關(guān)于絲綢之路的數(shù)學(xué)模型

◎ [俄] 阿特米·S·馬爾可夫

一、引言

隨著人們對將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的興趣不斷增加，對歷史事件進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬有著巨大的前景。能像在物理學(xué)和生物學(xué)中所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律那樣邏輯嚴(yán)密、論證充分的，描述社會(huì)結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)（或曰進(jìn)程）的規(guī)律并不存在；然而，生物和物理科學(xué)的歷史表明，概念的形式化為人們提供了可檢驗(yàn)的推斷，那樣一來，研究人員便能“棄糟取精”。因此，一些確定的“社會(huì)方程”可以幫助歷史事件的數(shù)學(xué)建模者獲取邏輯嚴(yán)密、論證充分的結(jié)論，對社會(huì)體系作出預(yù)測，正如物理法則及其體系中的假設(shè)能指引研究的方向。

建立社會(huì)進(jìn)程的數(shù)學(xué)模型這門學(xué)科的興起，主要源于數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)應(yīng)用的進(jìn)步，同時(shí)也是人們對社會(huì)的相互作用、風(fēng)險(xiǎn)和威脅的復(fù)雜性了解程度不斷加深的結(jié)果。對復(fù)雜物理學(xué)過程建模的巨大成功，激發(fā)了人們將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到社會(huì)科學(xué)中。雖然社會(huì)學(xué)模型的初次嘗試表明，有時(shí)候簡單的線性方程足以給出充分的預(yù)測，但這些嘗試也暴露了一些根本性的問題。其中之一便是“人為因素”。機(jī)械體系中并沒有自由選擇，因此傳統(tǒng)的物理-數(shù)學(xué)結(jié)合的方式并不容許描述擁有自由選擇的復(fù)雜體系。

為了建立一個(gè)邏輯嚴(yán)密、論證充分的理論，有必要從宏觀體系考察近現(xiàn)代以前那些相對簡單的社會(huì)。這樣做既可以避免長期預(yù)測（因?yàn)槲覀円呀?jīng)知曉近現(xiàn)代以前的社會(huì)體系的“未來”發(fā)展動(dòng)態(tài)）和人為因素（對大型體系影響不大，但對小型體系影響很大）的問題，也能夠通過歷史上簡單的社會(huì)體系建立的模型來預(yù)測現(xiàn)代的、層級(jí)的、復(fù)雜的體系。盡管歷史進(jìn)程是獨(dú)特且不可復(fù)制的，我們?nèi)詴?huì)在不同時(shí)期的不同社會(huì)中發(fā)現(xiàn)一些相同的基本進(jìn)程。從這個(gè)意義上，歷史給予了我們豐富的數(shù)據(jù)集，足以用來建立和檢驗(yàn)邏輯嚴(yán)密、論證充分的理論。這表明，社會(huì)動(dòng)態(tài)也許存在一些基本規(guī)律，我們可以對其進(jìn)行定義和將其形式化。

如前文概述中提到，用歷史建模是非常有前景的。但這方面的相關(guān)科研著作并不多（見Guseynova, Ustinov, Pavlovskii 1981; Nefedov 2001; Turchin 2002; Malkov 2002）。本文有兩大目標(biāo)：一是提出一個(gè)邏輯嚴(yán)密、論證充分的框架，二是將其應(yīng)用到歷史進(jìn)程中。如前文指出，嘗試對宏觀體系作出描述似乎是當(dāng)前條件下最具創(chuàng)造性的做法。然而這些研究在考察社會(huì)內(nèi)部關(guān)系時(shí)并沒有將地理屬性作為主要屬性。這個(gè)方法對于大型的、隔離的農(nóng)業(yè)社會(huì)是可以接受的，而它們也是上述文獻(xiàn)關(guān)注的焦點(diǎn)。然而，除了自給自足的農(nóng)業(yè)國以外，還有大量必須依賴這些農(nóng)業(yè)國之間轉(zhuǎn)口貿(mào)易的社會(huì)，它們顯然要依賴相鄰農(nóng)業(yè)國的地理位置。于是，空間因素成為這些社會(huì)動(dòng)態(tài)的重要決定因素。

