由高考復(fù)習(xí)發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題反思平面向量的教學(xué)

【摘 要】本文對(duì)高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)中有關(guān)平面向量復(fù)習(xí)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行分析、反思，認(rèn)為在平面向量的教學(xué)中，由于教師沒(méi)有能夠真正理解教材編寫(xiě)者在高中數(shù)學(xué)課程中引入平面向量的意圖，所以在教學(xué)中走進(jìn)了誤區(qū)，沒(méi)有把平面向量的本質(zhì)傳授給學(xué)生；為了讓學(xué)生更好的體會(huì)向量的幾何工具，在例題的講解上多給學(xué)生啟發(fā)引導(dǎo)。

【關(guān)鍵詞】高考復(fù)習(xí)；平面向量；教學(xué)探導(dǎo)

前言

平面向量在高考中每年必考，考查的內(nèi)容有線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算；基本都是以選擇題或填空題的小題形式來(lái)考查，如果是大題，會(huì)和三角或解析幾何結(jié)合來(lái)考查；難度是中等偏容易。向量是一個(gè)代數(shù)概念，是一個(gè)定義了運(yùn)算的量；平面向量又是一個(gè)幾何概念，它具有代數(shù)和幾何的雙重特征。在教學(xué)中如何凸顯向量的這兩種屬性成為教師們?cè)诮虒W(xué)中思考并不斷探索的問(wèn)題。

一、平面向量概述

做好平面向量的教學(xué)，首先必須對(duì)平面向量要有個(gè)深刻的認(rèn)識(shí)：

（一）向量當(dāng)從屬于代數(shù)。向量的代數(shù)屬性源于向量是可以度量的。在有了向量的“?！钡亩x以后，就有零向量、單位向量、相等向量的概念，然后就有向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算。對(duì)于不同方向的向量可以首尾相接，直接做加法、減法運(yùn)算，而且運(yùn)算結(jié)果仍舊是向量。

（二）向量是實(shí)數(shù)的一種推廣。盡管向量有不同的方向，但在同一個(gè)方向上的向量，它的一切規(guī)定，一切運(yùn)算，又都和（這個(gè)方向上的）實(shí)數(shù)完全一致。與此有關(guān)的名詞，如共線向量、平行向量、相反向量、實(shí)數(shù)與向量的乘積，以及實(shí)數(shù)與向量乘積的運(yùn)算律，它們都說(shuō)明了同一個(gè)方向的向量的一切特征就如同這個(gè)方向上的實(shí)數(shù)的特征。

此外，向量的幾何屬性源于它不但有大小，而且還有方向。因此向量的平行、向量的共線、向量的夾角、向量的垂直都是向量幾何屬性的反映，是在描述幾何對(duì)象的位置關(guān)系。從向量的表示方法來(lái)看它是一種圖形，具有直觀、形象的優(yōu)點(diǎn)，便于用來(lái)描述客觀世界。向量的幾何屬性還表現(xiàn)在陳述向量加法的交換率、結(jié)合律的時(shí)候，在說(shuō)明三角形法則和平行四邊形法則的一致性的時(shí)候，我們所根據(jù)的都是平面幾何的推理。

二、平面向量教學(xué)現(xiàn)狀

向量的教學(xué)存在的問(wèn)題有點(diǎn)像目前解析幾何教學(xué)中所面臨的困境。在解析幾何的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，常常把用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題誤解為就是單純的計(jì)算，以為解析幾何就是聯(lián)立方程組；同樣，如果把向量的學(xué)習(xí)也是簡(jiǎn)單地歸結(jié)為計(jì)算的話，必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)向量這一具有雙重屬性工具的膚淺的認(rèn)識(shí)以及應(yīng)用這一工具的片面化。

在進(jìn)入平面向量的復(fù)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生已經(jīng)沒(méi)有“向量”這個(gè)概念了，基本的概念沒(méi)有了，而在做向量的線性運(yùn)算、求向量的長(zhǎng)度和角的這些問(wèn)題上，學(xué)生的解題方法單一，很多同學(xué)不會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法。因?yàn)樽詮钠矫嫦蛄窟@一知識(shí)納入中學(xué)數(shù)學(xué)教材之后，在高考中出現(xiàn)的題都是比較簡(jiǎn)單的運(yùn)算，所以，只要用足夠的時(shí)間讓學(xué)生去做反復(fù)的練習(xí)，掌握了方法，即使不理解其本質(zhì)，應(yīng)對(duì)高考也不成問(wèn)題。但這似乎不符合把向量引入中學(xué)教材的初衷，在中學(xué)數(shù)學(xué)中引入向量的重要目的之一便是讓學(xué)生掌握向量之一有效的解題工具。正如斯托利亞爾所說(shuō)的“廣泛地使用向量，目的是簡(jiǎn)化一系列幾何定理的證明、問(wèn)題的解法以及三角公式的推導(dǎo)等”。學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握向量這一全新的解題工具，有利于開(kāi)闊解題思路，豐富解題方法，從而提高數(shù)學(xué)解題的能力。而且《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題 、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力?！?/p>

