初中數(shù)學(xué)中相輔相成的合情推理和演繹推理

李治青

【中圖分類號(hào)】G636.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）6-0188-02

美國數(shù)學(xué)教育家波利亞寫了一本書，名字叫《數(shù)學(xué)與猜想》，實(shí)際上它英文的原意翻譯過來，直譯的話，就是合情推理。在這本書的序當(dāng)中說了這樣一段話，"無論是以后你是把數(shù)學(xué)作為自己職業(yè)的人，還是不把數(shù)學(xué)作為自己未來職業(yè)的人，他都要學(xué)好這兩種推理：一個(gè)是演繹推理，一個(gè)是合情推理。因?yàn)檫@二者對他未來的生活都非常重要 "。

推理是人們思維活動(dòng)的過程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程。在日常生活和科學(xué)研究中經(jīng)常使用兩種推理--合情推理和演繹推理

在以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們十分強(qiáng)調(diào)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，過多的重視了演繹推理，而忽視了生動(dòng)活潑的合情推理。不可否認(rèn)，演繹推理仍是初中數(shù)學(xué)考察的重點(diǎn)。同時(shí)，我們也應(yīng)該看到，數(shù)學(xué)史上的"三大猜想"對后人帶來的影響。事實(shí)上，數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，除演繹推理外，合情推理也起重要作用，它的實(shí)質(zhì)是"發(fā)現(xiàn)"。因此，課堂教學(xué)中，教師除了發(fā)展演繹推理，還應(yīng)該根據(jù)教材內(nèi)容對學(xué)生進(jìn)行合情推理能力的培養(yǎng)。它不僅能夠提高課堂教學(xué)質(zhì)量，更重要的是有助于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)和創(chuàng)新能力的提高。

新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指明：學(xué)生通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，"經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力。"并指出在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。數(shù)學(xué)需要演繹推理，也需要合情推理。

一、下面，我結(jié)合人教版24、1、4《圓周角》這一節(jié)課，對于圓周角定理的探索和證明，闡述合情推理和演繹推理的相輔相成。

首先，出示探究題（如下圖），可由學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行測量，再由具體數(shù)據(jù)猜想規(guī)律，小組交流，總結(jié)發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

具體操作，可以一部分學(xué)生測量教材圖片，另一部分自己畫圖形測量。要集思廣益，相信集體的智慧。小組內(nèi)分工，各種情況都有體現(xiàn)，多多益善。在這個(gè)過程中，就體現(xiàn)了從具體問題出發(fā)--觀察、猜想、比較、聯(lián)想--歸納、類比--提出猜想。

這就是合情推理的過程，它從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。它為我們提供了證明的思路和方向。

從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這就是演繹推理。演繹推理是由一般到特殊的推理。

前面通過第一步的合情推理，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半。為了進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如下圖，在☉O任取一個(gè)圓周角∠BAC，將圓對折，使折痕經(jīng)過圓心O和∠BAC的頂點(diǎn)A，由于點(diǎn)A的位置的取法可能不同，這時(shí)折痕可能會(huì)：（1）在圓周角的一條邊上。（2）在圓周角的內(nèi)部。（3）在圓周角的外部。

第一種情況圓心O在∠BAC的一條邊上

∵OA=OC ∴∠A=∠C

∵∠BOC=∠A+∠C ∴∠A=1/2∠BOC

對于第（2）（3）種情況，可利用（1）的結(jié)果證明（此處證明過程省略），通過此處的證明，就得到了圓周角定理以及推論。（此處證明還涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想）

這就是演繹推理的過程，從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算，從而得到一般性結(jié)論。

在人教版初中教材中，體現(xiàn)合情推理和演繹推理相輔相成的例子還有很多，比如：勾股定理的證明，三角形內(nèi)角和定理的證明，角平分線性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)和證明。

二、課堂上如何處理好合情推理和演繹推理相輔相成的關(guān)系

1、課堂上多讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理和初步的演繹推理證明能力。也就是說，教師"既教證明，又教猜想"。 在過程中感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。切忌，教師的一言堂，過度操練演繹推理。如：學(xué)習(xí)角平分線的性質(zhì)時(shí)，就應(yīng)留出時(shí)間讓學(xué)生折紙，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)、再進(jìn)行證明。

2、善于對教材內(nèi)容進(jìn)行加工，特別是教材以外的活動(dòng)，例如：實(shí)際生活的實(shí)例，小游戲等。設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力。

3、適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生探索同一命題不同思路與方法，進(jìn)行比較和討論，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)證明的興趣，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，從而訓(xùn)練學(xué)生的演繹推理能力。

合情推理幫我們獲得一些猜想，獲得一些對結(jié)論的一種認(rèn)識(shí)，而演繹推理幫我們來進(jìn)一步驗(yàn)證它的真假，二者是相輔相成的，不能偏廢，因此在現(xiàn)在的課程里面，我們始終把推理能力作為一個(gè)核心概念提出來。就數(shù)學(xué)而言，演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程。但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理。因此，我們不僅要學(xué)會(huì)證明，也要學(xué)會(huì)猜想。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重"探索發(fā)現(xiàn)"和"演繹證明"的有機(jī)結(jié)合，有利于實(shí)現(xiàn)"增強(qiáng)（學(xué)生）發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力"的課程總目標(biāo)。在以后的教學(xué)中，多體現(xiàn)合情推理和演繹推理的相結(jié)合，讓學(xué)生在探究活動(dòng)中掌握這種思想，為以后的教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。