高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)解題思路的影響

宗志宏

任何形式的問題解決，都離不開一定的解題經(jīng)驗(yàn).當(dāng)然這些解題經(jīng)驗(yàn)必須是相對(duì)較為熟悉的，或至少是能夠被調(diào)用起來的.特別是在考試過程中，解題，經(jīng)驗(yàn)對(duì)于常規(guī)問題的解決起著比數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)思維方法等更為重要的作用.同時(shí)，解題經(jīng)驗(yàn)亦會(huì)干擾甚至阻礙問題的解決，特別是解題經(jīng)驗(yàn)較為模糊或者是錯(cuò)誤的時(shí)候，過于強(qiáng)化的經(jīng)驗(yàn)會(huì)形成思維定勢(shì)，使思維局限于某一熟悉的范圍而難以擴(kuò)散.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐中，應(yīng)充分重視培養(yǎng)學(xué)生把問題與已有經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的思維習(xí)慣，有意識(shí)地豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn).

一、解題經(jīng)驗(yàn)的含義

人在社會(huì)實(shí)踐中對(duì)于他所遇到的各種問題及所采取的處理方法、處理結(jié)果，都會(huì)形成自己的經(jīng)驗(yàn).當(dāng)他遇到類似的情形時(shí)，就會(huì)受其已有的與此情形有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)的影響而采取與其相關(guān)經(jīng)驗(yàn)有關(guān)的措施.與問題有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)的積累以及經(jīng)驗(yàn)之間的相互作用，會(huì)構(gòu)成一個(gè)人解決問題的觀念、方式、方法等一系列的系統(tǒng)性的知識(shí).

數(shù)學(xué)解題是一個(gè)問題解決的過程，具有鮮明的實(shí)踐性和探索性的特征，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者通過解題實(shí)踐能夠促進(jìn)基本知識(shí)的理解和消化，促進(jìn)基本技能、基本方法的掌握和熟練，同時(shí)促進(jìn)思維品質(zhì)的優(yōu)化.所謂解題經(jīng)驗(yàn)，就是基本知識(shí)、基本方法與條件的有序組合，成功是一種有效的有序組合，失敗同樣能夠從反面提供有效的有序組合的啟示.

二、高中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)：構(gòu)成及特征

一個(gè)人由于生活環(huán)境、自身特點(diǎn)及經(jīng)歷的不同，因而與某事相關(guān)的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或操作系統(tǒng)，均使得每個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)都有區(qū)別.如對(duì)于同一個(gè)問題，每個(gè)人的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)有豐富與貧乏之分.但是在一個(gè)共同體中的成員之間，經(jīng)驗(yàn)卻有許多相似之處.由于我國(guó)目前高中數(shù)學(xué)教育形式主要是班級(jí)授課制，所以在相同的教材、相同的教師、相同的要求及類似的生活學(xué)習(xí)環(huán)境下，高中學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)具有高度的相似性.具體表現(xiàn)為，同班學(xué)生對(duì)于某種題型的熟悉程度類似，解法也基本相同，對(duì)典型條件的理解程度和應(yīng)用方式方法也基本相同.包括每一個(gè)條件的使用方法，由每一個(gè)條件所能夠得出的結(jié)論；對(duì)于這種問題所采用的一般解法；甚至包括一些關(guān)鍵詞的理解，如：“恒成立”、“至少”、“存在”等；對(duì)于應(yīng)用題，還包括對(duì)問題所描述的實(shí)際背景的知識(shí)，以及對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的具體應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)某一類問題所采用的方法的熟練程度，甚至是具體的解題技巧的熟練程度.如對(duì)于數(shù)列求和用裂項(xiàng)法，具體怎么用；哪一種最值問題可以用數(shù)形結(jié)合以及和哪種圖形結(jié)合等.

三、解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)解題思路的影響

在問題解決過程中，解題者首先對(duì)問題進(jìn)行研究分析，即波利亞解題表中所謂的弄清問題.在弄清問題之后，解題者會(huì)根據(jù)其對(duì)問題的理解制訂出解題計(jì)劃，這里的計(jì)劃也是解題思路，即對(duì)解題方法的設(shè)想、計(jì)劃.不同的解題者會(huì)有不同的解題思路，同一個(gè)解題者的解題思路也可能有多種，有正確的，當(dāng)然也會(huì)有錯(cuò)誤的.也有可能解題者并沒有真正理解問題，或?qū)栴}非常陌生，以至于沒有任何思路.也有的解題者即使弄清了問題也沒有明確的解題思路，而是根據(jù)條件在不知不覺中得到問題的答案.這個(gè)過程既是問題解決的過程，同時(shí)又是尋找解題思路的過程.本文中所說的常規(guī)問題的解題思路，既包括波利亞所說的解題計(jì)劃，又包括上面所說的沒有明確的解題計(jì)劃但在不知不覺中得到答案的那種思路.這里的常規(guī)問題指的是難度基本上不超出高考難度，且不屬于開放題、探索題等近幾年出現(xiàn)的新題型，而是傳統(tǒng)的題目.

