)生自然而然地給一元二次方程下了定義.

泰州錢德春：這里所有的知識(shí)、體系、思想、方法都放手讓學(xué)生自主探究、自我建構(gòu)、自我完善、自我反思，學(xué)生的思維始終處于積極的、活躍的狀態(tài)，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性.這種“放手”不是放任，而是教師的引導(dǎo)、追問、等待、激勵(lì)，充分凸顯了教師的智慧、勇氣、耐心和教學(xué)藝術(shù).以上是我在文章《為了你走近你讀懂你依靠你》（《泰州教育》2012年第1期）中寫到的一個(gè)片斷.

鹽城周詠梅：巧妙地將學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)調(diào)用.

南京諸士金：符特的設(shè)計(jì)基于學(xué)生自主，基于課堂生成，基于知識(shí)的發(fā)展.

泰州錢德春：比如：學(xué)生主體性：自主建構(gòu)；比如：先行組織者等.不過對(duì)這一節(jié)課，或者對(duì)很多課，我想起一個(gè)問題：教師引出那么多例子（方程）然后取名，如果是你怎么編寫教材……如果你是學(xué)生，在列出方程后想什么？換言之，學(xué)生最關(guān)心什么？

鹽城周詠梅：起什么名，特點(diǎn)是什么？為什么這樣起，合理嗎？

南京諸士金：關(guān)心點(diǎn)：（1）從學(xué)習(xí)心理上：我可以給方程取名字嗎？（2）從經(jīng)驗(yàn)遷移上：我可以給方程取名字！那方程名字怎么??？（3）從知識(shí)發(fā)展上：方程我們學(xué)過，一元一次方程可以解，這樣的方程如何解??？

泰州錢德春：諸校長(zhǎng)最后一點(diǎn)所言極是.如果我是學(xué)生，我可能不關(guān)心方程起什么名，也不關(guān)心方程的特點(diǎn)是什么，而是關(guān)心問題的答案是什么，即方程怎么解，這才是從學(xué)生的角度思考，即所謂“以學(xué)定教”.

無錫姜鴻雁：這正是卜以樓老師在文中所說的：老師心中要有厚重的學(xué)生意識(shí).讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)新知的必要性，把新知轉(zhuǎn)化到舊知.

泰州錢德春：如果是我來教，那我就可能讓學(xué)生自己去做，像2x2-25=0的解學(xué)生這一節(jié)課什么都不學(xué)應(yīng)該能做，但解x2+4x-7=0就可能有困難了，這時(shí)教師可以引導(dǎo)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用轉(zhuǎn)化思想，即化未知為已知，那么x2+4x-7=0是已經(jīng)學(xué)過的方程嗎？可以轉(zhuǎn)化嗎？困難！那是什么方程呢？這樣，學(xué)生就覺得有必要認(rèn)識(shí)這個(gè)方程了——概念學(xué)習(xí)的必要性.必要性有兩點(diǎn)：一是具有數(shù)學(xué)價(jià)值，如“變化中的不變”，這是數(shù)學(xué)內(nèi)部層面的；二是形成困惑與沖突，這是學(xué)生認(rèn)知層面的，這就是“以教促學(xué)”.

南京諸士金：是啊，引導(dǎo)由內(nèi)而外生成的必要性比預(yù)設(shè)的“實(shí)際問題情境”凸顯的必要性更有價(jià)值.

泰州錢德春：接著談合理性.各位都講平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)平面內(nèi)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，您認(rèn)為學(xué)生最感興趣的是什么？

無錫姜鴻雁：為什么規(guī)定橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后？數(shù)學(xué)上很多的規(guī)定……

鹽城周詠梅：學(xué)生會(huì)這樣想嗎？

泰州錢德春：學(xué)生之所以不這樣想，是因?yàn)閷W(xué)生不想了，習(xí)慣了等教師說.

無錫姜鴻雁：現(xiàn)在常常不少學(xué)生已經(jīng)不想了，就等老師的講解，但教師需要作出思考這是為什么.