為了有助于建立空間貿(mào)易的模型，我們可以梳理之前關(guān)于空間經(jīng)濟(jì)的研究，例如，由Beckmann(1952)提出和建立的運(yùn)輸連續(xù)模型。該模型考察某些地理區(qū)域（如城市范圍內(nèi)）的商品運(yùn)輸過程。但它是為了優(yōu)化貿(mào)易往來而建立的，并沒有描述實(shí)際流程和貿(mào)易路線的演變。因此，Beckmann的模型必須經(jīng)過改良和泛化才能用于描述空間歷史動(dòng)態(tài)。

Beckmann提出，商品的源泉（生產(chǎn)者）和低洼地（消費(fèi)者）的位置應(yīng)與所考察的地理區(qū)域相匹配。區(qū)域的每一點(diǎn)都由商品流J和通過該點(diǎn)的運(yùn)輸成本來表示。Beckmann想在生產(chǎn)者、消費(fèi)者和運(yùn)輸成本的分布給定的條件下找出最優(yōu)的流程。其空間市場模型的假設(shè)前提是“交易商不可有損失。這意味著從貿(mào)易中獲得的收益正好等于運(yùn)輸成本……” (Beckmann, Puu 1985: 16)，因此他得到的是一個(gè)靜態(tài)的商品流分布。Beckmann證明了這是最優(yōu)分布，因?yàn)槊恳粭l流通路線的運(yùn)輸成本都是最低的。

Beckmann指出最優(yōu)商品流J(x,y)依賴于每一點(diǎn)的價(jià)格分布且J≠0。此處的p(x,y)為價(jià)格分布而k為相關(guān)系數(shù)。

這個(gè)模型在空間經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域很有實(shí)際價(jià)值，因?yàn)樗梢杂行У乜刂瀑Q(mào)易流，但其中的一些局限性使它無法應(yīng)用于歷史動(dòng)態(tài)問題之上。首先，它是一個(gè)靜態(tài)模型，因此無法描述動(dòng)態(tài)。歷史是一個(gè)非靜態(tài)的過程；演變時(shí)慢時(shí)快，任何變化都可能是瞬間的。描述歷史的模型必須是動(dòng)態(tài)的。

其次，選擇最優(yōu)路線的必要條件是不現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)槲覀儾豢杀苊獾厝鄙僮銐虻臍v史信息去作出這樣的決定。盡管Beckmann假設(shè)交易商絕對會(huì)選擇運(yùn)輸成本最小的路線，但顯然一個(gè)真正的交易商（尤其是古代的交易商）在做生意時(shí)只能對運(yùn)輸成本作出粗略估算。Beckmann提出的模型對“中性路線”(Beckmann, Puu 1985:38)也只給出了模糊的解決方案，“中性路線”是指一個(gè)區(qū)域的兩個(gè)點(diǎn)之間存在兩條成本相同的貿(mào)易流路線。然而在Beckmann的模型中，兩者中任何一條路線的成本若出現(xiàn)極其微小的變化，都會(huì)破壞中性路線，從而使得交易商選擇另一條作為最佳路線。換言之，微觀層面的變化會(huì)引起宏觀層面的巨變。這種情況顯然是不現(xiàn)實(shí)的。一個(gè)真正的交易商更可能（在某種意義上）隨機(jī)地選擇路線，但其選擇可能主要依賴于對運(yùn)輸成本的粗略估算。再者，風(fēng)險(xiǎn)、習(xí)慣、聲譽(yù)和其他因素也會(huì)左右路線的選擇——并且由于兩條路線的成本趨同，這些因素變得更加重要。

最后，將運(yùn)輸成本作為一個(gè)地域特征只有在當(dāng)代社會(huì)的條件下才有用。因?yàn)槲覀兒茈y重構(gòu)這類歷史信息，需要有一種估算運(yùn)輸成本的方法。因此有必要引入另外一種更有意義的衡量尺度來描述某片區(qū)域的貿(mào)易傳導(dǎo)性，它既不那么依賴貨幣和價(jià)格，又能更多地涵蓋影響選擇的非貨幣因素（風(fēng)險(xiǎn)、聲譽(yù)等），并且易于量化。因此，Beckmann的模型需要經(jīng)過改良和泛化才能適用于空間歷史動(dòng)態(tài)問題。