不同層次的學(xué)生雖然在解題能力上有明顯區(qū)別，但是在讀完題目后最初思維卻非常類似，即在理解題意時(shí)，都是把題目所蘊(yùn)涵的語義納入到其經(jīng)驗(yàn)中去理解，對(duì)題意進(jìn)行加工，從而建構(gòu)起其自己所理解的題意.并在此過程中對(duì)題目進(jìn)行模式識(shí)別，尋找思路.由于個(gè)人能力不同，對(duì)題意的理解有所區(qū)別，因而會(huì)對(duì)解題思路的尋找和選擇產(chǎn)生影響.能力較強(qiáng)的學(xué)生，能夠迅速抓住題目的要害，對(duì)題目類型作出判斷，并能迅速確定解題方法，找出答案.而對(duì)于能力較差的學(xué)生，由于其理解能力和基本知識(shí)的缺陷，在理解題意時(shí)就可能產(chǎn)生困難，或者無法理解題意，或者曲解題意，當(dāng)然也就無法找到解題思路甚至采用錯(cuò)誤的解法.即使這部分學(xué)生正確理解了題意，也可能會(huì)因?yàn)閷?duì)題目類型的生疏或解題思想方法的缺少而無法找到合適的解法；或者由于對(duì)題意理解的深度不夠而導(dǎo)致解法的繁瑣，最后陷入困境或出現(xiàn)失誤.比如這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“不等式x2-3>ax-a對(duì)一切3≤x≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .”首先需要學(xué)生理解在數(shù)學(xué)中“恒成立”的含義，如果學(xué)生沒有見過“恒成立”這一條件，就很難把握準(zhǔn)其含義，所以解題經(jīng)驗(yàn)在這里對(duì)題意的理解起了關(guān)鍵作用，再者就是此種問題的處理方式、解題思路都是要有相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)作基礎(chǔ)的.

顯然，造成這種差異的原因除了個(gè)人的天賦、能力等以外，主要表現(xiàn)在解題經(jīng)驗(yàn)方面的差異、解題經(jīng)驗(yàn)的熟練程度、近期被調(diào)用的頻率等原因上.對(duì)于不同的學(xué)生，由于其先天的生理結(jié)構(gòu)及后天的生活環(huán)境、受教育的程度、思維方式的不同導(dǎo)致其智力結(jié)構(gòu)存在差異，從而影響其解題經(jīng)驗(yàn)的積累速度、整理的效果、及系統(tǒng)性和完善程度.如對(duì)某種題型的解法要達(dá)到相同的熟練程度，不同的學(xué)生所需要練習(xí)的次數(shù)往往有所區(qū)別，對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念或某個(gè)思想方法的理解，不同學(xué)生需要揭示、體會(huì)的程度亦是有區(qū)別的.根據(jù)建構(gòu)主義理論，不同的學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的理解不可能完全相同，這些因素都會(huì)造成學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的差異，從而影響到解題能力的差異.

四、解題經(jīng)驗(yàn)與影響常規(guī)問題解題思路的其他因素的關(guān)系

影響常規(guī)問題解題思路的其他因素主要包括解題者對(duì)波利亞的啟發(fā)法的應(yīng)用能力、對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況、解題者的元認(rèn)知能力，以及解題者對(duì)數(shù)學(xué)的信念等方面.

1.解題經(jīng)驗(yàn)與元認(rèn)知能力的關(guān)系

影響問題解決的重要因素不僅有數(shù)學(xué)啟發(fā)法，還有解題者對(duì)方法的選擇、對(duì)解題過程的控制、感悟及對(duì)前景的估計(jì)能力，即元認(rèn)知能力.有關(guān)研究證實(shí)，專家與新手之間的元認(rèn)知能力有明顯差別.對(duì)于數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的問題解決來說，解題能力強(qiáng)的人其元認(rèn)知能力也比較強(qiáng)，在解題過程中，能夠?qū)ΤＲ?guī)問題的解題思路的前景迅速作出準(zhǔn)確的判斷，因此能夠比新手更快地找到正確的常規(guī)問題解題思路.同時(shí)，元認(rèn)知能力強(qiáng)的解題者能夠?qū)忸}的進(jìn)程作出準(zhǔn)確的分析，并作出相應(yīng)的調(diào)整.所以，提高解題者的元認(rèn)知能力能夠有效提高問題解決能力.需要指出，元認(rèn)知能力的提高并非短期訓(xùn)練的結(jié)果，而是長(zhǎng)期的解題經(jīng)驗(yàn)積累的結(jié)果.通過長(zhǎng)期的積累，解題者能夠根據(jù)問題迅速找出相關(guān)的方法，并對(duì)方法的使用非常熟悉，能夠判斷出使用某種方法可以達(dá)到目標(biāo).同時(shí)，解題者積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)后，能夠形成大量的思維模塊，幫助解題者縮短思維過程，由條件直接延伸到更多更遠(yuǎn)的結(jié)果.比如這樣一道三角化簡(jiǎn)問題：已知tanα=-2，求1+sin4α-cos4α1+sin4α+cos4α的值.這道題中要求值的式子比較復(fù)雜，特別是與條件差別較大，但是解題經(jīng)驗(yàn)較豐富、元認(rèn)知能力較強(qiáng)的學(xué)生能夠很快看出解題思路并且對(duì)解題過程作出準(zhǔn)確的判斷，而對(duì)于這種形式三角比化簡(jiǎn)經(jīng)驗(yàn)不足的學(xué)生可能就會(huì)因采取的endprint