學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)很快就遺忘了，而且不理解概念公式的本質(zhì)，不能運(yùn)用到其他的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此我們不禁要反思向量教學(xué)存在的問(wèn)題，并思考在今后的教學(xué)中應(yīng)該怎樣做，才能達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)的要求而取得良好的教學(xué)效果，才能使得學(xué)生在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中事半功倍。本章因?yàn)楦拍?、公式、法則比較多，很多情況下都是進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，因此教師普遍認(rèn)為內(nèi)容簡(jiǎn)單，學(xué)生易學(xué)；而在概念、公式、法則、定理的教學(xué)中，教師主要重視學(xué)生的運(yùn)用，在向量的有關(guān)概念教學(xué)時(shí)，不少教師認(rèn)為，無(wú)所謂哪種方法，只有加強(qiáng)練習(xí)，教學(xué)效果才會(huì)更好。在平面向量這一章節(jié)的教學(xué)中，大部分的教師采用讓學(xué)生“記住公式、定理，多練習(xí)”的教學(xué)形式，大多忽視了概念、公式、定理的形成過(guò)程。從學(xué)生學(xué)的方面看，學(xué)生對(duì)向量有關(guān)概念和定理感到較抽象或抽象，很多學(xué)生是死記硬背，機(jī)械練習(xí)的學(xué)習(xí)方式，所以他們感到平面向量的學(xué)習(xí)是平淡的或枯燥的。這是我們現(xiàn)在教師的教與學(xué)生的學(xué)存在的問(wèn)題。

三、改善平面向量教學(xué)現(xiàn)狀的幾點(diǎn)建議

（一）提高學(xué)生獨(dú)立分析、歸納的能力

在向量的教學(xué)中，如何使學(xué)生真正理解向量“數(shù)與形”的雙重身份，自覺(jué)利用向量解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，向量概念的教學(xué)非常關(guān)鍵。本章的第一節(jié)就是向量的有關(guān)概念，概念多，容易混淆。怎樣更好的理解、區(qū)分這些概念，筆者這樣設(shè)計(jì)本節(jié)課。（一）提出如下問(wèn)題：（1）向量與有向線段是否為同一概念？（2）零向量與單位向量各有什么特點(diǎn)？（3）平行向量與相等向量有什么關(guān)系？（4）共線向量與直線平行是否一樣？采用讀書(shū)指導(dǎo)法教學(xué)，使學(xué)生帶著問(wèn)題去自學(xué)探索。（二）分小組討論，小組代表發(fā)言討論結(jié)果。學(xué)生自己對(duì)概念加以分析，進(jìn)行歸納，對(duì)比總結(jié)。（三）要求學(xué)生多畫(huà)圖，畫(huà)單位向量、相等向量、共線向量（同向和反向）。畫(huà)單位向量時(shí)，可以畫(huà)個(gè)單位圓，進(jìn)行區(qū)分聯(lián)系。向量是很抽象的一個(gè)概念，只有讓學(xué)生多動(dòng)筆畫(huà)圖，多體會(huì)，才能不斷的加深理解，化抽象為具體，真正理解概念的本質(zhì)。

引入一個(gè)新的量后，就要對(duì)這個(gè)量定義它的運(yùn)算，是為了能解決數(shù)學(xué)問(wèn)題或其他領(lǐng)域的問(wèn)題，向量也是如此。應(yīng)科學(xué)發(fā)展的需要，我們給向量定義了四種運(yùn)算：加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的乘積、向量的數(shù)量積。向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，所以向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景。

例1.已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為（ ）； 的最大值為（ ）

解：

例2設(shè)在上，是否存在點(diǎn)使若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：

（二）研究概念的邏輯關(guān)系

平面向量這部分教學(xué)內(nèi)容概念特別多，例如：在教材的第一小節(jié)就出現(xiàn)了向量、自由向量、有向線段、相等的向量（同一向量）、基線、向量共線或平行、零向量、位置向量，共8個(gè)。要講的概念比較多，比較碎，都要一一道來(lái)，難免平鋪直敘，重點(diǎn)不突出。作為教師，就要在備課上下功夫，講出這些概念后面的東西，講出它們的邏輯關(guān)系出來(lái)。我們?cè)诘玫较蛄浚ㄗ杂上蛄浚┑母拍詈?，知道它是有大小、有方向的量。從大小看：引出零向量——單位向量；從方向看：引出平行（共線）向量；從大小、方向看：引出相等向量——相反向量。

對(duì)“平行向量（共線向量）”難點(diǎn)的突破：

學(xué)生的思維誤區(qū)是他們理解的平行向量就是不共線，他們所理解的共線向量就是不平行。他們沒(méi)有理解平行向量（或共線向量）的概念是針對(duì)方向的，而兩個(gè)表示向量的有向線段，只要是方向相同或相反，就是平行向量（或共向量），而“方向相同或相反”對(duì)兩條有向線段來(lái)說(shuō)，不能確定它們是平行還是重合，任意組平行向量都可以平移到同一條直線上。這里也是對(duì)向量是自由向量的進(jìn)一步的體會(huì)和理解。

結(jié)語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，對(duì)于平面向量教學(xué)中的任何行為，如教學(xué)目標(biāo)的制定，重難點(diǎn)的確定，教學(xué)思維的交流都要以學(xué)生的理解和掌握為中心，并且也可以通過(guò)對(duì)比的教學(xué)方法，如：向量的線性運(yùn)算（加、減、數(shù)乘）及運(yùn)算律與數(shù)的加減及其運(yùn)算律的類比，平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的類比，關(guān)于向量數(shù)量積的運(yùn)算律與數(shù)的乘法運(yùn)算律的類比，等等?？梢詷O大的提高學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，研究問(wèn)題的能力，我們相信，通過(guò)教學(xué)方法的不斷改進(jìn)，學(xué)生的思維能力一定可以得到大的提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]張鳳蓮.高中數(shù)學(xué)中的向量研究[D]. 華中師范大學(xué) 2007

[2]傅金泉.平面向量的教學(xué)實(shí)踐與探索[D]. 南京師范大學(xué) 2004

[3]曹金明.高中數(shù)學(xué)課程中向量教學(xué)研究[D]. 西北師范大學(xué) 2004

[4]陳廣翻.在平面向量教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想[J]. 珠江教育論壇 2012第1期

[5]李志廉.從平面向量談數(shù)形結(jié)合思想[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2008第8期