二、貿(mào)易流模型

下面我們來考察一個(gè)封閉區(qū)域的空間單一商品市場。假設(shè)T(x,y)為商品的密度，q(x,y)為生產(chǎn)的過剩密度[即生產(chǎn)密度和消費(fèi)密度之間的差（若生產(chǎn)超過消費(fèi)，則q為正數(shù)）]，t為時(shí)間。

這一過程的發(fā)散規(guī)律為

其中J為商品流向量。

這一著名方程描述了任何物質(zhì)的連續(xù)流動(dòng)（如：熱、液體等）。在特定條件下，它可以表述為：“商品密度的增加T/t是生產(chǎn)q和商品流入與流出之差的總和?！?/p>

價(jià)格動(dòng)態(tài)的線性表示是

其中p(x,y)為商品價(jià)格分布，D(x,y)為該點(diǎn)的需求密度，S(x,y)為供應(yīng)密度，為比例常數(shù)，表示市場價(jià)格對供求平衡的敏感性。

上述方程可表述為：“供不應(yīng)求時(shí)價(jià)格上升，供大于求時(shí)價(jià)格下降?！?/p>

假設(shè)商品銷售為無限，

也就是說，“供大于求時(shí)會(huì)出現(xiàn)庫存過量，而供不應(yīng)求時(shí)銷售才會(huì)積極?！?/p>

最后，該模型的主要假設(shè)是

其中商品傳導(dǎo)系數(shù)k(x,y)為空間不均衡的衡量尺度。該方程表明，商品流與商品價(jià)格的梯度成比例。其文字表述為：“相鄰兩點(diǎn)間商品運(yùn)輸?shù)牧鲃?dòng)與兩點(diǎn)間的價(jià)格差成比例?！?/p>

這一方程是區(qū)別于Beckmann的模型的關(guān)鍵。Beckmann假設(shè)商品流必須與價(jià)格梯度的方向一致（眾所周知，梯度向量朝著上升最快的路線——即價(jià)格上升最快的路線）。相反，我們假設(shè)商品流的方向與梯度的方向一致，其絕對值則與梯度值成比例。

這一改良看似微小，卻十分關(guān)鍵。具體而言，它解決了“中性路線”以及在信息匱乏的條件下做決定的問題。換言之，交易商可以利用市場的地方屬性確定其本地區(qū)內(nèi)的貿(mào)易量。他們并不需要關(guān)于其他遙遠(yuǎn)市場的額外的需求信息。

上述模型的優(yōu)點(diǎn)之一是它與Beckmann的模型從根本上并不矛盾。另外，由于時(shí)間是無限的，這一動(dòng)態(tài)模型也能夠?qū)崿F(xiàn)Beckmann的最優(yōu)靜態(tài)解決方案。這意味著該體系作為一個(gè)整體最終達(dá)到了運(yùn)輸成本最低的靜態(tài)最優(yōu)方案。這種做法更貼近現(xiàn)實(shí)——假設(shè)該系統(tǒng)最初是穩(wěn)定的，但突然產(chǎn)生了一系列條件變化（如啟動(dòng)新的生產(chǎn)、企業(yè)倒閉、貿(mào)易路線上的區(qū)域武裝紛爭）。由于缺乏信息，商品流無法在條件變化后即時(shí)達(dá)到最優(yōu)配置，但隨著時(shí)間變化（假設(shè)條件并未再發(fā)生重大變化），商品流重新穩(wěn)定并在現(xiàn)有條件下再次達(dá)到最優(yōu)。需要指出，衡量尺度對應(yīng)信息傳遞和系統(tǒng)響應(yīng)的速度。值越高，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)穩(wěn)定狀態(tài)的速度就越快。

將上述所有方程組合在一起，可以得出：

這個(gè)著名的方程稱為“熱傳導(dǎo)方程”，它描述了帶有熱源和低洼地以及一個(gè)不平衡的熱傳遞系數(shù)的空間系統(tǒng)的演變。關(guān)于熱傳導(dǎo)方程的理論和實(shí)踐研究都非常多(Tikhonov, Samarskii 1951)，它具有很強(qiáng)的分析處理能力和各種計(jì)算方法。

