例舉隱含條件的作用

王彥勝

審題是解題的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)題是由文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言構(gòu)成的，拿到題目要“寧停三分，不搶一秒”，要在已有知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，逐字逐句仔細(xì)審題，細(xì)心推敲，切忌題意不清，倉(cāng)促上陣。審數(shù)學(xué)題有時(shí)須對(duì)題意逐句“翻譯”，隱含條件轉(zhuǎn)化為明顯條件;有時(shí)需聯(lián)系題設(shè)與結(jié)論，前后呼應(yīng)挖掘構(gòu)建題設(shè)與目標(biāo)的橋梁，尋找突破點(diǎn)，從而形成解題思路。從某種意義上說(shuō)，解數(shù)學(xué)題是一個(gè)從題目所列項(xiàng)目中不斷地挖掘并利用其中的隱含條件進(jìn)行推理和運(yùn)算的過(guò)程。一道題，如果由題目中明顯給定的條件解決不了，而適用的隱含條件一時(shí)又難以找到，這就構(gòu)成了所謂“難題”。問(wèn)題的難度一般都與獲得適合問(wèn)題解決的隱含信息的艱難程度成正比。因此，一道數(shù)學(xué)題，尤其是結(jié)構(gòu)靈活、抽象多變的“難題”，能否正確、迅速、合理地獲解，關(guān)鍵在于能否準(zhǔn)確地挖掘并使用題中的隱含條件。

題設(shè)條件是解數(shù)學(xué)題的基本依據(jù)。但題設(shè)條件并不常常都是顯而易見(jiàn)的，有時(shí)是隱含的，容易令人疏忽。解題時(shí)忽視了題設(shè)的某些隱含條件，就會(huì)導(dǎo)致解題出錯(cuò)。舉例分析如下。

一、解方程時(shí)需要注意題中所隱含的一些特殊條件

例1：解方程x（1+logx2）=0。

錯(cuò)解：由因式乘積得x=0或1+logx2=0。

正解：由對(duì)數(shù)式可知x>0，故方程只有一解。

錯(cuò)因分析：忽視對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0的條件。

解方程中還易出現(xiàn)一些忽視隱含條件的情況，如盲目移項(xiàng)、平方等。

二、利用不等式求函數(shù)值域

例2：已知函數(shù)y=■+x，（x≥3），求值域。

錯(cuò)解：直接利用不等式性質(zhì)得：y=x+■≥2■=4。

錯(cuò)因分析：忽視不等式取等條件“一正、二定、三等”，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)才成立。而本題x取不到2，應(yīng)該改變策略，利用特殊函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決此題。

三、解析幾何中定義解題

例3：平面內(nèi)，到點(diǎn)A（3，-2）的距離與到直線L：2x+3y=0 的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（ ?）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

錯(cuò)解：由圓錐曲線統(tǒng)一定義知答案為C。

剖析：圓錐曲線的統(tǒng)一定義隱含著定點(diǎn)不在定直線上，經(jīng)驗(yàn)證：本題恰有A∈L，因此應(yīng)選D。

四、平面幾何性質(zhì)問(wèn)題

例4：已知凸多邊形的內(nèi)角依次成等差數(shù)列，其最小角等于120°，公差等于5°，求多邊形的邊數(shù)。

錯(cuò)解：設(shè)邊數(shù)為n，則（n-2）×180°=120°·n+■×5°。

解得：邊數(shù)為9或16。

剖析：此題忽視了n邊形的每個(gè)內(nèi)角不超過(guò)180°這個(gè)隱含條件，當(dāng)n=16時(shí)，第6項(xiàng)以后均>180°，故正n邊形的邊數(shù)應(yīng)為9。

五、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義解題

例5：已知b>-1，c>0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x2+bx+c的圖象相切。求b與c的關(guān)系式（用c表示b）。

錯(cuò)解：由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)就是曲線的切線方程知，f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■，從而有x+b=x2+bx+c？圯c=b

正解：依題意令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■。由于f（■）=g（■），得（b+1）2=4c，∵b>-1，c>0，∴b=-1+2■。

分析：本題前面得到x=■是對(duì)的，由于條件不夠，就認(rèn)為f（x）=g（x），造成錯(cuò)解，再由f′（x）=g′（x）得到x=■，就應(yīng)想切線的交點(diǎn)必是在原兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，這是解決曲線切線問(wèn)題的關(guān)鍵。忽視切點(diǎn)在曲線上的隱含條件致錯(cuò)。