泰州錢德春：“為什么規(guī)定橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后？”教師當(dāng)然可以告訴學(xué)生說是規(guī)定.那學(xué)生問：為什么要這樣規(guī)定？關(guān)鍵是老師本身作過這樣的思考了嗎？

無錫姜鴻雁：這就與教師本身對(duì)數(shù)學(xué)的理解有關(guān)了.

南京諸士金：生活中你言我明，需要建立一個(gè)規(guī)則，前后規(guī)定，上下規(guī)定都是可以的，如何統(tǒng)一就是一種生成.

泰州錢德春：關(guān)于這個(gè)規(guī)定，我們可以舉例子：部隊(duì)指揮官在訓(xùn)練隊(duì)列的時(shí)候，在排列整齊的隊(duì)伍中要讓一位士兵出列，怎么找？當(dāng)然他得先看第幾列（即橫坐標(biāo)），再在第幾列中數(shù)第幾排（即縱坐標(biāo)），這樣一個(gè)淺顯的例子就能解釋“為什么規(guī)定橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后”了.

無錫姜鴻雁：如果我們不注意這些生活細(xì)節(jié)，就錯(cuò)過了很多思考的機(jī)會(huì)，須知數(shù)學(xué)源于生活.

泰州錢德春：再說地圖上表示方位：為什么總是說南偏東（西）、北偏東（西），而不是說東偏南（北）、西偏南（北）？這里就涉及航海中的指南針（羅盤）地磁場(chǎng)中的南極、北極.

南京諸士金：“怎么找？”開放式的設(shè)問，不一樣的回答，規(guī)定前橫后縱是一種實(shí)際理解的必要生成.

泰州錢德春：所有這些都說明規(guī)定、概念需要合理性，也有必要統(tǒng)一規(guī)定.（補(bǔ)充：必要性，概念的統(tǒng)一有利于數(shù)學(xué)的交流、表述、傳承）關(guān)于這個(gè)問題，大家可以看張乃達(dá)先生的文章，其中有一個(gè)零指數(shù)教學(xué)的.

泰州錢德春：概念的生成性，對(duì)學(xué)生而言，對(duì)概念的理解不可能一步到位，常常是一個(gè)不斷發(fā)展、生成的過程.

無錫姜鴻雁：卜以樓老師在《“三個(gè)理解”是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石》中也提到了生成性.

泰州錢德春：不少概念是從白描開始，逐步完善的，也就是裴光亞先生說的“從不嚴(yán)格到嚴(yán)格”.

無錫姜鴻雁：學(xué)生的認(rèn)識(shí)過程是一個(gè)螺旋式上升的過程，不可能一步到位.

無錫朱宸材：同意，學(xué)習(xí)概念一定要建立在學(xué)生自己的思考之上，是一個(gè)逐漸內(nèi)化、吸收的過程.

泰州錢德春：比如：角的概念，小學(xué)二年級(jí)就有了，小學(xué)四年級(jí)也學(xué)，到了初中、高中還學(xué).但每一個(gè)階段對(duì)角的描述和理解要求都不一樣.

無錫姜鴻雁：不同時(shí)期有不同認(rèn)識(shí)，一步步走向本質(zhì)，一步步在提升.隨著思考的角度不同，對(duì)概念理解的深度也不同.

南京諸士金：“混而不錯(cuò)”是一種對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)理解的功底體現(xiàn)，也是一種學(xué)生生成發(fā)展的引導(dǎo)方向之一.

泰州錢德春：我在《對(duì)“慢教育”的漫思考》（中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中）2014年第7期）一文中有這樣的文字：裴光亞先生認(rèn)為“用直觀語言描述”因?yàn)椴粐?yán)格而不能走太遠(yuǎn)，但要想走遠(yuǎn)必須先起步，又得從“不嚴(yán)格”開始，“不嚴(yán)格”正是為“嚴(yán)格”而設(shè)計(jì)的，“不嚴(yán)格”支撐著“嚴(yán)格”，嚴(yán)格又管制著“不嚴(yán)格”.從“不嚴(yán)格”到“嚴(yán)格”的過程，遵循了從低級(jí)到高級(jí)、從感性到理性、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律.例如：關(guān)于角的概念學(xué)習(xí)就分三個(gè)階段，經(jīng)歷了從“不嚴(yán)格”到“嚴(yán)格”的過程.