商品傳導(dǎo)系數(shù)k在數(shù)學(xué)上等同于熱傳導(dǎo)系數(shù)，因此我們可以利用這樣的類比展開討論。商品傳導(dǎo)系數(shù)（CCC）是空間市場中的一個(gè)重要因素。該系數(shù)越高，給生產(chǎn)者和消費(fèi)者帶來的收益條件就越好；CCC越低，生產(chǎn)者價(jià)格低而消費(fèi)者價(jià)格高。價(jià)格差與運(yùn)輸開支相對應(yīng)。這種情況不是最優(yōu)的，會(huì)降低生產(chǎn)和消費(fèi)。盡管CCC與Beckmann的運(yùn)輸成本系數(shù)有關(guān)，但CCC更具一般性。它不僅包括經(jīng)濟(jì)屬性，還有非貨幣方面，如風(fēng)險(xiǎn)、聲譽(yù)、習(xí)慣等。另外，CCC更適合度量歷史進(jìn)程。例如，假設(shè)我們有兩座相距城鎮(zhèn)之間的商品流數(shù)量以及每座城鎮(zhèn)的價(jià)格估算值，便能確定連結(jié)兩城價(jià)格的路線的CCC值。當(dāng)然，實(shí)操起來可能不如說的容易——畢竟商品流和價(jià)格都是隨時(shí)間變化的——但模型是動(dòng)態(tài)的，因此就有可能甄別出引起變化的原因（例如，外部條件、市場本身的演變）。

三、商品流方程

商品傳導(dǎo)系數(shù)k依賴于地域的屬性。假設(shè)價(jià)格梯度是固定的。那么，每英里的價(jià)格差為ΔP=p。為滿足現(xiàn)有需求，需要多少商隊(duì)途經(jīng)該地域？這依賴于商隊(duì)途經(jīng)的速度，因?yàn)樗麄冃枰Ц?/p>

其中w（每小時(shí)收入）是在梯度p向量（每英里每噸的收入）下，一個(gè)商隊(duì)以速度v（每小時(shí)英里數(shù)）運(yùn)送m（商品的噸數(shù)）的每小時(shí)收入。

假設(shè)商隊(duì)的數(shù)量與從此次商旅中獲得的收入成比例（利潤越高，商隊(duì)越多）。如果沒有風(fēng)險(xiǎn)（該地域沒有稅收、強(qiáng)盜或戰(zhàn)爭），那么商隊(duì)每小時(shí)收益為w。如果有風(fēng)險(xiǎn)，那么獲得全部收益的可能性便會(huì)降低：(1-r)w＜w，其中r為風(fēng)險(xiǎn)因素(0≤r≤1)。當(dāng)r=1時(shí)，意味著損失了所有收益；當(dāng)r=0時(shí)，意味著沒有風(fēng)險(xiǎn)，收益完全得到保證。

那么，運(yùn)送m噸貨物的商隊(duì)數(shù)量N為

其中a為比例系數(shù)。

最后，商品流J為N個(gè)商隊(duì)以速度v運(yùn)送m噸商品的乘積：

可以看出，商品傳導(dǎo)性依賴于兩個(gè)基本的空間度量：r（損失收益的風(fēng)險(xiǎn)）和v（商隊(duì)能夠前進(jìn)的最快速度）。

即便價(jià)格差很大，商人們也不會(huì)在該區(qū)域形勢緊張、存在高風(fēng)險(xiǎn)（戰(zhàn)爭、強(qiáng)盜、高稅收、帶有攻擊性的部落、野獸出沒）時(shí)運(yùn)輸商品，或在存在商隊(duì)無法克服的自然障礙（高山、叢林、河流、沙漠）時(shí)快速前進(jìn)。為了對貿(mào)易流進(jìn)行模擬，我們需要估算k，或者更具體地說，r和v。

