關(guān)于解三角形問題的思考

何旦

摘 ? ?要： 正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，可以解決各種類型的三角形問題。在解三角形的過程中，兩個(gè)定理同時(shí)使用的情況屢見不鮮。所以，學(xué)生如何正確地使用兩個(gè)定理是教師課堂教學(xué)中的難點(diǎn)。定理使用不正確，有時(shí)會導(dǎo)致問題的復(fù)雜化，甚至產(chǎn)生錯(cuò)解。

關(guān)鍵詞： 解三角形 ? ?正弦定理 ? ?余弦定理

在學(xué)習(xí)解三角形的內(nèi)容中，我們學(xué)到最重要的兩個(gè)工具——正弦定理和余弦定理，并且歸納出正弦定理和余弦定理的使用情況。目的是讓學(xué)生能夠更準(zhǔn)確地使用兩個(gè)定理，但是一旦根據(jù)條件解出一個(gè)條件之后，再利用什么定理求解，教師并沒有特別強(qiáng)調(diào)。所以在學(xué)生完成作業(yè)的過程中出現(xiàn)了這樣一個(gè)問題：

已知a=2，b=1+■，c=60°，求c，∠A，∠B.

正解：已知兩邊及其夾角，首先使用余弦定理求邊c，代入公式進(jìn)行計(jì)算得：

∵c■=a■+b■-2abcosC=2■+（1+■）■-2×2×（1+■）×cos60°=6

∴c=■

∵cosA=■=■=■

∴∠A=45°

∠B=180°-45°-60°=75°

錯(cuò)解：已知兩邊及其夾角，首先使用余弦定理求邊c，代入公式進(jìn)行計(jì)算得：

∵c■=a■+b■-2abcosC=2■+（1+■）■-2×2×（1+■）×cos60°=6

∴c=■

∵■=■

∴■=■

∴sinB=■

∵0°

∴∠B=75°或105°

當(dāng)∠B=75°時(shí)，∠A=45°

當(dāng)∠B=105°時(shí)，∠A=15°

∵b>c

∴∠B>∠C

∴兩解均可

起初看到這樣的求解，覺得是計(jì)算錯(cuò)誤，才會出現(xiàn)這樣的情況。后來經(jīng)過驗(yàn)算發(fā)現(xiàn)，從公式運(yùn)用到推理說明都沒有任何問題。先求出邊c后運(yùn)用正弦定理先求角B的度數(shù)，然后用“大邊對大角”的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。只是這個(gè)檢驗(yàn)不能刪去多余的錯(cuò)誤結(jié)果。

如果換個(gè)做法，求出邊c后還是用正弦定理先求角A的度數(shù)，那么也能舍去一解，從而得到正確答案。

∵■=■

∴■=■

∴sinA=■

∴∠A=45°或135°

∵a

∴∠A<∠C

∴∠A=45°

∴∠A=75°

這樣的問題說明：解三角形的問題在正弦定理和余弦定理都能用的情況下，如果沒有選擇正確，就會影響問題解決的速度和運(yùn)算的難易程度，甚至?xí)a(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果。同樣還有一例，也有類似的情況。

已知AB=6，BC=2■，∠C=60°，求AC.

分析已知件屬于“兩邊一對角”，首先選用正弦定理解決。

∵■=■

∴■=■

∴sinA=■

∴∠A=45°或135°

∴AB>BC

∴∠C>∠A

∴∠A=45°

∴∠B=180°-45°-60°=75°

接下來求AC邊的長，又有方案1。

方案一使用正弦定理

∵■=■

∴■=■

∴AC=■+3■

根據(jù)這兩個(gè)例子求解的過程，可以注意到在解決解三角形問題時(shí)，如果已知條件多，正弦和余弦定理均可以使用時(shí)要注意正確地取舍。特別地，如三邊已求出要求角，就要用余弦定理解決，可以回避解出兩個(gè)解的可能，省去檢驗(yàn)的過程，防止錯(cuò)解產(chǎn)生;如三個(gè)角已求出要求邊長，就要用正弦定理，可以省去開根號運(yùn)算的麻煩，從而提高解題速度。