南京諸士金：是的，教材的設(shè)計(jì)也許還不是盡美盡善，但這樣的遞進(jìn)或者說是螺旋遞進(jìn)一則是為了兼顧學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，另一則也是提供教學(xué)形態(tài)的研究模式，其實(shí)每個(gè)階段的學(xué)習(xí)是可以生成的，但“慢體驗(yàn)”的積累是必須的.

泰州錢德春：回到角的學(xué)習(xí)上來.第一階段：蘇教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》二年級(jí)下冊(cè)第七單元《認(rèn)識(shí)角》（P64），從現(xiàn)實(shí)情境里提取“角”，利用圖形初步建立“角”的表象，沒有給“角”下定義，而是側(cè)重體會(huì)、感知、了解“角有一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊”.第二階段：蘇教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)第二單元《角》（P17）是在第一學(xué)段初步認(rèn)識(shí)了射線、直觀感知了角的基礎(chǔ)上，通過畫圖初步建立“角”的描述性概念：“從一點(diǎn)起畫兩條射線，可以組成一個(gè)角”，并用多種圖形理解對(duì)“角”的描述.第三階段：蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)8.2《角》（P152）呈現(xiàn)了角的兩種概念，一是靜態(tài)的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角；二是動(dòng)態(tài)描述性定義：角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形，動(dòng)態(tài)定義為高中學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)做了鋪添.由此可見，小學(xué)、初中數(shù)學(xué)教材的編排是作為一個(gè)有機(jī)整體思考的，讓學(xué)生對(duì)“角”的認(rèn)識(shí)從直觀感知建立表象，到初步建立描述性概念，再到靜態(tài)、動(dòng)態(tài)的定義，逐步完善、漸趨“嚴(yán)格”.小學(xué)中角的概念“不嚴(yán)格”是為初中的“嚴(yán)格”做準(zhǔn)備，從“不嚴(yán)格”到“嚴(yán)格”的過程，充分體現(xiàn)了一個(gè)“慢”字，這正基于對(duì)學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律的尊重與遵循，對(duì)學(xué)生智慧的喚醒與啟迪.這種高觀點(diǎn)、廣視角、整體觀，教材中不可能有太多的筆墨，但教者卻不能沒有思考.所以概念教學(xué)是逐步生成、生長(zhǎng)與發(fā)展的過程，以學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知心理為出發(fā)點(diǎn)，以課程目標(biāo)為導(dǎo)向.

無錫姜鴻雁：“教材中不可能有太多的筆墨，但教者卻不能沒有思考”，教師責(zé)任重大.

鹽城周詠梅：由感知到描述到靜態(tài)、動(dòng)態(tài)的定義，逐步完善、漸趨“嚴(yán)格”.

無錫朱宸材：在某一階段有其特定的含義？

揚(yáng)州張士明：概念的內(nèi)涵和外延都在螺旋擴(kuò)張！

泰州錢德春：這就是說對(duì)教材、對(duì)教學(xué)和對(duì)學(xué)生的理解，沒有三個(gè)理解，如何教學(xué)？不理解數(shù)學(xué)，會(huì)把學(xué)生引向哪里？不理解學(xué)生，又怎么達(dá)成教學(xué)目標(biāo)？不理解教學(xué)——教學(xué)規(guī)律、藝術(shù)，又怎么能架起數(shù)學(xué)與學(xué)生的橋梁？我在《為了你走近你讀懂你依靠你》一文談到函數(shù)的教學(xué).

南京卜以樓：過去講的教學(xué)有法，教無定法，教應(yīng)得法，與三個(gè)理解有相近或相同之處.

無錫姜鴻雁：函數(shù)概念的教學(xué)一直是熱點(diǎn)、思考點(diǎn).