由于風(fēng)險(xiǎn)難以測度，我們在模擬時(shí)假設(shè)龐大帝國疆界之外風(fēng)險(xiǎn)高，而疆界之內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)低，因?yàn)榈蹏軌虮Ｗo(hù)道路和支持貿(mào)易。邊界內(nèi)r(x,y) = 0，邊界外r(x,y) = 0.9。對于速度v我們需要另外一個(gè)能從地域的自然屬性中得出速度的邏輯嚴(yán)密、論證充分的模型。

四、運(yùn)輸摩擦的估算

許多環(huán)境因素都會(huì)影響某一地區(qū)的運(yùn)輸速度。例如，在平坦、植被稀疏的地形前進(jìn)的速度比山路崎嶇或叢林茂密的地區(qū)要快得多。因此，我們必須確定一個(gè)能夠通過實(shí)證來衡量的運(yùn)輸摩擦系數(shù)。系數(shù)μ由兩方面構(gòu)成：一是地形崎嶇，二是途經(jīng)某個(gè)特殊生物群落（生態(tài)區(qū)）的難度。由于高海拔地區(qū)起伏很大，崎嶇的地形會(huì)使μ值升高，而熱帶雨林等難以穿越的生物群落亦是如此。

為了估算絲綢之路時(shí)代的這一系數(shù)，我們運(yùn)用13世紀(jì)旅行到中國的著名威尼斯商人馬可·波羅旅程中的數(shù)據(jù)。盡管其著作中包含了一些有爭議的內(nèi)容，但它仍然是非常有價(jià)值的古代數(shù)據(jù)來源。特別是馬可·波羅記錄了他在旅途中從一點(diǎn)步行到另一點(diǎn)所需的時(shí)日。類似的信息有60多條，這對于確定此次旅途的系數(shù)而言是一個(gè)可觀的樣本量。

假設(shè)通過地形的前進(jìn)速度與環(huán)境相關(guān)，則

它分別與由歷史數(shù)據(jù)決定的前進(jìn)速度v，由地理信息數(shù)據(jù)（圖1）得出的海拔變化H和以該方程為基礎(chǔ)加上系數(shù)μ(x,y)為分段常數(shù)的假設(shè)的系數(shù)μ聯(lián)系起來——雖然μ(x,y)會(huì)隨著自然區(qū)域的不同而浮動(dòng)（圖2），但它在每個(gè)區(qū)域內(nèi)是恒定的。

圖1 海拔圖（顏色越深表明海拔越高）

圖2 生態(tài)區(qū)（生物群落）圖

系數(shù)評價(jià)的想法源自解決逆向問題。前進(jìn)速度vi+0.5,j和vi,j+0.5是通過對系數(shù)μ根據(jù)路線經(jīng)過的生物群落的地形設(shè)定不同值而計(jì)算得出的。運(yùn)用最短路徑算法，便可計(jì)算出馬可·波羅書中提到的兩點(diǎn)之間徒步所需的時(shí)間τ（圖3）。將計(jì)算得出的前進(jìn)時(shí)間τ與馬可·波羅提到的相應(yīng)的時(shí)間τMP作比較，可以得到一系列點(diǎn)(τ, τMP)，假設(shè)馬可·波羅始終以最快速度并選擇最短路徑前進(jìn)，那么就會(huì)以直線通過0點(diǎn)。當(dāng)然，完美組合是無法達(dá)到的，但通過修正對μ的估算以配合當(dāng)?shù)氐匦危憧梢詷O大地優(yōu)化模型預(yù)測的前進(jìn)時(shí)間和馬可·波羅所記錄的前進(jìn)時(shí)間之間的相關(guān)性。

圖3 關(guān)于馬可·波羅的旅程中兩點(diǎn)之間（在時(shí)間上）的最短路徑的計(jì)算。此處的算法是對生物群落運(yùn)用了不同的運(yùn)輸摩擦系數(shù)以得出從一座城市到另一座城市按天數(shù)計(jì)算的時(shí)間。黃線勾勒出的是在相同的時(shí)間內(nèi)，商隊(duì)從一座城市出發(fā)能走的最遠(yuǎn)距離和受到運(yùn)輸摩擦的阻礙時(shí)所作的反方向運(yùn)動(dòng)。

