借助模型 輕松突破

蔡青

有的數(shù)學問題，如果借助適當?shù)臄?shù)量關系模型，會使問題的分析解決變得很輕松。在人教版小學數(shù)學六年級下冊教材里，當教學完圓柱、比例這兩個內(nèi)容后，有些練習題中偶爾會出現(xiàn)一種難題：蠟燭問題。因為題目涉及的是兩根粗細不同的蠟燭的燃燒時間及相應的蠟燭長度的關系，所以姑且將這類問題叫做蠟燭問題。

解決這種問題著實困難。有人把這個問題看作工程問題，將蠟燭長度看作工作總量，燃燒時間看作工作時間，單位時間內(nèi)蠟燭燃燒的長度看作工作效率，利用方程解決問題，但要用算術方法解決問題卻很難。其實，如果看清了蠟燭問題的數(shù)學本質，借助圓柱體積這個模型，用算術方法解題就會很輕松地突破。

相同材質蠟燭的燃燒時間是由蠟燭的體積決定的。蠟燭問題通常是告訴兩根蠟燭各自能夠燃燒的總時間及長度關系，再告訴燃燒一段時間后的長度關系，求這段燃燒的時間。兩根蠟燭同時燃燒的過程中，剩余蠟燭燃燒時間的差（即蠟燭體積差）是不變的，將這個不變的差作為單位“1”，利用分數(shù)應用題的原理，就很容易求出這個時間。下面，筆者通過幾個例子來講解這種方法。同時，以工程問題的數(shù)量關系模型探討用方程解決的方法，僅供參考。

例1.兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，明明同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來電了，明明將兩根蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問停電多少分鐘？

方法一：

兩根蠟燭的燃燒總時間分別為2小時、1小時，則它們的體積之比為2：1，原來同樣長，則高的比為1：1，故底面積之比為（2÷1）：（1÷1）=2：1，后來高的比為2：1，則后來體積比為（2×2）：（1×1）=4：1，體積比由2：1變?yōu)?：1后，體積差沒有變，通過計算粗蠟燭或細蠟燭剩下體積占體積差的分率即可計算燃燒時間為（2-1）×（[22-1]-[44-1]）×60=40（分鐘）。

體積比變化 粗蠟燭 細蠟燭 粗占差 細占差

原來 2 ： 1 [22-1] [12-1]

后來 2×2 ： 1×1 [2×22×2-1×1] [1×12×2-1×1]

綜合算式：（2-1）×（[22-1]-[2×22×2-1×1]）×60=40（分鐘）

或：（2-1）×（[12-1]-[1×12×2-1×1]）×60=40（分鐘）

方法二：

粗細蠟燭的燃燒時間分別為2小時、1小時，燃燒速度可看作每小時分別燃燒蠟燭的[12]、1，將兩根蠟燭原來的長度看著單位“1”，根據(jù)剩下蠟燭長度比2：1，可看作剩下工作總量的比為2：1，即：

工作效率 × 工作時間 = 工作總量 剩下工作量

燃燒速度 × 燃燒時間 = 燃燒長度 剩下長度

粗蠟燭 [12] × X = [12]X 1-[12]X

細蠟燭 1 × X = X 1-X

解：設停電了X小時，

（1-[12]X）：（1-X）=2：1

X=[23]

停電的時間：[23]×60=40（分鐘）

答：停電了40分鐘。

例2.有粗細不同的兩支蠟燭，細蠟燭長度是粗蠟燭長度的2倍，點完細蠟燭需要1小時，點完粗蠟燭需要2小時。有一次停電，將這兩根蠟燭同時點燃，來電時，兩只蠟燭的長度一樣，那么，此次停電共停了多少時間？

方法一：

利用例1的數(shù)量關系模型直接對比得

體積比變化 粗蠟燭 細蠟燭 粗占差 細占差

原來 2 ： 1 [22-1] [12-1]

后來 2÷1 ： 1÷2 [2÷12÷1-1÷2] [1÷22÷1-1÷2]