泰州錢德春：關(guān)于函數(shù)問題（《由3個(gè)8%想到的》（江蘇教育·中學(xué)教學(xué)，2014（4））），初、高中教材根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)作了精心處理.蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》是這樣安排的：七年級(jí)上冊(cè)第三章《代數(shù)式》“3.3代數(shù)式的值”第75頁(yè)議一議：填表（詳見教材）：根據(jù)所填表格，討論下列問題：（1）當(dāng)x為何值時(shí)代數(shù)式2x-1的值等于-1？（2）隨著x的值增大，代數(shù)式2x-1、-3x的值怎樣變化？（3）隨著x的值增大，代數(shù)式的值怎樣變化？結(jié)論：一般地，代數(shù)式的值隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化.同一教材第四章《一元一次方程》的小結(jié)與思考中有這樣的文字：代數(shù)式的值是隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化的，如果字母的值確定，那么代數(shù)式的值也隨之確定.反過來，像2x+1、5x-4、…這樣的代數(shù)式，如果它們的值確定，那么通過解一元一次方程可以求得字母的值.修訂版教科書八年級(jí)下冊(cè)第十章《分式》第100頁(yè)習(xí)題第4題安排了這樣的問題：當(dāng)a的值分別為0.01、0.1、1、10、100時(shí)，求分式的值，隨著a的值變化，的值是如何變化的？教材的這種安排，讓學(xué)生從起始年級(jí)就初步感受了函數(shù)思想，為函數(shù)的學(xué)習(xí)作了鋪墊，雖沒有言明“函數(shù)”二字，但無不滲透著函數(shù)的思想.八年級(jí)開始研究函數(shù)的描述性定義以及幾種簡(jiǎn)單的函數(shù)（如一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等），基本方法是通過作函數(shù)的圖像、通過觀察圖像歸納出函數(shù)的一些基本性質(zhì).高一年級(jí)則對(duì)初等函數(shù)進(jìn)行理論研究，如函數(shù)的定義（集合定義、映射定義），函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的性質(zhì)如有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性等.

無錫姜鴻雁：是的，我今年教七年級(jí)，深有感觸.

泰州錢德春：盡管在教學(xué)七年級(jí)相關(guān)章節(jié)時(shí)，不必向?qū)W生言明”函數(shù)”二字，但教師自己必須清楚教材這樣編寫的目的，并在課堂教學(xué)中有所體現(xiàn).而八年級(jí)、九年級(jí)函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)，重點(diǎn)則是在研究函數(shù)的方法和思想上，基本方法是：函數(shù)表達(dá)式→列表→描點(diǎn)、連線→圖像→性質(zhì)（圖像的位置、函數(shù)的變化趨勢(shì)、范圍、增減性）等.應(yīng)該滲透的思想有：對(duì)應(yīng)思想、運(yùn)動(dòng)變化的思想、數(shù)形結(jié)合思想、對(duì)稱思想等.函數(shù)的圖像是為了研究函數(shù)而建構(gòu)的幾何模型，利用其形象、直觀的特點(diǎn)，通過操作、觀察，歸納、抽象出函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，是一種合情推理、歸納、抽象.而函數(shù)所有的特質(zhì)都源自于函數(shù)表達(dá)式.高中則更多地從理性的角度解析函數(shù)的性質(zhì)，揭示函數(shù)的本質(zhì).

鹽城周詠梅：看來知識(shí)都是螺旋上升展現(xiàn)的.

南京卜以樓：概念教學(xué)要把握好：給例子，找屬性，舉例子，下定義，再辨析這幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié).函數(shù)概念的建立也是如此.

泰州錢德春：這里想表達(dá)的意思是概念的生成性：一是一節(jié)課中概念的生成，二是概念整個(gè)學(xué)習(xí)過程中的生成.基于生成是一種人文關(guān)懷，基于生成的教育也是一種創(chuàng)新的教育，即不斷引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不斷有新的收獲.