圖4 計(jì)算得出的前進(jìn)時(shí)間和馬可·波羅所花費(fèi)的時(shí)間之間的關(guān)系。(a)不包括海拔和區(qū)域(μ=常數(shù), H=常數(shù))；(b)包括海拔和區(qū)域（生物群落）。

在最簡單的情況下，前進(jìn)時(shí)間與兩座城市之間的距離成比例，τ與τMP之間的R2為0.44。若考慮海拔變化和不同生態(tài)區(qū)中系數(shù)μ的差異，則R2上升到0.69（圖4）。考慮海拔變化和系數(shù)μ的差異后得出的模型計(jì)算結(jié)果更為貼近實(shí)際數(shù)據(jù)。對海拔變化定量需要用到一個(gè)理想的網(wǎng)格尺寸。例如，同樣是穿越1公里的路程，海拔緩慢提升100米的地形比總體海拔提升100米的高山峽谷地形要容易得多。但如果這兩種假設(shè)路徑的網(wǎng)格距離都是1公里，那么得出的難度值都是一樣的。

問題解決如下。使用配合間隔約為0.1°的地球極地的海拔網(wǎng)格H[i,j]。網(wǎng)格HK[i,j]沿y軸遞增，與子午線一致。原有網(wǎng)格的最接近值作為新網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的值：

圖5 沿子午線的海拔變化的總和依賴于網(wǎng)格間隔

圖6 R2為不同的μ值下模型預(yù)測的和馬可·波羅所記錄的前進(jìn)時(shí)間之間的相關(guān)系數(shù)。R2的最大值對應(yīng)的是不同地區(qū)的相關(guān)系數(shù)：(a)為闊葉林地區(qū)；(b)為山區(qū)。

表明SK海拔變化的總和依賴于網(wǎng)格尺寸K。結(jié)果（圖5）顯示網(wǎng)格間隔的改變會(huì)導(dǎo)致海拔變化總和的改變。

假設(shè)μ會(huì)隨著區(qū)域的不同而變化，那么精確測量μ對于模型預(yù)測的精準(zhǔn)度而言至關(guān)重要。事實(shí)上，τ和τMP之間的最佳相關(guān)系數(shù)取決于按不同地形的大小順序排列的μ值（圖6）。

五、模型的檢驗(yàn)

下一個(gè)步驟便是通過賦予其歷史數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。如果模型能夠?zhǔn)確預(yù)測，那么就可以認(rèn)定它是一個(gè)正確的模型。我們需要一個(gè)（在空間上和時(shí)間上都）足夠大、描述精確且具有分析性的空間市場體系的例子。有一個(gè)體系完全能夠滿足上述條件：那就是著名的貿(mào)易路線體系——絲綢之路。

絲綢之路體系是一個(gè)獨(dú)特的現(xiàn)象。它是世界上存在時(shí)間最長、規(guī)模最大的貿(mào)易路線體系。它不僅是一條商旅路線，更是亞非歐融合的基本因素之一(Chase-Dunn,Hall 1997)。絲綢之路具有復(fù)雜的歷史動(dòng)態(tài)，歷經(jīng)三個(gè)主要時(shí)代：古絲路時(shí)期（公元前2世紀(jì)～公元3世紀(jì)）、伊斯蘭征服時(shí)期（公元6～9世紀(jì)）和蒙古帝國時(shí)期（公元11～14世紀(jì)）。絲路貿(mào)易在每個(gè)時(shí)期都有所加強(qiáng)，而到了末期都出現(xiàn)衰退。不過每個(gè)時(shí)期主要貿(mào)易路線的模式都不同，這些變化也是未來研究的關(guān)注點(diǎn)。

影響路線的密集程度和位置的主要因素是什么？雖然可納入考慮范圍的因素眾多，但我們可以將這個(gè)體系簡化，選擇一個(gè)或幾個(gè)起主導(dǎo)作用的因素。

計(jì)算結(jié)果顯示，絲綢之路位置的決定性因素是龐大帝國的空間布局。這一觀點(diǎn)與Jerry Bentley(1993)不謀而合，他研究了跨文化聯(lián)系，如絲綢之路，指出龐大帝國應(yīng)該是絲綢之路存在和演進(jìn)背后的主要原因。