六、發(fā)現(xiàn)隱含條件簡(jiǎn)化問(wèn)題

例6：設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)。試解關(guān)于a的不等式f（2a2+a+1）<f（3a2-2a+1）。

分析：已知單調(diào)區(qū)間，如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。而這里面有個(gè)隱含條件是2a2+a+1=2（a+■）2+■>0;3a2-2a+1=3（a-■）2+■>0在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，故由已知f（2a2+a+1）>f（3a2-2a+1）再由函數(shù)奇偶性及隱含條件得2a2+a+1>3a2-a+1即0<a<3。

從上述例題中，我們知道忽視隱含條件可能問(wèn)題解決得不夠完整，如果發(fā)現(xiàn)了隱含條件有的時(shí)候可能會(huì)幫助我們更好、更快地解決問(wèn)題。所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，要遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，善于開(kāi)動(dòng)腦筋，積極主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，注重新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的內(nèi)涵和外延，做到一題多解、一題多變，不滿(mǎn)足于現(xiàn)成的思路和結(jié)論，善于從多側(cè)面、多方位思考問(wèn)題，挖掘問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，勇于發(fā)表自己的獨(dú)特見(jiàn)解。因?yàn)橹挥兴妓鞑拍苌山庖?，透徹明悟?

審題是解題的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)題是由文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言構(gòu)成的，拿到題目要“寧停三分，不搶一秒”，要在已有知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，逐字逐句仔細(xì)審題，細(xì)心推敲，切忌題意不清，倉(cāng)促上陣。審數(shù)學(xué)題有時(shí)須對(duì)題意逐句“翻譯”，隱含條件轉(zhuǎn)化為明顯條件;有時(shí)需聯(lián)系題設(shè)與結(jié)論，前后呼應(yīng)挖掘構(gòu)建題設(shè)與目標(biāo)的橋梁，尋找突破點(diǎn)，從而形成解題思路。從某種意義上說(shuō)，解數(shù)學(xué)題是一個(gè)從題目所列項(xiàng)目中不斷地挖掘并利用其中的隱含條件進(jìn)行推理和運(yùn)算的過(guò)程。一道題，如果由題目中明顯給定的條件解決不了，而適用的隱含條件一時(shí)又難以找到，這就構(gòu)成了所謂“難題”。問(wèn)題的難度一般都與獲得適合問(wèn)題解決的隱含信息的艱難程度成正比。因此，一道數(shù)學(xué)題，尤其是結(jié)構(gòu)靈活、抽象多變的“難題”，能否正確、迅速、合理地獲解，關(guān)鍵在于能否準(zhǔn)確地挖掘并使用題中的隱含條件。

題設(shè)條件是解數(shù)學(xué)題的基本依據(jù)。但題設(shè)條件并不常常都是顯而易見(jiàn)的，有時(shí)是隱含的，容易令人疏忽。解題時(shí)忽視了題設(shè)的某些隱含條件，就會(huì)導(dǎo)致解題出錯(cuò)。舉例分析如下。

一、解方程時(shí)需要注意題中所隱含的一些特殊條件

例1：解方程x（1+logx2）=0。

錯(cuò)解：由因式乘積得x=0或1+logx2=0。

正解：由對(duì)數(shù)式可知x>0，故方程只有一解。

錯(cuò)因分析：忽視對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0的條件。

解方程中還易出現(xiàn)一些忽視隱含條件的情況，如盲目移項(xiàng)、平方等。

二、利用不等式求函數(shù)值域

例2：已知函數(shù)y=■+x，（x≥3），求值域。

錯(cuò)解：直接利用不等式性質(zhì)得：y=x+■≥2■=4。

錯(cuò)因分析：忽視不等式取等條件“一正、二定、三等”，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)才成立。而本題x取不到2，應(yīng)該改變策略，利用特殊函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決此題。

三、解析幾何中定義解題

例3：平面內(nèi)，到點(diǎn)A（3，-2）的距離與到直線L：2x+3y=0 的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（ ?）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