南京諸士金：教學(xué)有法——理解數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)本質(zhì)具有科學(xué)的規(guī)律性，是有聯(lián)系的知識(shí)體系；教無定法——理解學(xué)生，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中是有生成的，基于生成是一種人文關(guān)懷；教應(yīng)得法——理解教學(xué)，一個(gè)具有規(guī)律的科學(xué)知識(shí)體系要引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)知和探究，不得其法，不循其理，不僅會(huì)淡化數(shù)學(xué)本質(zhì)，還可能弱化學(xué)生的思維，影響思維的發(fā)展.

鹽城周詠梅：向錢老師學(xué)習(xí)，研究教材，理解教材.

泰州錢德春：再談概念的發(fā)展性，人們總是力求用數(shù)學(xué)去刻畫客觀世界.比如人們總以為（或期待）某個(gè)數(shù)學(xué)概念（或數(shù)學(xué)模型）能夠準(zhǔn)確地描述客觀世界，但隨著認(rèn)識(shí)的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)原有的東西不能滿足現(xiàn)實(shí)需要，有的還有很大的局限性，甚至是錯(cuò)誤的，這就需要不斷修正、完善和發(fā)展.

東莞張青云：這個(gè)世界是量化的世界.

無錫姜鴻雁：在生成中發(fā)展，在發(fā)展中不斷生成.不知道理解得對(duì)不對(duì)？

南京諸士金：生成更側(cè)重于理解學(xué)生，發(fā)展則更廣義些，體現(xiàn)“理解數(shù)學(xué)”可能要多點(diǎn)兒.

泰州錢德春：當(dāng)然，概念的發(fā)展性是從數(shù)學(xué)研究的視角來思考的，教學(xué)中應(yīng)該滲透這種發(fā)展的邏輯關(guān)系，也可以作為數(shù)學(xué)文化來熏陶.

鹽城周詠梅：感覺概念的螺旋上升出現(xiàn)本身就是一種發(fā)展.

泰州錢德春：比如，數(shù)的概念的發(fā)展：從自然數(shù)、算術(shù)數(shù)，到有理數(shù)、實(shí)數(shù)，再到復(fù)數(shù).這些概念的不斷生成、發(fā)展、完善的過程，以及這其中風(fēng)風(fēng)雨雨的故事，就足以說明.李邦河院士語：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的.

東莞張青云：概念在發(fā)展，認(rèn)知也在發(fā)展，量化世界的深度也在發(fā)展.

無錫姜鴻雁：數(shù)學(xué)推動(dòng)人類的文明.

山東煙臺(tái)聶小倩：教師對(duì)概念沒有本質(zhì)的理解，還教給學(xué)生，那將是災(zāi)難.

南京卜以樓：數(shù)學(xué)就是在定義、被定義這樣一個(gè)基本循環(huán)中循環(huán)發(fā)展的.

山東煙臺(tái)聶小倩：曾經(jīng)聽過幾節(jié)“關(guān)于概率初步”的同課異構(gòu)的課，就“確定事件”和“隨機(jī)事件”的處理就看到了這兩個(gè)概念的誤解.

泰州錢德春：現(xiàn)在有少數(shù)老師的概念教學(xué)不注重過程性，固然有教師對(duì)概念理解的問題，還有一個(gè)不可回避的現(xiàn)實(shí)，就是老師被考試牽著鼻子走.你講得再好不如學(xué)生考得好，有的老師雖然講課不怎么樣，但花時(shí)間練，總可以考得好.所以啊所以……

東莞張青云：講與考脫離，使老師把握不了如何講概念了.

無錫錢云祥：在聽課中常發(fā)現(xiàn)淡化概念，略化定理探究過程的現(xiàn)象，竟然還美名其曰高效，其實(shí)這是舍本求末現(xiàn)象.

山東煙臺(tái)聶小倩：如錢主任說的，自己的錯(cuò)誤理解還直接教給學(xué)生.