“絲綢之路時(shí)代——約從公元前200年至公元400年——象征著第一個(gè)主要的跨文化交流時(shí)期。龐大帝國城邦的統(tǒng)治在亞歐大陸的大部分地區(qū)得到鞏固，貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)得以安全地連結(jié)大陸的兩端……然而大概從6世紀(jì)開始，長距離貿(mào)易的復(fù)蘇為第二輪密集的跨文化交流提供了保證?？缥幕Q(mào)易的復(fù)蘇還是要依賴龐大帝國城邦的建立……第二個(gè)時(shí)期還沒有完全結(jié)束，便漸漸融入了一個(gè)新的時(shí)期——約從1000年到1350年……該時(shí)期的特點(diǎn)是……游牧民族大規(guī)模的軍事及政治擴(kuò)張，主要是突厥人和蒙古人，他們建立起龐大的跨區(qū)域帝國，支持各民族間定期交往……” (Bentley 1993:26-27)

毋庸置疑，帝國本身并不是獨(dú)立的現(xiàn)象，還有許多其他因素導(dǎo)致帝國的興衰。不過我們檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜁r(shí)并不考慮這些因素。我們僅推斷帝國的存亡是商品流模式的先決條件。龐大帝國對知名商品貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)的需求和供給很大，它們支持道路和其他基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，為地區(qū)的商貿(mào)發(fā)展創(chuàng)造了安定的環(huán)境。龐大帝國帶來的其他積極影響還有很多，但幸好大多數(shù)都能通過上述空間貿(mào)易模型中簡化地表述出來：龐大帝國能夠提升其領(lǐng)土范圍內(nèi)商品的傳導(dǎo)性。

這意味著一個(gè)地理區(qū)域若屬于某一帝國（如被其征服后），則其的商品傳導(dǎo)系數(shù)增加，若帝國喪失對該區(qū)域的控制（如帝國滅亡），則系數(shù)減少。傳導(dǎo)性的增加可以降低運(yùn)輸成本（前文有討論），從而降低交易商的開支。帝國內(nèi)部聯(lián)系越快速安全，帝國內(nèi)的道路對交易商便越具有吸引力——即便帝國邊界之外還存在另一條更短的路徑。

不過許多空間和時(shí)間因素都會(huì)發(fā)生變化。原先的主要商品流位置的利潤可能會(huì)下降，或者臨近新成立的帝國使其變得不穩(wěn)定。即便主要商品制造商和消費(fèi)者的位置保持恒定，一般的流通模式也可能隨著時(shí)代的變遷、帝國的興亡而變化。

因此對絲綢之路的模擬包含如下假設(shè)：

1. 空間貿(mào)易模型是絲綢之路動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

2. 每個(gè)地理位置的最初傳導(dǎo)性是通過各地自身的條件估算得出的。

3. 考察三個(gè)歷史時(shí)期：古絲路時(shí)期、伊斯蘭時(shí)期和蒙古時(shí)期。

4. 每個(gè)時(shí)期分別考察兩個(gè)地點(diǎn)：主要商品（絲綢）的生產(chǎn)地和消費(fèi)地。

5. 每個(gè)時(shí)期對應(yīng)的主要帝國的布局是既定的，帝國疆界內(nèi)的商品傳導(dǎo)系數(shù)增加。

從數(shù)學(xué)上看，該模型符合拋物線方程，它包含了一個(gè)源泉點(diǎn)、一個(gè)低洼點(diǎn)、空間可變系數(shù)以及流動(dòng)為0的邊界條件。模擬以有限差分法進(jìn)行。

圖7～9給出了每個(gè)時(shí)期絲綢之路的位置。每幅圖都標(biāo)明了該時(shí)期主要帝國已知的地理疆界，然后是模型得出的該時(shí)期的數(shù)學(xué)模擬結(jié)果。每組的第三幅圖對應(yīng)的是主要貿(mào)易路線位置上的實(shí)際歷史數(shù)據(jù)(World History,1956-1958)。