錯(cuò)解：由圓錐曲線統(tǒng)一定義知答案為C。

剖析：圓錐曲線的統(tǒng)一定義隱含著定點(diǎn)不在定直線上，經(jīng)驗(yàn)證：本題恰有A∈L，因此應(yīng)選D。

四、平面幾何性質(zhì)問(wèn)題

例4：已知凸多邊形的內(nèi)角依次成等差數(shù)列，其最小角等于120°，公差等于5°，求多邊形的邊數(shù)。

錯(cuò)解：設(shè)邊數(shù)為n，則（n-2）×180°=120°·n+■×5°。

解得：邊數(shù)為9或16。

剖析：此題忽視了n邊形的每個(gè)內(nèi)角不超過(guò)180°這個(gè)隱含條件，當(dāng)n=16時(shí)，第6項(xiàng)以后均>180°，故正n邊形的邊數(shù)應(yīng)為9。

五、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義解題

例5：已知b>-1，c>0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x2+bx+c的圖象相切。求b與c的關(guān)系式（用c表示b）。

錯(cuò)解：由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)就是曲線的切線方程知，f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■，從而有x+b=x2+bx+c？圯c=b

正解：依題意令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■。由于f（■）=g（■），得（b+1）2=4c，∵b>-1，c>0，∴b=-1+2■。

分析：本題前面得到x=■是對(duì)的，由于條件不夠，就認(rèn)為f（x）=g（x），造成錯(cuò)解，再由f′（x）=g′（x）得到x=■，就應(yīng)想切線的交點(diǎn)必是在原兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，這是解決曲線切線問(wèn)題的關(guān)鍵。忽視切點(diǎn)在曲線上的隱含條件致錯(cuò)。

六、發(fā)現(xiàn)隱含條件簡(jiǎn)化問(wèn)題

例6：設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)。試解關(guān)于a的不等式f（2a2+a+1）<f（3a2-2a+1）。

分析：已知單調(diào)區(qū)間，如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。而這里面有個(gè)隱含條件是2a2+a+1=2（a+■）2+■>0;3a2-2a+1=3（a-■）2+■>0在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，故由已知f（2a2+a+1）>f（3a2-2a+1）再由函數(shù)奇偶性及隱含條件得2a2+a+1>3a2-a+1即0<a<3。

從上述例題中，我們知道忽視隱含條件可能問(wèn)題解決得不夠完整，如果發(fā)現(xiàn)了隱含條件有的時(shí)候可能會(huì)幫助我們更好、更快地解決問(wèn)題。所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，要遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，善于開(kāi)動(dòng)腦筋，積極主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，注重新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的內(nèi)涵和外延，做到一題多解、一題多變，不滿(mǎn)足于現(xiàn)成的思路和結(jié)論，善于從多側(cè)面、多方位思考問(wèn)題，挖掘問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，勇于發(fā)表自己的獨(dú)特見(jiàn)解。因?yàn)橹挥兴妓鞑拍苌山庖?，透徹明悟?

審題是解題的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)題是由文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言構(gòu)成的，拿到題目要“寧停三分，不搶一秒”，要在已有知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，逐字逐句仔細(xì)審題，細(xì)心推敲，切忌題意不清，倉(cāng)促上陣。審數(shù)學(xué)題有時(shí)須對(duì)題意逐句“翻譯”，隱含條件轉(zhuǎn)化為明顯條件;有時(shí)需聯(lián)系題設(shè)與結(jié)論，前后呼應(yīng)挖掘構(gòu)建題設(shè)與目標(biāo)的橋梁，尋找突破點(diǎn)，從而形成解題思路。從某種意義上說(shuō)，解數(shù)學(xué)題是一個(gè)從題目所列項(xiàng)目中不斷地挖掘并利用其中的隱含條件進(jìn)行推理和運(yùn)算的過(guò)程。一道題，如果由題目中明顯給定的條件解決不了，而適用的隱含條件一時(shí)又難以找到，這就構(gòu)成了所謂“難題”。問(wèn)題的難度一般都與獲得適合問(wèn)題解決的隱含信息的艱難程度成正比。因此，一道數(shù)學(xué)題，尤其是結(jié)構(gòu)靈活、抽象多變的“難題”，能否正確、迅速、合理地獲解，關(guān)鍵在于能否準(zhǔn)確地挖掘并使用題中的隱含條件。