南京諸士金：遇到一個(gè)新的未知，尋求一個(gè)基于本質(zhì)、基于認(rèn)同的規(guī)則是定義的過程，也是生成概念的過程；而知識(shí)的發(fā)展不會(huì)滿足一家之言，也不會(huì)止步于一個(gè)概念，被定義既是對(duì)概念的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，也是對(duì)概念的生成繼續(xù)探究的形式.確如卜以樓老師所言“數(shù)學(xué)在定義和被定義中的循環(huán)中發(fā)展”！

泰州錢德春：但從長(zhǎng)遠(yuǎn)來說，還是應(yīng)該遵循規(guī)律，真正能理解并正確地表達(dá)概念、運(yùn)用概念，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，講概念的前提是教師對(duì)概念的內(nèi)涵與外延有深刻理解.

鹽城周詠梅：還是要基于理解，展現(xiàn)知識(shí)生成、發(fā)展的過程的.

泰州錢德春：教師自身都不理解，又如何去講？這里回到開始的問題：講概念的目的是什么？不是為概念而概念，而是因?yàn)橛行枰⒁驗(yàn)橛斜匾?，概念的發(fā)展性是從數(shù)學(xué)研究來思考的.

諸城王甫森：順應(yīng)規(guī)律，理解概念：順應(yīng)發(fā)展規(guī)律、順應(yīng)普遍規(guī)律、順應(yīng)認(rèn)知規(guī)律.

泰州錢德春：有些概念只能“白描”，如直線；有的概念是在源概念基礎(chǔ)上定義，即種加屬差式，如“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”；有的是對(duì)事實(shí)的抽象概括，即從某種角度抽象出同一本質(zhì)屬性；還有發(fā)生定義法……

鹽城周詠梅：浦?jǐn)⒌吕蠋熢凇吨袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》（中）2014年第9期的文章中談到分式概念的教學(xué)，由分?jǐn)?shù)引入，整個(gè)過程中始終類比分?jǐn)?shù)得出分式的概念、性質(zhì)，也基于整式的生長(zhǎng)點(diǎn)，分式運(yùn)算是整式的除法.文章認(rèn)為這是概念常態(tài)中立意很高的課.

南京卜以樓：概念是將相同屬性的東西打個(gè)包，為下一步研究提供方便.

泰州錢德春：事實(shí)上，如果學(xué)生能掌握概念，理清概念之間的關(guān)系，那么一定能學(xué)好數(shù)學(xué).概念學(xué)習(xí)不僅是打包、命名的過程，同時(shí)還是抽象與濃縮的過程.

諸城王甫森：理清概念之間的關(guān)系，是理解數(shù)學(xué)概念的維度之一.

泰州錢德春：建議各位多看卜以樓老師的文章，其層次性、邏輯性都很強(qiáng).看卜特的文章是一種享受.

無錫姜鴻雁：專家們的文章都值得閱讀、思考.大師的文章寫出了其他人想到的卻表達(dá)不出來的，更寫出了其他人沒有想到的，越讀越有味兒，感謝諸如《中學(xué)數(shù)學(xué)》這樣優(yōu)秀的數(shù)學(xué)雜志為我們廣大一線教師提供學(xué)習(xí)的平臺(tái)，感謝專家、名師把自己的智慧與我們分享.

東莞張青云：我剛剛拜讀過讀錢主任的《重組、補(bǔ)白、拓展》，感覺美極了.

無錫姜鴻雁：很快，一個(gè)半小時(shí)的時(shí)光在聆聽、交流、碰撞中度過了，感謝錢主任帶給我們耳目一新的高度，從“三個(gè)價(jià)值”“四個(gè)特性”的角度詮釋概念教學(xué)，為我們的概念教學(xué)指明了方向；感謝諸校長(zhǎng)的金玉良言，感謝卜特的畫龍點(diǎn)睛，感謝所有網(wǎng)友的討論，愿我們的概念教學(xué)因研討越來越有深度、有價(jià)值，把有價(jià)值的討論結(jié)果帶進(jìn)我們的課堂，惠及我們的廣大學(xué)生?。ㄐ纬杀疚臅r(shí)有刪改）