從公元前2世紀(jì)至公元3世紀(jì)的古絲路時(shí)期（圖7），主要帝國有羅馬、帕提亞、貴霜和中國的漢朝。這是歷史上首次亞歐大陸形成一個(gè)融合的體系。然而，只有知名商品網(wǎng)絡(luò)是融合的。相比之下，這些世界體系內(nèi)的軍事網(wǎng)絡(luò)和散裝貨物網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模要小得多(Chase-Dunn, Hall 2003)。

圖7 公元前2世紀(jì)至公元3世紀(jì)古絲路時(shí)期。(a) 該時(shí)期的主要龐大帝國：1.羅馬；2.帕提亞；3.貴霜；4.漢朝。(b) 商品流的計(jì)算：點(diǎn)的顏色越深，途經(jīng)該點(diǎn)的商品運(yùn)輸越多。(c)該時(shí)期絲綢之路位置的歷史數(shù)據(jù)。

從公元6至9世紀(jì)是伊斯蘭教的開拓時(shí)期（圖8），我們將整個(gè)伊斯蘭地區(qū)視作一個(gè)不分疆界的帝國。同時(shí)期的其他帝國有拜占庭帝國和中國的唐朝。絲綢之路在這一時(shí)期繁榮，是因?yàn)橐了固m有著興盛的商人傳統(tǒng)。

圖8 公元6至9世紀(jì) 伊斯蘭教的開拓時(shí)期。(a) 該時(shí)期的主要龐大帝國：1.拜占庭；2.伊斯蘭國家；3.唐朝。(b) 商品流的計(jì)算：點(diǎn)的顏色越深，途經(jīng)該點(diǎn)的商品運(yùn)輸越多。(c) 該時(shí)期絲綢之路位置的歷史數(shù)據(jù)。

圖9 公元11至14世紀(jì) 蒙古帝國時(shí)期。(a) 該時(shí)期的主要龐大帝國為蒙古帝國。(b) 商品流的計(jì)算：點(diǎn)的顏色越深，途經(jīng)該點(diǎn)的商品運(yùn)輸越多。(c) 該時(shí)期絲綢之路位置的歷史數(shù)據(jù)。

從公元11至14世紀(jì)（圖9），蒙古帝國是該時(shí)期的主要力量。軍事網(wǎng)絡(luò)在歷史上首次達(dá)到相當(dāng)?shù)囊?guī)模。由于蒙古人在該地區(qū)的活動(dòng)，里海以北首次出現(xiàn)了一條穩(wěn)定、密集的絲綢之路路線。各主要路線系統(tǒng)在歐洲的終點(diǎn)威尼斯交匯。

圖10 15世紀(jì)后的商品傳導(dǎo)性。隨著歐洲航海帝國的發(fā)展，印度洋貿(mào)易的傳導(dǎo)性增加，陸路貿(mào)易的傳導(dǎo)性下降。

蒙古帝國滅亡后，絲綢之路體系隨之衰退，并再也沒有恢復(fù)往日的輝煌。對于這一事實(shí)，模型給出了一個(gè)有意思的解釋。根據(jù)模型，歐洲海洋貿(mào)易是這一進(jìn)程的成因。由于歐洲帝國航海業(yè)的擴(kuò)張?jiān)黾恿擞《妊蟮纳唐穫鲗?dǎo)性，陸路貿(mào)易減少而海洋貿(mào)易增加（圖10）。

六、結(jié)語

本文得出的結(jié)論雖然粗略，卻非常有意思。我們運(yùn)用的模型非常簡單，只有龐大帝國這個(gè)單一因素，無法像物理學(xué)一樣從模型中獲得每個(gè)點(diǎn)的精確預(yù)測。若要對結(jié)果進(jìn)行修正，就必須將其他因素納入考慮范圍，添加新的方程，擴(kuò)充模型。然而，新的方程必須在得到證明和檢驗(yàn)后才能提出；倉促擴(kuò)充模型也是不理性的。我們的結(jié)果顯示該模型在理論上是成立的，因此下一步便是將更精確的歷史數(shù)據(jù)代入，提出更有效的傳導(dǎo)性估算方法，從而獲得更精確的預(yù)測。

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