題設(shè)條件是解數(shù)學(xué)題的基本依據(jù)。但題設(shè)條件并不常常都是顯而易見(jiàn)的，有時(shí)是隱含的，容易令人疏忽。解題時(shí)忽視了題設(shè)的某些隱含條件，就會(huì)導(dǎo)致解題出錯(cuò)。舉例分析如下。

一、解方程時(shí)需要注意題中所隱含的一些特殊條件

例1：解方程x（1+logx2）=0。

錯(cuò)解：由因式乘積得x=0或1+logx2=0。

正解：由對(duì)數(shù)式可知x>0，故方程只有一解。

錯(cuò)因分析：忽視對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0的條件。

解方程中還易出現(xiàn)一些忽視隱含條件的情況，如盲目移項(xiàng)、平方等。

二、利用不等式求函數(shù)值域

例2：已知函數(shù)y=■+x，（x≥3），求值域。

錯(cuò)解：直接利用不等式性質(zhì)得：y=x+■≥2■=4。

錯(cuò)因分析：忽視不等式取等條件“一正、二定、三等”，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)才成立。而本題x取不到2，應(yīng)該改變策略，利用特殊函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決此題。

三、解析幾何中定義解題

例3：平面內(nèi)，到點(diǎn)A（3，-2）的距離與到直線L：2x+3y=0 的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（ ?）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

錯(cuò)解：由圓錐曲線統(tǒng)一定義知答案為C。

剖析：圓錐曲線的統(tǒng)一定義隱含著定點(diǎn)不在定直線上，經(jīng)驗(yàn)證：本題恰有A∈L，因此應(yīng)選D。

四、平面幾何性質(zhì)問(wèn)題

例4：已知凸多邊形的內(nèi)角依次成等差數(shù)列，其最小角等于120°，公差等于5°，求多邊形的邊數(shù)。

錯(cuò)解：設(shè)邊數(shù)為n，則（n-2）×180°=120°·n+■×5°。

解得：邊數(shù)為9或16。

剖析：此題忽視了n邊形的每個(gè)內(nèi)角不超過(guò)180°這個(gè)隱含條件，當(dāng)n=16時(shí)，第6項(xiàng)以后均>180°，故正n邊形的邊數(shù)應(yīng)為9。

五、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義解題

例5：已知b>-1，c>0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x2+bx+c的圖象相切。求b與c的關(guān)系式（用c表示b）。

錯(cuò)解：由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)就是曲線的切線方程知，f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■，從而有x+b=x2+bx+c？圯c=b

正解：依題意令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■。由于f（■）=g（■），得（b+1）2=4c，∵b>-1，c>0，∴b=-1+2■。

分析：本題前面得到x=■是對(duì)的，由于條件不夠，就認(rèn)為f（x）=g（x），造成錯(cuò)解，再由f′（x）=g′（x）得到x=■，就應(yīng)想切線的交點(diǎn)必是在原兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，這是解決曲線切線問(wèn)題的關(guān)鍵。忽視切點(diǎn)在曲線上的隱含條件致錯(cuò)。

六、發(fā)現(xiàn)隱含條件簡(jiǎn)化問(wèn)題

例6：設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)。試解關(guān)于a的不等式f（2a2+a+1）<f（3a2-2a+1）。

分析：已知單調(diào)區(qū)間，如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。而這里面有個(gè)隱含條件是2a2+a+1=2（a+■）2+■>0;3a2-2a+1=3（a-■）2+■>0在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，故由已知f（2a2+a+1）>f（3a2-2a+1）再由函數(shù)奇偶性及隱含條件得2a2+a+1>3a2-a+1即0<a<3。

從上述例題中，我們知道忽視隱含條件可能問(wèn)題解決得不夠完整，如果發(fā)現(xiàn)了隱含條件有的時(shí)候可能會(huì)幫助我們更好、更快地解決問(wèn)題。所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，要遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，善于開(kāi)動(dòng)腦筋，積極主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，注重新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的內(nèi)涵和外延，做到一題多解、一題多變，不滿(mǎn)足于現(xiàn)成的思路和結(jié)論，善于從多側(cè)面、多方位思考問(wèn)題，挖掘問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，勇于發(fā)表自己的獨(dú)特見(jiàn)解。因?yàn)橹挥兴妓鞑拍苌山庖?，透徹明悟?