綜合算式：（2-1）×（[22-1]-[2÷12÷1-1÷2]）=[23]（小時）

或：（2-1）×（[12-1]-[1÷22÷1-1÷2]）=[23]（小時）

方法二：

利用例1數(shù)量關系模型直接對比得：

工作效率 × 工作時間 = 工作總量 剩下工作量

燃燒速度 × 燃燒時間 = 燃燒長度 剩下長度

粗蠟燭 [12] × X = [12]X 1-[12]X

細蠟燭 [21] × X = 2X 2-2X

解：設停電了X小時，

（1-[12]X）：（2-2X）=1：1

X=[23]

答：停電了[23]小時。

例3.有兩根粗細相同、材質相同、長度不同的蠟燭。開始時短蠟燭長度是長蠟燭長度的[35]，將其同時點燃10分鐘后，短蠟燭長度是長蠟燭長度的[25]，那么長蠟燭比短蠟燭能多燃燒多長時間？

方法一：

粗細相同，說明長度比就是總時間的比，也就是體積比，與前面例題相反，例1、例2都是告訴總時間差求燃燒時間，此題是告訴燃燒時間求兩根蠟燭的燃燒總時間，根據(jù)分數(shù)應用題的原理，只需將兩根蠟燭的燃燒總時間差看作單位“1”，通過長蠟燭或短蠟燭找到燃燒時間占總時間差的分率即可求得。

長蠟燭 短蠟燭 長占差 短占差

原來 5 ： 3 [55-3] [35-3]

后來 5 ： 2 [55-2] [25-2]

綜合算式：10÷（[55-3]-[55-2]）=12 （分鐘）

或：10÷（[35-3]-[25-2]）=12 （分鐘）

方法二：

此題并不知道兩根蠟燭的燃燒總時間，也就不知道燃燒速度，因此不能借助工程問題的模型，但可利用比例知識來解決。

解：設兩根蠟燭原來的燃燒時間分別為3X分鐘、5X分鐘，endprint

（3X-10）：（5X-10）=2：5

X=6

多燃燒的時間：5×6-3×6=12（分鐘）

答：長蠟燭比短蠟燭能多燃燒12分鐘。

例4.兩只蠟燭長度不同，粗細也不同，長蠟燭能燃燒7小時，短蠟燭能燃燒10小時，現(xiàn)在同時點燃4小時后，兩支蠟燭的長度相同，那么原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾？

方法一：

要求原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾，實際就是要求短蠟燭的高占長蠟燭的高的幾分之幾，這就需要分別算出兩根蠟燭的高，再相除即可。

后來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × 1 = 7-4

短蠟燭 （10-4） × 1 = 10-4

原來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × [ 7÷（7-4）] = 7

短蠟燭 （10-4） × [10÷（10-4）] = 10

綜合算式：[10÷（10-4）]÷[ 7÷（7-4）]=[57]

方法二：

設短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，則短蠟燭每小時燃燒[A10]，長蠟燭每小時燃燒[B7]，同時點燃4小時后，短蠟燭剩余[6A10]，長蠟燭剩余[3B7]，由剩余長度相等，得[6A10]=[3B7]，即[AB]=[57]

燃燒速度 × 燃燒時間 = 燃燒長度 剩下長度

短蠟燭 [A10] × 4 = [4A10] A-[4A10]=[6A10]

長蠟燭 [B7] × 4 = [4B7] B-[4B7]=[3B7]

解：設短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，

A-[4A10]=B-[4B7]

[6A10]=[3B7]

[AB]=[57]

答：原來短燭長度是原來長燭長度的[57]。

通過以上幾個例題，不難發(fā)現(xiàn)，借助圓柱體積公式這個數(shù)量關系模型及分數(shù)應用題原理，我們能夠輕松地突破蠟燭問題算術解法的難點，借助工程問題數(shù)量關系模型及比例知識我們能夠輕松地使用方程進行解答。面對問題，我們往往可以借助已經(jīng)認識的數(shù)量關系模型及配套的原理、知識輕松突破難點。

責任編輯 林云志endprint

（3X-10）：（5X-10）=2：5

X=6

多燃燒的時間：5×6-3×6=12（分鐘）

答：長蠟燭比短蠟燭能多燃燒12分鐘。

例4.兩只蠟燭長度不同，粗細也不同，長蠟燭能燃燒7小時，短蠟燭能燃燒10小時，現(xiàn)在同時點燃4小時后，兩支蠟燭的長度相同，那么原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾？

方法一：

要求原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾，實際就是要求短蠟燭的高占長蠟燭的高的幾分之幾，這就需要分別算出兩根蠟燭的高，再相除即可。

后來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × 1 = 7-4

短蠟燭 （10-4） × 1 = 10-4

原來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × [ 7÷（7-4）] = 7

短蠟燭 （10-4） × [10÷（10-4）] = 10

綜合算式：[10÷（10-4）]÷[ 7÷（7-4）]=[57]

方法二：

設短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，則短蠟燭每小時燃燒[A10]，長蠟燭每小時燃燒[B7]，同時點燃4小時后，短蠟燭剩余[6A10]，長蠟燭剩余[3B7]，由剩余長度相等，得[6A10]=[3B7]，即[AB]=[57]

燃燒速度 × 燃燒時間 = 燃燒長度 剩下長度

短蠟燭 [A10] × 4 = [4A10] A-[4A10]=[6A10]

長蠟燭 [B7] × 4 = [4B7] B-[4B7]=[3B7]

解：設短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，

A-[4A10]=B-[4B7]

[6A10]=[3B7]

[AB]=[57]

答：原來短燭長度是原來長燭長度的[57]。

通過以上幾個例題，不難發(fā)現(xiàn)，借助圓柱體積公式這個數(shù)量關系模型及分數(shù)應用題原理，我們能夠輕松地突破蠟燭問題算術解法的難點，借助工程問題數(shù)量關系模型及比例知識我們能夠輕松地使用方程進行解答。面對問題，我們往往可以借助已經(jīng)認識的數(shù)量關系模型及配套的原理、知識輕松突破難點。

責任編輯 林云志endprint

（3X-10）：（5X-10）=2：5

X=6

多燃燒的時間：5×6-3×6=12（分鐘）

答：長蠟燭比短蠟燭能多燃燒12分鐘。

例4.兩只蠟燭長度不同，粗細也不同，長蠟燭能燃燒7小時，短蠟燭能燃燒10小時，現(xiàn)在同時點燃4小時后，兩支蠟燭的長度相同，那么原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾？

方法一：

要求原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾，實際就是要求短蠟燭的高占長蠟燭的高的幾分之幾，這就需要分別算出兩根蠟燭的高，再相除即可。

后來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × 1 = 7-4

短蠟燭 （10-4） × 1 = 10-4

原來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × [ 7÷（7-4）] = 7

短蠟燭 （10-4） × [10÷（10-4）] = 10

綜合算式：[10÷（10-4）]÷[ 7÷（7-4）]=[57]

方法二：

設短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，則短蠟燭每小時燃燒[A10]，長蠟燭每小時燃燒[B7]，同時點燃4小時后，短蠟燭剩余[6A10]，長蠟燭剩余[3B7]，由剩余長度相等，得[6A10]=[3B7]，即[AB]=[57]

燃燒速度 × 燃燒時間 = 燃燒長度 剩下長度

短蠟燭 [A10] × 4 = [4A10] A-[4A10]=[6A10]

長蠟燭 [B7] × 4 = [4B7] B-[4B7]=[3B7]

解：設短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，

A-[4A10]=B-[4B7]

[6A10]=[3B7]

[AB]=[57]

答：原來短燭長度是原來長燭長度的[57]。

通過以上幾個例題，不難發(fā)現(xiàn)，借助圓柱體積公式這個數(shù)量關系模型及分數(shù)應用題原理，我們能夠輕松地突破蠟燭問題算術解法的難點，借助工程問題數(shù)量關系模型及比例知識我們能夠輕松地使用方程進行解答。面對問題，我們往往可以借助已經(jīng)認識的數(shù)量關系模型及配套的原理、知識輕松突破難點。

責任編輯 林云志endprint